數(shù)學(xué)建模方法 擬合

數(shù)學(xué)建模方法擬合第一頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三擬合問(wèn)題引例1溫度t(oC)20.532.751.073.095.7電阻R()7658268739421032已知熱敏電阻數(shù)據(jù)：求60oC時(shí)的電阻R．

設(shè)

R=at+ba,b為待定系數(shù)第二頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三擬合問(wèn)題引例2

t(h)0.250.511.523468c(g/ml)19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01已知一室模型快速靜脈注射下的血藥濃度數(shù)據(jù)(t=0注射300mg)求血藥濃度隨時(shí)間的變化規(guī)律c(t).作半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系(semilogy)下的圖形MATLAB(aa1)第三頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三曲線擬合問(wèn)題的提法已知一組（二維）數(shù)據(jù)，即平面上n個(gè)點(diǎn)（xi,yi)i=1,…,n,尋求一個(gè)函數(shù)（曲線）y=f(x),使f(x)在某種準(zhǔn)則下與所有數(shù)據(jù)點(diǎn)最為接近，即曲線擬合得最好．

+++++++++xyy=f(x)(xi,yi)ii為點(diǎn)（xi,yi)與曲線y=f(x)的距離第四頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三擬合與插值的關(guān)系

函數(shù)插值與曲線擬合都是要根據(jù)一組數(shù)據(jù)構(gòu)造一個(gè)函數(shù)作為近似，由于近似的要求不同，二者在數(shù)學(xué)方法上是完全不同的．實(shí)例：下面數(shù)據(jù)是某次實(shí)驗(yàn)所得，希望得到X和f之間的關(guān)系？MATLAB(cn)問(wèn)題：給定一批數(shù)據(jù)點(diǎn)，需確定滿足特定要求的曲線或曲面解決方案：若不要求曲線（面）通過(guò)所有數(shù)據(jù)點(diǎn)，而是要求它反映對(duì)象整體的變化趨勢(shì)，這就是數(shù)據(jù)擬合，又稱曲線擬合或曲面擬合．若要求所求曲線（面）通過(guò)所給所有數(shù)據(jù)點(diǎn)，就是插值問(wèn)題；第五頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三最臨近插值、線性插值、樣條插值與曲線擬合結(jié)果：第六頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三曲線擬合問(wèn)題最常用的解法——線性最小二乘法的基本思路第一步:先選定一組函數(shù)

r1(x),r2(x),…,rm(x),m<n,

令

f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+…+amrm(x)（1）其中

a1,a2,…,am

為待定系數(shù)．

第二步:確定a1,a2,…,am

的準(zhǔn)則（最小二乘準(zhǔn)則）：使n個(gè)點(diǎn)（xi,yi)與曲線y=f(x)的距離i

的平方和最小

．記

問(wèn)題歸結(jié)為，求

a1,a2,…,am

使

J(a1,a2,…,am)

最?。谄唔?yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三線性最小二乘法的求解：預(yù)備知識(shí)超定方程組：方程個(gè)數(shù)大于未知量個(gè)數(shù)的方程組即Ra=y其中超定方程組一般不存在解的矛盾方程組．如果有向量a使得達(dá)到最小，則稱a為上述超定方程組的最小二乘解．第八頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三線性最小二乘法的求解

定理：當(dāng)RTR可逆時(shí)，超定方程組（3）存在最小二乘解，且即為方程組

RTRa=RTy的解：a=(RTR)-1RTy

所以，曲線擬合的最小二乘法要解決的問(wèn)題，實(shí)際上就是求以下超定方程組的最小二乘解的問(wèn)題．其中Ra=y

（3）第九頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三線性最小二乘擬合f(x)=a1r1(x)+…+amrm(x)中函數(shù){r1(x),…,rm(x)}的選取

1.通過(guò)機(jī)理分析建立數(shù)學(xué)模型來(lái)確定f(x)；++++++++++++++++++++++++++++++f=a1+a2xf=a1+a2x+a3x2f=a1+a2x+a3x2f=a1+a2/xf=aebxf=ae-bx2.將數(shù)據(jù)(xi,yi)i=1,…,n

作圖，通過(guò)直觀判斷確定f(x)：第十頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三用MATLAB解擬合問(wèn)題1.線性最小二乘擬合2.非線性最小二乘擬合第十一頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三用MATLAB作線性最小二乘擬合1.作多項(xiàng)式f(x)=a1xm+…+amx+am+1擬合,可利用已有程序:a=polyfit(x,y,m)2.對(duì)超定方程組可得最小二乘意義下的解．，用3.多項(xiàng)式在x處的值y可用以下命令計(jì)算：

y=polyval（a，x）輸出擬合多項(xiàng)式系數(shù)a=[a1,…,am,

am+1](數(shù)組)）輸入同長(zhǎng)度的數(shù)組x，y擬合多項(xiàng)式次數(shù)第十二頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三即要求出二次多項(xiàng)式:中的使得:例對(duì)下面一組數(shù)據(jù)作二次多項(xiàng)式擬合第十三頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三1）輸入以下命令：x=0:0.1:1;y=[-0.4471.9783.286.167.087.347.669.569.489.3011.2];R=[(x.^2)'x'ones(11,1)]；A=R\y'MATLAB(zxec1)解法1．用解超定方程的方法2）計(jì)算結(jié)果：Ａ

=-9.810820.1293-0.0317第十四頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三1）輸入以下命令：

x=0:0.1:1;y=[-0.4471.9783.286.167.087.347.669.569.489.3011.2];A=polyfit(x,y,2)z=polyval(A,x);plot(x,y,'k+',x,z,'r')%作出數(shù)據(jù)點(diǎn)和擬合曲線的圖形2）計(jì)算結(jié)果：Ａ=-9.810820.1293-0.0317解法2．用多項(xiàng)式擬合的命令MATLAB(zxec2)第十五頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三1.lsqcurvefit已知數(shù)據(jù)點(diǎn)：xdata=（xdata1,xdata2,…,xdatan）,ydata=（ydata1,ydata2,…,ydatan）

用MATLAB作非線性最小二乘擬合

MATLAB提供了兩個(gè)求非線性最小二乘擬合的函數(shù)：lsqcurvefit和lsqnonlin．兩個(gè)命令都要先建立M文件fun.m，在其中定義函數(shù)f(x)，但兩者定義f(x)的方式是不同的,可參考例題.

lsqcurvefit用以求含參量x（向量）的向量值函數(shù)F(x,xdata)=（F（x,xdata1）,…,F（x，xdatan））T中的參變量x(向量),使得

第十六頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三

輸入格式為:

(1)x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata);(2)x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,options);(3)x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,options,’grad’);

(4)[x,options]=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,…);(5)[x,options,funval]=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,…);(6)[x,options,funval,Jacob]=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,…);fun是一個(gè)事先建立的定義函數(shù)F(x,xdata)的M文件,自變量為x和xdata說(shuō)明:x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,options);迭代初值已知數(shù)據(jù)點(diǎn)選項(xiàng)見無(wú)約束優(yōu)化第十七頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三

lsqnonlin用以求含參量x（向量）的向量值函數(shù)

f(x)=(f1(x),f2(x),…,fn(x))T

中的參量x，使得

最?。渲衒i（x）=f（x，xdatai，ydatai）

=F(x,xdatai)-ydatai

2.lsqnonlin已知數(shù)據(jù)點(diǎn)：xdata=（xdata1，xdata2，…，xdatan）

ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan）第十八頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三輸入格式為：

1)x=lsqnonlin（‘fun’，x0）；

2)x=lsqnonlin（‘fun’，x0，options）；

3)x=lsqnonlin（‘fun’，x0，options‘grad’）；

4)[x，options]=lsqnonlin（‘fun’，x0，…）；

5)[x，options，funval]=lsqnonlin（‘fun’x0，…）；說(shuō)明：x=lsqnonlin

（‘fun’，x0，options）；fun是一個(gè)事先建立的定義函數(shù)f(x)的M文件，自變量為x迭代初值選項(xiàng)見無(wú)約束優(yōu)化第十九頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三

例2用下面一組數(shù)據(jù)擬合中的參數(shù)a，b，k該問(wèn)題即解最優(yōu)化問(wèn)題：第二十頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三MATLAB(fzxec1)

1）編寫M文件curvefun1.m

functionf=curvefun1(x,tdata)f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)%其中x(1)=a;x(2)=b；x(3)=k;2）輸入命令tdata=100:100:1000cdata=1e-03*[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59];x0=[0.2,0.05,0.05];x=lsqcurvefit('curvefun1',x0,tdata,cdata)f=curvefun1(x,tdata)

F(x，tdata)=，x=(a，b，k)解法1.用命令lsqcurvefit第二十一頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三3）運(yùn)算結(jié)果為：f=0.00430.00510.00560.00590.00610.00620.00620.00630.00630.0063x=0.0063-0.00340.25424）結(jié)論：a=0.0063,b=-0.0034,k=0.2542第二十二頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三MATLAB(fzxec2)

解法2

用命令lsqnonlin

f(x)=F(x,tdata,ctada)=

x=（a，b，k）1）編寫M文件curvefun2.m

functionf=curvefun2(x)tdata=100:100:1000;cdata=1e-03*[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59];f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)-cdata2）輸入命令:x0=[0.2,0.05,0.05];x=lsqnonlin('curvefun2',x0)f=curvefun2(x)函數(shù)curvefun2的自變量是x，cdata和tdata是已知參數(shù)，故應(yīng)將cdatatdata的值寫在curvefun2.m中第二十三頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三3）運(yùn)算結(jié)果為f=1.0e-003*(0.2322-0.1243-0.2495-0.2413-0.1668-0.07240.02410.11590.20300.2792x=0.0063-0.00340.2542可以看出,兩個(gè)命令的計(jì)算結(jié)果是相同的.4）結(jié)論：即擬合得a=0.0063b=-0.0034k=0.2542第二十四頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三MATLAB解應(yīng)用問(wèn)題實(shí)例1.電阻問(wèn)題2.給藥方案問(wèn)題*3.水塔流量估計(jì)問(wèn)題第二十五頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三MATLAB(dianzu1)電阻問(wèn)題溫度t(oC)20.532.751.073.095.7電阻R()7658268739421032例.由數(shù)據(jù)擬合R=a1t+a2方法1.用命令polyfit(x,y,m)得到a1=3.3940,a2=702.4918方法2.直接用結(jié)果相同．MATLAB(dianzu2)第二十六頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三一室模型：將整個(gè)機(jī)體看作一個(gè)房室，稱中心室，室內(nèi)血藥濃度是均勻的．快速靜脈注射后，濃度立即上升；然后迅速下降．當(dāng)濃度太低時(shí)，達(dá)不到預(yù)期的治療效果；當(dāng)濃度太高，又可能導(dǎo)致藥物中毒或副作用太強(qiáng)．臨床上，每種藥物有一個(gè)最小有效濃度c1和一個(gè)最大有效濃度c2．設(shè)計(jì)給藥方案時(shí)，要使血藥濃度保持在c1~c2之間．本題設(shè)c1=10ug/ml，c2=25ug/ml.擬合問(wèn)題實(shí)例2給藥方案——一種新藥用于臨床之前，必須設(shè)計(jì)給藥方案.藥物進(jìn)入機(jī)體后通過(guò)血液輸送到全身，在這個(gè)過(guò)程中不斷地被吸收、分布、代謝，最終排出體外，藥物在血液中的濃度，即單位體積血液中的藥物含量，稱為血藥濃度．第二十七頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三

在實(shí)驗(yàn)方面,對(duì)某人用快速靜脈注射方式一次注入該藥物300mg后,在一定時(shí)刻t(h)采集血藥,測(cè)得血藥濃度c(ug/ml)如下表:

t(h)0.250.511.523468c(g/ml)19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01要設(shè)計(jì)給藥方案,必須知道給藥后血藥濃度隨時(shí)間變化的規(guī)律．從實(shí)驗(yàn)和理論兩方面著手：第二十八頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三給藥方案1.在快速靜脈注射的給藥方式下，研究血藥濃度（單位體積血液中的藥物含量）的變化規(guī)律．tc2cc1O問(wèn)題2.給定藥物的最小有效濃度和最大治療濃度，設(shè)計(jì)給藥方案：每次注射劑量多大；間隔時(shí)間多長(zhǎng)．分析理論：用一室模型研究血藥濃度變化規(guī)律實(shí)驗(yàn)：對(duì)血藥濃度數(shù)據(jù)作擬合，符合負(fù)指數(shù)變化規(guī)律第二十九頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三3.血液容積v,t=0注射劑量d,血藥濃度立即為d/v.2.藥物排除速率與血藥濃度成正比，比例系數(shù)k(>0)模型假設(shè)1.機(jī)體看作一個(gè)房室，室內(nèi)血藥濃度均勻——一室模型模型建立

在此，d=300mg，t及c（t）在某些點(diǎn)處的值見前表，需經(jīng)擬合求出參數(shù)k、v.第三十頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三用線性最小二乘擬合c(t)MATLAB(lihe1)計(jì)算結(jié)果：d=300;t=[0.250.511.523468];c=[19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01];y=log(c);a=polyfit(t,y,1)k=-a(1)v=d/exp(a(2))程序：用非線性最小二乘擬合c(t)第三十一頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三給藥方案設(shè)計(jì)cc2c1Ot設(shè)每次注射劑量D,間隔時(shí)間血藥濃度c(t)

應(yīng)c1c(t)

c2初次劑量D0應(yīng)加大給藥方案記為：2.1.計(jì)算結(jié)果：給藥方案：c1=10,c2=25k=0.2347v=15.02第三十二頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三故可制定給藥方案：即:

首次注射375mg，其余每次注射225mg，注射的間隔時(shí)間為4h．第三十三頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三某居民區(qū)有一供居民用水的圓柱形水塔，一般可以通過(guò)測(cè)量其水位來(lái)估計(jì)水的流量，但面臨的困難是，當(dāng)水塔水位下降到設(shè)定的最低水位時(shí)，水泵自動(dòng)啟動(dòng)向水塔供水，到設(shè)定的最高水位時(shí)停止供水，這段時(shí)間無(wú)法測(cè)量水塔的水位和水泵的供水量．通常水泵每天供水一兩次，每次約兩小時(shí).水塔是一個(gè)高12.2m，直徑17.4m的正圓柱．按照設(shè)計(jì)，水塔水位降至約8.2m時(shí)，水泵自動(dòng)啟動(dòng)，水位升到約10.8m時(shí)水泵停止工作．表1是某一天的水位測(cè)量記錄，試估計(jì)任何時(shí)刻（包括水泵正供水時(shí)）從水塔流出的水流量，及一天的總用水量．1.問(wèn)題估計(jì)水塔的流量第三十四頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三第三十五頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三2.流量估計(jì)的解題思路

1、擬合水位~時(shí)間函數(shù)從測(cè)量記錄看，一天有兩個(gè)供水時(shí)段（以下稱第1供水時(shí)段和第2供水時(shí)段），和3個(gè)水泵不工作時(shí)段（以下稱第1時(shí)段t=0到t=8.97，第2次時(shí)段t=10.95到t=20.84和第3時(shí)段t=23以后）．對(duì)第1、2時(shí)段的測(cè)量數(shù)據(jù)直接分別作多項(xiàng)式擬合，得到水位函數(shù)．為使擬合曲線比較光滑，多項(xiàng)式次數(shù)不要太高，一般在3~6．由于第3時(shí)段只有3個(gè)測(cè)量記錄，無(wú)法對(duì)這一時(shí)段的水位作出較好的擬合．第三十六頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三2、確定流量~時(shí)間函數(shù)對(duì)于第1、2時(shí)段只需將水位函數(shù)求導(dǎo)數(shù)即可，對(duì)于兩個(gè)供水時(shí)段的流量，則用供水時(shí)段前后（水泵不工作時(shí)段）的流量擬合得到，并且將擬合得到的第2供水時(shí)段流量外推，將第3時(shí)段流量包含在第2供水時(shí)段內(nèi)．

3、一天總用水量的估計(jì)總用水量等于兩個(gè)水泵不工作時(shí)段和兩個(gè)供水時(shí)段用水量之和，它們都可以由流量對(duì)時(shí)間的積分得到．第三十七頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三3.算法設(shè)計(jì)與編程1.擬合第1、2時(shí)段的水位，并導(dǎo)出流量2.擬合供水時(shí)段的流量3.估計(jì)一天總用水量4.流量及總用水量的檢驗(yàn)第三十八頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三

1.擬合第1時(shí)段的水位，并導(dǎo)出流量設(shè)t，h為已輸入的時(shí)刻和水位測(cè)量記錄（水泵啟動(dòng)的4個(gè)時(shí)刻不輸入），第1時(shí)段各時(shí)刻的流量可如下得：1）c1=polyfit（t（1：10），h（1：10），3）；

%用3次多項(xiàng)式擬合第1時(shí)段水位，c1輸出3次多項(xiàng)式的系數(shù)2）a1=polyder（c1）；

%a1輸出多項(xiàng)式（系數(shù)為c1）導(dǎo)數(shù)的系數(shù)

3）tp1=0：0.1：9；

x1=-polyval（a1，tp1）；%x1輸出多項(xiàng)式（系數(shù)a1）在tp1點(diǎn)的函數(shù)值（取負(fù)后邊為正值），即tp1時(shí)刻的流量

MATLAB(llgj1)4）流量函數(shù)為：第三十九頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三

擬合第2時(shí)段的水位，并導(dǎo)出流量設(shè)t，h為已輸入的時(shí)刻和水位測(cè)量記錄（水泵啟動(dòng)的4個(gè)時(shí)刻不輸入），第2時(shí)段各時(shí)刻的流量可如下得：1）c2=polyfit(t(10.9:21),h(10.9:21),3)；

%用3次多項(xiàng)式擬合第2時(shí)段水位，c2輸出3次多項(xiàng)式的系數(shù)2）a2=polyder(c2)；

%a2輸出多項(xiàng)式（系數(shù)為c2）導(dǎo)數(shù)的系數(shù)

3）tp2=10.9:0.1:21;x2=-polyval(a2,tp2);%x2輸出多項(xiàng)式（系數(shù)為a2）在tp2點(diǎn)的函數(shù)值（取負(fù)后邊為正值），即tp2時(shí)刻的流量MATLAB(llgj2)4）流量函數(shù)為：第四十頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三

2.擬合供水時(shí)段的流量在第1供水時(shí)段（t=9~11）之前（即第1時(shí)段）和之后（即第2時(shí)段）各取幾點(diǎn)，其流量已經(jīng)得到，用它們擬合第1供水時(shí)段的流量．為使流量函數(shù)在t=9和t=11連續(xù)，我們簡(jiǎn)單地只取4個(gè)點(diǎn)，擬合3次多項(xiàng)式（即曲線必過(guò)這4個(gè)點(diǎn)），實(shí)現(xiàn)如下：

xx1=-polyval(a1,[89]);%取第1時(shí)段在t=8,9的流量

xx2=-polyval(a2,[1112]);%取第2時(shí)段在t=11,12的流量

xx12=[xx1xx2];

c12=polyfit([891112],xx12，3);%擬合3次多項(xiàng)式

tp12=9：0.1：11;

x12=polyval(c12,tp12);%x12輸出第1供水時(shí)段各時(shí)刻的流量MATLAB(llgj3)擬合的流量函數(shù)為：第四十一頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三在第2供水時(shí)段之前取t=20，20.8兩點(diǎn)的流水量，在該時(shí)刻之后（第3時(shí)段）僅有3個(gè)水位記錄，我們用差分得到流量，然后用這4個(gè)數(shù)值擬合第2供水時(shí)段的流量如下：

dt3=diff（t(22：24)）；

%最后3個(gè)時(shí)刻的兩兩之差

dh3=diff（h(22：24)）；

%最后3個(gè)水位的兩兩之差dht3=-dh3./dt3；

%t(22)和t(23)的流量t3=[2020.8t(22)t(23)]；

xx3=[-polyval(a2，t3(1：2)，dht3)]；

%取t3各時(shí)刻的流量

c3=polyfit（t3，xx3，3）；%擬合3次多項(xiàng)式

t3=20.8：0.1：24；

x3=polyval（c3，tp3）；%x3輸出第2供水時(shí)段（外推至t=24）各時(shí)刻的流量MATLAB(llgj4)擬合的流量函數(shù)為：第四十二頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三

3.一天總用水量的估計(jì)第1、2時(shí)段和第1、2供水時(shí)段流量的積分之和，就是一天總用水量．雖然諸時(shí)段的流量已表為多項(xiàng)式函數(shù)，積分可以解析地算出，這里仍用數(shù)值積分計(jì)算如下：

y1=0.1*trapz(x1)；

%第1時(shí)段用水量（仍按高度計(jì)），

0.1為積分步長(zhǎng)

y2=0.1*trapz(x2)；

%第2時(shí)段用水量

y12=0.1*trapz(x12)；

%第1供水時(shí)段用水量

y3=0.1*trapz(x3)；

%第2供水時(shí)段用水量

y=(y1+y2+y12+y3)*237.8*0.01;%一天總用水量（）計(jì)算結(jié)果：y1=146.2,y2=266.8,y12=47.4,y3=77.3，y=1250.4MATLAB(llgjz)第四十三頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三

4.流量及總用水量的檢驗(yàn)計(jì)算出的各時(shí)刻的流量可用水位記錄的數(shù)值微分來(lái)檢驗(yàn)．用水量y1可用第1時(shí)段水位測(cè)量記錄中下降高度968-822=146來(lái)檢驗(yàn)，類似地，y2用1082-822=260檢驗(yàn)．供水時(shí)段流量的一種檢驗(yàn)方法如下：供水時(shí)段的用水量加上水位上升值260是該時(shí)段泵入的水量，除以時(shí)段長(zhǎng)度得到水泵的功率（單位時(shí)間泵入的水量），而兩個(gè)供水時(shí)段水泵的功率應(yīng)大致相等．第1、2