數(shù)控技術(shù)插補

數(shù)控技術(shù)插補第一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三第三章輪廓加工的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

在插補過程中，計算機應(yīng)在規(guī)定的插補時間Δt內(nèi)給出各坐標方向的增ΔXi﹑ΔZi，因此實際的刀具位置為：第二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三第三章輪廓加工的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

由于給定的進給速度F大小不同及直線的斜率不同，因此ΔXi﹑ΔZi值隨之變化。由圖可知：fi=FΔt。由于進給速度F的單位為mm/min，為使fi單位為mm/ms，則：

又：因此：第三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三3.4.2擴展DDA法圓弧插補

將DDA的切向逼近改變?yōu)楦罹€逼近。具體還是計算一個插補周期Δt內(nèi)，輪廓步長L的坐標分量?Xi和?Yi由右圖經(jīng)過推導(dǎo)可得：其中:新加工點Ai’

的坐標位置

特點：計算簡單，速度快，精度高。BAi’CXYMHQOAiAi-1第四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三3.5刀具半徑補償原理第三章輪廓加工的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

在輪廓加工過程中由于刀具的磨損或因換刀引起的刀具半徑變化，或在粗加工和半精加工時，還要預(yù)留加工量，故刀具中心的軌跡并不是零件的實際輪廓。第二章介紹了刀具半徑補償功能，如圖所示，根據(jù)ISO標準，當(dāng)?shù)毒咧行能壽E在編程軌跡前進方向的右邊是，稱為右刀補，用G42表示，反之為左刀補，用G41表示。刀具刀具中心軌跡編程軌跡第五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三第三章輪廓加工的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

刀具半徑補償功能的作用要求數(shù)控系統(tǒng)根據(jù)工件輪廓程序和刀具中心偏移量，自動計算出刀具中心軌跡。所以刀具半徑不是在CNC系統(tǒng)內(nèi)部由計算機自動完成的，編程人員只按零件圖紙的輪廓編制加工程序。在實際輪廓加工過程中，刀具半徑補償?shù)膱?zhí)行過程分為：刀補的建立刀補的進行和刀補撤銷三個步驟。

第六頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三第三章輪廓加工的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)建立刀補

執(zhí)行刀補

取消刀補

刀具軌跡中心編程軌跡刀補進行刀補建立刀補撤銷起始點

本節(jié)介紹的主要內(nèi)容：刀具半徑補償建立取消刀具中心點與刀具輪廓起點和終點的位置關(guān)系；工件輪廓拐角時，刀具中心拐點與工件輪廓拐點的位置關(guān)系。第七頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三3.5.1直線兩端點處刀具中心的位置

如圖所示，刀具半徑為r，左刀補G41刀具中心軌跡ab直線；右刀補G42刀具中心軌跡cd直線。由圖中的幾何關(guān)系可知：a點:Xa=XA-Ag

Ya=YA+ga

b點:Xb=XB-Be

Yb=YB+eb

c點:Xc=XA+Ah

Yc=YA-hc

d點:Xd=XB+Bf

Yd=YB-fd

由圖可知：ΔagA,ΔbeB,ΔdfB都與ΔAMB相似；AM=XB-XA,MB=YB-YA第八頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三第三章輪廓加工的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)a點:Xa=XA-rsinαYa=YA+rcosαb點:Xb=XB-rsinαYb=YB+rcosαc點:Xc=XA+rsinαYc=YA-rcosαd點:Xd=XB+rsinαYd=YB-rcosα因此:G41G42

若把c點中的r值的符號改為負號，則和式a點中完全一樣，因此再實際應(yīng)用中，只用式前兩式計算直線端點處的刀具中心位置，在G41方式下r取正值，在G42方式下r取負值。

第九頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三3.5.2圓弧兩端點處刀具中心的位置如圖所示圓弧AB是加工輪廓線，半徑為R，加工方向是從A到B,刀具半徑為r，G41方式時，刀具中心軌跡是ab,G42方式時，刀具中心軌跡是cd.由圖可知：第十頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三第三章輪廓加工的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)順圓G41G42

r值在順圓弧G41方式和逆圓弧G42方式下r取正值，在順圓弧G42方式和逆圓弧G41方式下r取負值。

第十一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三第三章輪廓加工的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)工件輪廓有拐點時，拐點可是直線與直線、直線與圓弧、圓弧與圓弧的交點。圖中AB,AD為刀具半徑矢量。對應(yīng)于編程軌跡OA,AF，刀具中心軌跡JB與DK交點為C.

直線拐角時拐角的大小等于兩直線矢量的夾角；直線與圓弧連接時拐角的大小是直線矢量與拐點處圓弧切線矢量的夾角；圓弧與圓弧連接時是兩圓弧在交點處切線矢量的夾角。由于兩矢量夾角不同以及G41,G42偏置方向不同，使刀具中心軌跡的轉(zhuǎn)接方式有所不同，共有三種轉(zhuǎn)接方式：縮短型，伸長型和插入型。

3.5.3轉(zhuǎn)接矢量計算第十二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三第三章輪廓加工的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)伸長型（如圖所示）在G42方式下，兩矢量夾角α:

0o<α<90o

刀具中心越過B點，在C點轉(zhuǎn)折，比OA多走了BC的距離，比AF多走了CD的距離→亦稱伸長型。在G41方式下，兩矢量夾角α:

270o<α<360oG41G42第十三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三縮短型（如圖所示）第三章輪廓加工的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

編程軌跡OA、AF，刀具中心軌跡JB與DK將在C點相交。這樣，相對于OA和AF而言，縮短一個CB與CD的長度。在G41方式下，兩矢量夾角α

:

0o<α

<180o在G42方式下，兩矢量夾角α

:

180o<α

<360oG41G42第十四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三插入型(如圖所示)第三章輪廓加工的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)在G41方式下，兩矢量夾角α

:

180o<α

<270o在G42方式下，兩矢量夾角α

:

90o<α

<180o刀具中心在C點和C′點兩次轉(zhuǎn)折，CC′是插入直線必須保證BC=DC′＝r

G41G42第十五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三

3.5.4輪廓拐角處刀具中心的圓弧連接

上述刀具中心轉(zhuǎn)接方式都是折線另一種轉(zhuǎn)接方式是圓弧，如圖所示。利用（3-17）和（3-19）式計算出刀具中心在直線或圓弧端點的位置，在兩矢量的起點和終點連接處，以輪廓拐點為中心，以刀具半徑為半徑，插入圓弧。作為刀具中心在拐角處的運動軌跡，由于圓弧連接不需要作轉(zhuǎn)接交點的復(fù)雜計算，因而簡單方便，但因刀具圓周在作圓弧拐角時與輪廓拐角相接觸，因而不能得到完好的尖角。

第十六頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三第三章輪廓加工的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

對于縮短型，插入的圓弧將使刀具產(chǎn)生過切現(xiàn)象，這是圓弧過度的弊端。如圖3-28所示。兩矢量連接時，刀具中心相對前一矢量的終點和后以矢量起點位置都是由式3-17或式3-19計算得出，插入的圓弧又是刀具中心移動軌跡，因而對于縮短型必然產(chǎn)生過切現(xiàn)象。利用圓弧連接件編程時，應(yīng)把編程軌跡改成有過渡圓弧的形式，如圖3-29所示，過渡圓弧要大于或等于刀具半徑，并且與原來的工件輪廓線相切。第十七頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三第四章數(shù)控加工與編程的

數(shù)值計算方法

數(shù)控加工與數(shù)控編程實質(zhì)上是曲線、曲面幾何學(xué)在機械制造業(yè)的應(yīng)用。數(shù)控加工中，有簡單曲線和曲面（如直線、圓弧及球面等）數(shù)學(xué)描述及處理；還有不能用二次方程描述的、形狀復(fù)雜的曲線或曲面→自由曲線或自由曲面。第十八頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三

自由曲面是工程中最復(fù)雜而又經(jīng)常遇到的曲面，在航空、造船、汽車、能源、國防等部門中許多零件的外形如各種葉片曲面、各種螺旋槳葉曲面、許多變距螺旋面以及模具工作面等均為空間自由曲面，其形狀復(fù)雜、材料難以加工、精度要求高，在整個部件生產(chǎn)過程中其加工質(zhì)量和加工效率的高低舉足輕重。第十九頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三1963年美國波音公司佛格森將曲線曲面表示為參數(shù)矢量函數(shù)式；1964年美國麻省理工學(xué)院（MIT）孔斯用封閉曲線的四條邊界定義一塊曲面；同一年，舍恩伯格提出了參數(shù)樣條曲線、曲面的形式；1971年，法國雷諾（Renault）汽車公司的貝齊爾（Bezier）提出用控制多邊形定義曲線和曲面的方法；1972年，德布爾（deBoor）給出B樣條標準的計算方法；1974年,美國通用汽車公司戈登（Gorden)將B樣條理論用于形狀描述，提出B樣條曲線、曲面；1975年，美國人佛斯普里爾在博士論文中提出有理B樣條方法；20世紀80年代，美國人皮格爾等將有理B樣條發(fā)展成為非均勻有理B樣條（NUBRS)方法。用NUBRS方法可統(tǒng)一表示初等解析曲線和曲面，成為當(dāng)今自由曲線和曲面最廣為流行的技術(shù)。第二十頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三4.1基點和節(jié)點計算

機械零件由幾種不同幾何元素構(gòu)成的，如，直線、圓弧、二次曲線等。基點：各個幾何元素之間的連接點，如：直線與直線的交點，直線與圓弧的交點或切點，圓弧與圓弧的交（切）點，圓弧與一般二次曲線的交（切）點等。對于直線和圓弧組成的平面零件，由于數(shù)控系統(tǒng)都有直線和圓弧插補功能，數(shù)值計算較簡單，主要是確定基點坐標、圓弧的中心坐標。有了基點的坐標，就可編寫出這些直線和圓弧的加工程序。第二十一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三4.1.1節(jié)點的計算

對于自由曲線，一般的數(shù)控系統(tǒng)不具備自由曲線的插補功能，做法是：即將這類輪廓曲線按編程允差分割成許多小段，用直線或圓弧來代替(即逼近)這些曲線小段。節(jié)點：逼近直線或圓弧小段與輪廓曲線的交點或切點稱為節(jié)點。

數(shù)值計算的任務(wù)就是求算節(jié)點的坐標。

第二十二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三

在數(shù)控加工方法中所說的空間立體曲面的行切法加工，實際上是用許多平行的平面曲線來逼近空間曲面，這時需求出所有的平面曲線，面且還要計算各平面曲線上的基點或節(jié)點，然后再編寫各節(jié)點、基點之間的直線或圓弧加工程序。

第二十三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三4.1.2非圓曲線的節(jié)點計算非圓曲線：除直線、與圓外，可用y=f(x)表示的平面曲線。節(jié)點的數(shù)目及其坐標值取決于曲線的特性，逼近線段的形狀及允許的迫近誤差δ允。根據(jù)這三方面的條件、可用數(shù)學(xué)方法求出各節(jié)點的坐標。是用直線還是圓弧作為逼近線段，則應(yīng)考慮在保證逼近精度的前提下，使節(jié)點數(shù)目少，計算簡單。

1）曲率半徑大的曲線用直線逼近較為有利；

2）曲線某段接近圓弧，用圓弧逼近有利；常用的逼近線段與節(jié)點計算方法有以下幾種。第二十四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三1.等間距直線逼近法方法：使每一個程序段中的某一個坐標的增量相等。直角坐標系：令x坐標的增量相等；極坐標系：令轉(zhuǎn)角坐標的增量相等，也可令向徑長度的增量相等。圖中為加工一個凸輪時，x坐標按等間隔分段時節(jié)點的分布情況。間距的大小一般根據(jù)零件加工精度憑經(jīng)驗選取。第二十五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三從上圖看出，不一定每一段都要驗算。只需驗算y坐標增量值最大的線段(如小A1A2段)；曲率比較大的線段(如A5A6段)；有拐點的線段(如A6A7段)。如果這些線段的逼近誤差小于允許值，其他線段一定能滿足要求。下圖中A1A2是要驗算的線段，曲線的方程距直線A1A2為δ允的直線方程式中：A=y1-y2,B=x2-x1,C=y1(x1-x2)－x1(y1-y2)第二十六頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三2.等弦長直線逼近法方法：使每個程序段的直線段長度相等。由于零件輪廓曲線各處的曲率不同，因此，各段的逼近誤差不相等，必須使最大誤差仍小于δ允。一般說來，零件輪廓曲線的曲率半徑最小的地方，逼近誤差最大。先確定曲率半徑最小的位置，然后在該處按照逼近誤差小于等于δ允的條件求出逼近直線段的長度，用此弦長分割零件的輪廓曲線，即可求出各節(jié)點的坐標。

第二十七頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三3.等誤差直線逼近法該法是使每個直線段的逼近誤差相等，并小于或等于δ允。所以上面兩種方法都合理，程序段數(shù)更少。大型、復(fù)雜的零件輪廓采用這種方法較合理。第二十八頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三4.圓弧逼近法

如果數(shù)控機床有圓弧插補功能，可用圓弧去逼近工件的輪廓曲線。

但需要求每段圓弧的圓心、起點、終點的坐標值及圓弧半徑。

節(jié)點的計算依據(jù)：圓弧段與工件輪廓曲線間的誤差≤δ允。第二十九頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三4.2三次參數(shù)樣條曲線某些零件，如機翼外形、內(nèi)燃機進排氣門的凸輪曲線等，對外形的光順性要求較高，曲線的光順性就意味著曲線的導(dǎo)數(shù)要連續(xù)。如果要求曲線的一階和二階導(dǎo)數(shù)都是連續(xù)的，這可用三次樣條曲線。樣條：最初是在造船業(yè)中放樣用的一根木料或塑料做成的彈性長條，放樣員利用它通過型值點畫出光滑的曲線，樣條曲線便由此而得名。下面介紹三次參數(shù)樣條曲線。第三十頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三4.2.1.三次樣條曲線定義：在區(qū)間[a，b]上給定n個點：x1,x2,…xn，得到a=x1＜x2

＜…＜xn=b,稱在區(qū)間[a，b]上滿足下列條件的函數(shù)S(x）為三次樣條函數(shù)：1）在每一個子區(qū)間[xi,xi+1](i=1,2…n-1)上，S(x)都是三次函數(shù)。2）在整個區(qū)間[a,b]上，S(x)連續(xù)，且具有連續(xù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)。則稱S(x)為[a，b]上，以xi(i=1,2,…n)為節(jié)點的三次樣條函數(shù)。第三十一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三1.三次參數(shù)樣條曲線方程曲線、曲面有顯式、隱式和參數(shù)表示，從計算機圖形學(xué)和計算幾何的角度看，參數(shù)表示較好。曲線上每一點的笛卡爾坐標的參數(shù)是：

x＝x(t)y＝y(tǒng)(t)曲線上一點的參數(shù)表達式為：

p(t)＝[x(t),y(t)]工程上常用以弦長t為參數(shù)的三次樣條