線性代數課件第一章行列式習題課

第一章

行列式6/9/2023線性代數課件6/9/2023線性代數課件6/9/2023線性代數課件把個不同的元素排成一列，叫做這個元素的全排列（或排列）．個不同的元素的所有排列的種數用表示，且．１全排列6/9/2023線性代數課件逆序數為奇數的排列稱為奇排列，逆序數為偶數的排列稱為偶排列．在一個排列中，若數，則稱這兩個數組成一個逆序．一個排列中所有逆序的總數稱為此排列的逆序數．２逆序數6/9/2023線性代數課件分別計算出排列中每個元素前面比它大的數碼個數之和，即算出排列中每個元素的逆序數，每個元素的逆序數之總和即為所求排列的逆序數．方法2方法1分別計算出排在前面比它大的數碼之和，即分別算出這個元素的逆序數，這個元素的逆序數之總和即為所求排列的逆序數．３計算排列逆序數的方法6/9/2023線性代數課件定義在排列中，將任意兩個元素對調，其余元素不動，稱為一次對換．將相鄰兩個元素對調，叫做相鄰對換．定理一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性．推論奇排列調成標準排列的對換次數為奇數，偶排列調成標準排列的對換次數為偶數．４對換6/9/2023線性代數課件５n階行列式的定義6/9/2023線性代數課件6/9/2023線性代數課件６n階行列式的性質6/9/2023線性代數課件6/9/2023線性代數課件１）余子式與代數余子式７行列式按行（列）展開6/9/2023線性代數課件２）關于代數余子式的重要性質6/9/2023線性代數課件８克拉默法則6/9/2023線性代數課件克拉默法則的理論價值定理定理6/9/2023線性代數課件定理定理6/9/2023線性代數課件一、計算排列的逆序數二、計算（證明）行列式三、克拉默法則典型例題6/9/2023線性代數課件分別算出排列中每個元素前面比它大的數碼之和，即算出排列中每個元素的逆序數．解例１一、計算排列的逆序數6/9/2023線性代數課件6/9/2023線性代數課件當為偶數時，排列為偶排列，當為奇數時，排列為奇排列．于是排列的逆序數為6/9/2023線性代數課件１用定義計算（證明）例２用行列式定義計算二、計算（證明）行列式6/9/2023線性代數課件解6/9/2023線性代數課件

評注本例是從一般項入手，將行標按標準順序排列，討論列標的所有可能取到的值，并注意每一項的符號，這是用定義計算行列式的一般方法．注意6/9/2023線性代數課件例３設6/9/2023線性代數課件證明由行列式的定義有6/9/2023線性代數課件

評注

本題證明兩個行列式相等，即證明兩點，一是兩個行列式有完全相同的項，二是每一項所帶的符號相同．這也是用定義證明兩個行列式相等的常用方法．6/9/2023線性代數課件２利用范德蒙行列式計算例４計算利用范德蒙行列式計算行列式，應根據范德蒙行列式的特點，將所給行列式化為范德蒙行列式，然后根據范德蒙行列式計算出結果。6/9/2023線性代數課件解6/9/2023線性代數課件

上面等式右端行列式為n階范德蒙行列式，由范德蒙行列式知6/9/2023線性代數課件

評注本題所給行列式各行（列）都是某元素的不同方冪，而其方冪次數或其排列與范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性質（如提取公因子、調換各行（列）的次序等）將此行列式化成范德蒙行列式．6/9/2023線性代數課件３用化三角形行列式計算例５計算6/9/2023線性代數課件解6/9/2023線性代數課件提取第一列的公因子，得6/9/2023線性代數課件6/9/2023線性代數課件

評注本題利用行列式的性質，采用“化零”的方法，逐步將所給行列式化為三角形行列式．化零時一般盡量選含有１的行（列）及含零較多的行（列）；若沒有１，則可適當選取便于化零的數，或利用行列式性質將某行（列）中的某數化為1；若所給行列式中元素間具有某些特點，則應充分利用這些特點，應用行列式性質，以達到化為三角形行列式之目的．6/9/2023線性代數課件４用降階法計算例６計算解6/9/2023線性代數課件6/9/2023線性代數課件6/9/2023線性代數課件6/9/2023線性代數課件

評注本題是利用行列式的性質將所給行列式的某行（列）化成只含有一個非零元素，然后按此行（列）展開，每展開一次，行列式的階數可降低1階，如此繼續(xù)進行，直到行列式能直接計算出來為止（一般展開成二階行列式）．這種方法對階數不高的數字行列式比較適用．6/9/2023線性代數課件５用拆成行列式之和（積）計算例７證明證6/9/2023線性代數課件６用遞推法計算例８計算解6/9/2023線性代數課件6/9/2023線性代數課件6/9/2023線性代數課件由此遞推，得如此繼續(xù)下去，可得6/9/2023線性代數課件6/9/2023線性代數課件評注6/9/2023線性代數課件７用數學歸納法例９證明6/9/2023線性代數課件證對階數n用數學歸納法6/9/2023線性代數課件6/9/2023線性代數課件評注6/9/2023線性代數課件計算行列式的方法比較靈活，同一行列式可以有多種計算方法；有的行列式計算需要幾種方法綜合應用．在計算時，首先要仔細考察行列式在構造上的特點，利用行列式的性質對它進行變換后，再考察它是否能用常用的幾種方法．小結6/9/2023線性代數課件當線性方程組方程個數與未知數個數相等、且系數行列式不等于零時，可用克萊姆法則．為了避免在計算中出現分數，可對有的方程乘以適當整數，把原方程組變成系數及常數項都是整數的線性方程組后再求解．三、克拉默法則6/9/2023線性代數課件解設所求的二次多項式為由題意得6/9/2023線性代數課件由克萊姆法則，得于是，所求的多項式為6/9/2023線性代數課件證6/9/2023線性代數課件6/9/2023線性代數課件6/9/2023線性代數課件6/9/2023線性代數課件例12有甲、乙、丙三種化肥，甲種化肥每千克含氮70克，磷8克，鉀2克；乙種化肥每千克含氮64克，磷10克，鉀0.6克；丙種化肥每千克含氮70克，磷5克，鉀1.4克．若把此三種化肥混合，要求總重量23千克且含磷149克，鉀30克，問三種化肥各需多少千克？解6/9/2023線性代數課件6/9/2023線性代數課件例136/9/2023線性代數課件解6/9/2023線性代數課件6/9/2023線性代數課件6/9/2023線性代數課件第一章測試題一、填空題(每小題4分，共40分)6/9/2023線性代數課件6/9/2023線性代數課件6/9/2023線性代數課件6/9/2023線性代數課件二、計算下列行列式(每小題9分，共18分)．6/9/2023線性代數課件有非零解？三、解答題