線性代數(shù)課件第一章行列式習(xí)題課

第一章

行列式6/9/2023線性代數(shù)課件6/9/2023線性代數(shù)課件6/9/2023線性代數(shù)課件把個(gè)不同的元素排成一列，叫做這個(gè)元素的全排列（或排列）．個(gè)不同的元素的所有排列的種數(shù)用表示，且．１全排列6/9/2023線性代數(shù)課件逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列．在一個(gè)排列中，若數(shù)，則稱這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)逆序．一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù)．２逆序數(shù)6/9/2023線性代數(shù)課件分別計(jì)算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼個(gè)數(shù)之和，即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù)，每個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)．方法2方法1分別計(jì)算出排在前面比它大的數(shù)碼之和，即分別算出這個(gè)元素的逆序數(shù)，這個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)．３計(jì)算排列逆序數(shù)的方法6/9/2023線性代數(shù)課件定義在排列中，將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余元素不動(dòng)，稱為一次對(duì)換．將相鄰兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，叫做相鄰對(duì)換．定理一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性．推論奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù)．４對(duì)換6/9/2023線性代數(shù)課件５n階行列式的定義6/9/2023線性代數(shù)課件6/9/2023線性代數(shù)課件６n階行列式的性質(zhì)6/9/2023線性代數(shù)課件6/9/2023線性代數(shù)課件１）余子式與代數(shù)余子式７行列式按行（列）展開6/9/2023線性代數(shù)課件２）關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)6/9/2023線性代數(shù)課件８克拉默法則6/9/2023線性代數(shù)課件克拉默法則的理論價(jià)值定理定理6/9/2023線性代數(shù)課件定理定理6/9/2023線性代數(shù)課件一、計(jì)算排列的逆序數(shù)二、計(jì)算（證明）行列式三、克拉默法則典型例題6/9/2023線性代數(shù)課件分別算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼之和，即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù)．解例１一、計(jì)算排列的逆序數(shù)6/9/2023線性代數(shù)課件6/9/2023線性代數(shù)課件當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，排列為偶排列，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，排列為奇排列．于是排列的逆序數(shù)為6/9/2023線性代數(shù)課件１用定義計(jì)算（證明）例２用行列式定義計(jì)算二、計(jì)算（證明）行列式6/9/2023線性代數(shù)課件解6/9/2023線性代數(shù)課件

評(píng)注本例是從一般項(xiàng)入手，將行標(biāo)按標(biāo)準(zhǔn)順序排列，討論列標(biāo)的所有可能取到的值，并注意每一項(xiàng)的符號(hào)，這是用定義計(jì)算行列式的一般方法．注意6/9/2023線性代數(shù)課件例３設(shè)6/9/2023線性代數(shù)課件證明由行列式的定義有6/9/2023線性代數(shù)課件

評(píng)注

本題證明兩個(gè)行列式相等，即證明兩點(diǎn)，一是兩個(gè)行列式有完全相同的項(xiàng)，二是每一項(xiàng)所帶的符號(hào)相同．這也是用定義證明兩個(gè)行列式相等的常用方法．6/9/2023線性代數(shù)課件２利用范德蒙行列式計(jì)算例４計(jì)算利用范德蒙行列式計(jì)算行列式，應(yīng)根據(jù)范德蒙行列式的特點(diǎn)，將所給行列式化為范德蒙行列式，然后根據(jù)范德蒙行列式計(jì)算出結(jié)果。6/9/2023線性代數(shù)課件解6/9/2023線性代數(shù)課件

上面等式右端行列式為n階范德蒙行列式，由范德蒙行列式知6/9/2023線性代數(shù)課件

評(píng)注本題所給行列式各行（列）都是某元素的不同方冪，而其方冪次數(shù)或其排列與范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性質(zhì)（如提取公因子、調(diào)換各行（列）的次序等）將此行列式化成范德蒙行列式．6/9/2023線性代數(shù)課件３用化三角形行列式計(jì)算例５計(jì)算6/9/2023線性代數(shù)課件解6/9/2023線性代數(shù)課件提取第一列的公因子，得6/9/2023線性代數(shù)課件6/9/2023線性代數(shù)課件

評(píng)注本題利用行列式的性質(zhì)，采用“化零”的方法，逐步將所給行列式化為三角形行列式．化零時(shí)一般盡量選含有１的行（列）及含零較多的行（列）；若沒(méi)有１，則可適當(dāng)選取便于化零的數(shù)，或利用行列式性質(zhì)將某行（列）中的某數(shù)化為1；若所給行列式中元素間具有某些特點(diǎn)，則應(yīng)充分利用這些特點(diǎn)，應(yīng)用行列式性質(zhì)，以達(dá)到化為三角形行列式之目的．6/9/2023線性代數(shù)課件４用降階法計(jì)算例６計(jì)算解6/9/2023線性代數(shù)課件6/9/2023線性代數(shù)課件6/9/2023線性代數(shù)課件6/9/2023線性代數(shù)課件

評(píng)注本題是利用行列式的性質(zhì)將所給行列式的某行（列）化成只含有一個(gè)非零元素，然后按此行（列）展開，每展開一次，行列式的階數(shù)可降低1階，如此繼續(xù)進(jìn)行，直到行列式能直接計(jì)算出來(lái)為止（一般展開成二階行列式）．這種方法對(duì)階數(shù)不高的數(shù)字行列式比較適用．6/9/2023線性代數(shù)課件５用拆成行列式之和（積）計(jì)算例７證明證6/9/2023線性代數(shù)課件６用遞推法計(jì)算例８計(jì)算解6/9/2023線性代數(shù)課件6/9/2023線性代數(shù)課件6/9/2023線性代數(shù)課件由此遞推，得如此繼續(xù)下去，可得6/9/2023線性代數(shù)課件6/9/2023線性代數(shù)課件評(píng)注6/9/2023線性代數(shù)課件７用數(shù)學(xué)歸納法例９證明6/9/2023線性代數(shù)課件證對(duì)階數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法6/9/2023線性代數(shù)課件6/9/2023線性代數(shù)課件評(píng)注6/9/2023線性代數(shù)課件計(jì)算行列式的方法比較靈活，同一行列式可以有多種計(jì)算方法；有的行列式計(jì)算需要幾種方法綜合應(yīng)用．在計(jì)算時(shí)，首先要仔細(xì)考察行列式在構(gòu)造上的特點(diǎn)，利用行列式的性質(zhì)對(duì)它進(jìn)行變換后，再考察它是否能用常用的幾種方法．小結(jié)6/9/2023線性代數(shù)課件當(dāng)線性方程組方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相等、且系數(shù)行列式不等于零時(shí)，可用克萊姆法則．為了避免在計(jì)算中出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，可對(duì)有的方程乘以適當(dāng)整數(shù)，把原方程組變成系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)都是整數(shù)的線性方程組后再求解．三、克拉默法則6/9/2023線性代數(shù)課件解設(shè)所求的二次多項(xiàng)式為由題意得6/9/2023線性代數(shù)課件由克萊姆法則，得于是，所求的多項(xiàng)式為6/9/2023線性代數(shù)課件證6/9/2023線性代數(shù)課件6/9/2023線性代數(shù)課件6/9/2023線性代數(shù)課件6/9/2023線性代數(shù)課件例12有甲、乙、丙三種化肥，甲種化肥每千克含氮70克，磷8克，鉀2克；乙種化肥每千克含氮64克，磷10克，鉀0.6克；丙種化肥每千克含氮70克，磷5克，鉀1.4克．若把此三種化肥混合，要求總重量23千克且含磷149克，鉀30克，問(wèn)三種化肥各需多少千克？解6/9/2023線性代數(shù)課件6/9/2023線性代數(shù)課件例136/9/2023線性代數(shù)課件解6/9/2023線性代數(shù)課件6/9/2023線性代數(shù)課件6/9/2023線性代數(shù)課件第一章測(cè)試題一、填空題(每小題4分，共40分)6/9/2023線性代數(shù)課件6/9/2023線性代數(shù)課件6/9/2023線性代數(shù)課件6/9/2023線性代數(shù)課件二、計(jì)算下列行列式(每小題9分，共18分)．6/9/2023線性代數(shù)課件有非零解？三、解答題