無(wú)限脈沖響應(yīng)濾波器

無(wú)限脈沖響應(yīng)濾波器第一頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三infiniteimpulseresponsefilter(IIR)無(wú)限脈沖響應(yīng)濾波器bilineartransformation雙線性變換prewarpingequation預(yù)扭曲方程Butterworthfilter巴特沃斯濾波器ChebyshevTypeIfilter切比雪夫I型濾波器ChebyshevTypeIIfilter切比雪夫II型濾波器ellipticfilter橢圓濾波器Impulseinvariancemethod脈沖響應(yīng)不變法第二頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三10.1無(wú)限脈沖響應(yīng)濾波器基礎(chǔ)濾波器新的輸出，和過(guò)去的輸出及過(guò)去的輸入和現(xiàn)在輸入有關(guān)。差分方程∑aky[n-k]=∑bkx[n-k]

Nk=0

Mk=0若a0=1，則y[n]=-a1y[n-1]-…-aNy[n-N]+b0x[n]+b1[n-1]+…+bMx[n-M]傳輸函數(shù)H(z)=b0+b1z-1+b2z-2+…+bMz-M1+a1z-1+a2z-2+…+aNz-N第三頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三

這種遞歸濾波器的極點(diǎn)由分母多項(xiàng)式確定，這就可能使濾波器不穩(wěn)定，同時(shí)遞歸濾波器很難實(shí)現(xiàn)線性相位，也就是遞歸濾波器使相位失真，但實(shí)現(xiàn)某種性能要求時(shí)比非遞歸濾波器所需要的系數(shù)少。設(shè)計(jì)遞歸濾波器的方法是選擇具有待求特性的原型模擬濾波器，然后將其轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。返回第四頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三10.2低通模擬濾波器在連續(xù)域中，濾波器用S而不用Z來(lái)描述。簡(jiǎn)單低通模擬濾波器的傳輸函數(shù)為H(s)=

1s+1頻率響應(yīng)為H(ω)=s用jω代替

1jω+1幅度|H(ω)|=

1

√ω2+1ω↑↑|H(ω)|→0ω↓↓|H(ω)|→1具有低通特性Ω=1弧度/秒|H(ω)|=20log()=-3dB1√21√2第五頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三即f=ω/2π=1/2πHz為它的帶寬為使濾波器更通用，傳輸函數(shù)變?yōu)镠(s)=

ωp1s+ωp1H(ω)==

ωp1jω+ωp1

11+jω/ωp1其幅度|H(ω)|=

1

√(ω/ωp1)2+1Ω=ωp1時(shí)，出現(xiàn)–3dB圖10.3第六頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三通常模擬濾波器類(lèi)型包括：巴特沃斯、切比雪夫Ⅰ型、切比雪夫Ⅱ型和橢圓濾波器等。圖10.4返回第七頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三10.3雙線性變換它為模擬濾波器和數(shù)字濾波器之間的轉(zhuǎn)換提供了一種方法。s2fs

z–1z+1z用ejΩ

代替可得到離散時(shí)間傅立葉變換2fs=2fs=2fs

ejΩ–1ejΩ+1

ejΩ/2(ejΩ/2-e-jΩ/2)ejΩ/2(ejΩ/2+e-jΩ/2)

ejΩ/2–e-jΩ/2ejΩ/2+e-jΩ/2sinθ=和cosθ=

ejθ–e-jθ

2j

ejθ+e-jθ

2將s變?yōu)閖ω則有ω2fstan(Ω/2)預(yù)扭曲方程數(shù)字頻率Ω范圍0~π弧度模擬頻率ω范圍0~∞弧度/秒第八頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三逆雙線性變換Ω2tan-1(ω/2fs)圖10.5給出了數(shù)字頻率Ω和模擬頻率ω之間的關(guān)系。第九頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三雙線性變換建立了數(shù)學(xué)域和模擬域之間的另一種聯(lián)系：數(shù)字濾波器的穩(wěn)定區(qū)域是Z平面單位圓內(nèi)，模擬濾波器的穩(wěn)定區(qū)域在S復(fù)平面的左半部圖10.6第十頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三例1：一階模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)H(s)=wp1/(s+wp1)。濾波器的-3dB頻率是2000弧度/秒。求出與此模擬濾波器相對(duì)應(yīng)的數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)H(z),采樣頻率為1500Hz.第十一頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三預(yù)扭曲的數(shù)字濾波器幅度響應(yīng)如圖10.10所示，可看出預(yù)扭曲的濾波器的截止頻率非常接近所要求的值318.3Hz。圖10.10返回第十二頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三10.4巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器是IIR無(wú)限脈沖響應(yīng)濾波器中最簡(jiǎn)單的。它的傳輸函數(shù)H(s)=ωp1S+ωp1|H(ω)|=

1

√(ω/ωp1)2+1一階模擬巴特沃斯濾波器n階模擬巴特沃斯濾波器具有負(fù)責(zé)的傳輸函數(shù)H(s)，其濾波器形狀|H(ω)|=，與一階相似。

1

√(ω/ωp1)2n+1第十三頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三階數(shù)越高，滾降越陡，圖10.12顯示n=1,2,3,4時(shí)模擬巴特沃斯濾波器形狀。圖10.12第十四頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三描述數(shù)字IIR濾波器的術(shù)語(yǔ)：(由圖10.13(a)、(b)看)圖10.13第十五頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三

δp通帶波紋：通帶內(nèi)最大和最小增益之差

δp取–3dB(巴特沃斯濾波器)1–δp:通帶邊緣增益（對(duì)應(yīng)的頻率fp1）(或20log(1–δp)dB)

δs：阻帶波紋，對(duì)應(yīng)的阻帶邊緣增益，對(duì)應(yīng)頻率fs1阻帶邊緣頻率。阻帶邊緣的增益為20logδsdB第十六頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三設(shè)計(jì)時(shí)阻帶邊緣頻率和阻帶衰減（-20logδs）或阻帶增益（20logδs）要給出。圖10.14說(shuō)明非線性相位響應(yīng)，表明濾波后的信號(hào)在某種程度上有相位失真。對(duì)于n階巴特沃斯濾波器，滿足通帶和阻帶設(shè)計(jì)要求所需的階數(shù)nn≥log(-1)2log()1δs2ωs1

ωp1ωs1

:模擬濾波器預(yù)扭曲阻帶邊緣頻率。ωp1:模擬濾波器預(yù)扭曲通帶邊緣頻率。第十七頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三設(shè)計(jì)低通巴特沃斯濾波器步驟：1)確定待求通帶邊緣頻率fp1Hz、待求阻帶邊緣頻率fs1Hz和待求阻帶衰減-20logδsdB(或待求阻帶增益20logδsdB)。通帶邊緣頻率必須對(duì)應(yīng)–3dB增益。4)由已給定的阻帶衰減-20logδs(或增益-20logδs)確定阻帶邊緣增益δs。3)計(jì)算預(yù)扭曲模擬頻率以避免雙線性變化帶來(lái)的失真。由ω=2fstan(Ω/2)求得ωp1和ωs1，單位是弧度/秒。2)用式Ω=2πf/fs把由Hz表示的待求邊緣頻率轉(zhuǎn)成由弧度表示的數(shù)字頻率，得到Ωp1

和Ωs1。第十八頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三5)用下式計(jì)算所需濾波器的階數(shù)：n≥log(-1)2log()1δs2ωs1

ωp1n取整數(shù)把ωp1代入n階模擬巴特沃斯濾波器傳輸函數(shù)H(s)中，并對(duì)H(s)進(jìn)行雙線性變換得到n階數(shù)字傳輸函數(shù)H(z)。濾波器實(shí)現(xiàn)所需的差分方程可直接從傳輸函數(shù)H(s)求出。把ω=2fstan(Ω/2)代入：|H(ω)|=

1

√(ω/ωp1)2+1即可得濾波器形狀|H(Ω)|第十九頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三例10.6設(shè)計(jì)具有巴特沃斯特性的低通IIR濾波器，-3dB頻率為1200Hz。在1500Hz處增益降到–25dB。采樣速率為8000Hz。選擇合適的濾波器階數(shù)并畫(huà)出濾波器形狀。解：1)fp1=1200Hz，fs1=1500HZ-20logδs=25，fs=8000Hz2)Ωp1=2πfp1/fs=0.3

π弧度

Ωs1=2πfs1/fs=0.375π弧度3)ωp1=2fstan(Ωp1/2)=8152.4弧度/秒

ωp1=2fstan(Ωs1/2)=10690.9弧度/秒第二十頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三4)20logδs=-25δs=10-25/20=0.05625)=10.6取n=11n≥log(-1)2log()1δs2ωs1

ωp16)模擬濾波器形狀

1

√(ω/ωp1)2n+1|H(ω)|==

1

√(ω/8152.4)22+1|H(Ω)|=

1

√(16000tan(Ω/2)/8152.4)22+1返回第二十一頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三10.5切比雪夫Ⅰ型濾波器設(shè)計(jì)切比雪夫?yàn)V波器傳輸函數(shù)非常復(fù)雜，但濾波器形狀表達(dá)式非常簡(jiǎn)單，n階切比雪夫Ⅰ型濾波器的形狀定義為|H(ω)|=

1

√1+ε2Cn2(ω/ωp1)Cn(x)=cos(ncos-1(x))對(duì)于|x|≤1cosh(ncosh-1(x))對(duì)于|x|>1參數(shù)ε取決與通帶波紋第二十二頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三濾波器階數(shù)大于1，切比雪夫?yàn)V波器具有比巴特沃夫?yàn)V波器更陡峭的滾降特性。圖10.17第二十三頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三切比雪夫?yàn)V波器的參數(shù)示于圖10.18圖10.18第二十四頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三切比雪夫?yàn)V波器的階數(shù)可由n≥cosh-1(δ/ε)

cosh-1(ωs1/ωp1)δ=√(1/δs2)–1第二十五頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三低通切比雪夫Ⅰ型濾波器的設(shè)計(jì)步驟：ε=√(1/(1–δp)2)–14）由指定的通帶邊緣增益20log(1-δp)，確定通帶邊緣增益1-δp。由下式計(jì)算參數(shù)ε：3）對(duì)數(shù)字頻率采用預(yù)扭曲以避免雙線性變換引起的誤差。由ω=2fstan(Ω/2)得到ωp1和ωs1，單位是弧度/秒。2）用公式Ω=2πf/fs將待求的邊緣頻率轉(zhuǎn)換為數(shù)字頻率（用弧度表示），得到Ωp1

和Ωs1

。1）確定待求的通帶與阻帶邊緣頻率fp1和fs1、待求的通帶邊緣增益20log(1-δp)和待求的阻帶衰減-20logδs（或待求的阻帶增益20logδs）。第二十六頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三5）由指定的衰減-20logδs（或增益20logδs），確定阻帶邊緣增益δs。計(jì)算式如下：δ=√(1/δs2)–16）用下式計(jì)算所需的階數(shù)：n≥，n取整數(shù)cosh-1(δ/ε)

cosh-1(ωs1/ωp1)7）將ωp1和δp代入n階模擬切比雪夫Ⅰ型濾波器的傳輸函數(shù)H(s)，并對(duì)其進(jìn)行雙線性變換，得到n階數(shù)字濾波器傳輸函數(shù)H(z)。實(shí)現(xiàn)濾波器所需的差分方程可由傳輸函數(shù)H(z)直接得到。將

ω=2fstan(Ω/2)代入下式可得濾波器的形狀|H(Ω)||H(ω)|=

1

√1+ε2Cn2(ω/ωp1)第二十七頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三例10.9對(duì)于采樣頻率為20KHz的系統(tǒng)，設(shè)計(jì)具有切比雪夫Ⅰ型特性的IIR濾波器。通帶最大增益為0dB，通帶邊緣在5kHz處，其增益為-1dB。阻帶邊緣在7.5kHz處，其增益為-32dB。解：fp1=5000Hz,fs1=7500Hz,20log(1-δp)=-1fs=20000Hz,20logδs=-32Ωp1

=2πfp1/fs=0.5π弧度

Ωs1

=2πfs1/fs=0.75π弧度第二十八頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三ωp1=2fstan(Ωp1/2)=40000弧度/秒ωs1=2fstan(Ωs1/2)=96568.5弧度/秒6)n≥=3.31n=4cosh-1(δ/ε)

cosh-1(ωs1/ωp1)4)20log(1-δp)=-11-δp=10-1/20=0.89125

ε=√(1/(1-δs2))–1=0.50885)20logδs=-32δs=10-32/20=0.0251

δ=√(1/δs2)–1=39.8第二十九頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三7)|H(ω)|=

1

√1+ε2Cn2(ω/ωp1)=

1

√1+0.2589C42(ω/40000)ω=2fstan(Ω/2)代入上式|H(Ω)|=

1

√1+0.2589C42(Ω/2)C4(x)=cos(4cos-1(x))對(duì)于|x|≤1cosh4(4cosh-1(x))對(duì)于|x|>1返回第三十頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三10.8帶通、高通和帶阻IIR濾波器帶通和高通濾波器的階數(shù)要通過(guò)對(duì)低通濾波器的原型的計(jì)算來(lái)選擇。圖10.22表明了設(shè)計(jì)步驟圖10.22第三十一頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三傳輸函數(shù)高通HH(s)=HL(ωpω’p/s)ωp為低通濾波器的截止頻率

ω’p為高通濾波器的截止頻率帶通HBP(s)=HL(ωp(s2+ωlωu)/s(ωu-ωl))ωl：帶通濾波器的低端截止頻率ωlωu：帶通濾波器的高端截止頻率ωu帶阻HBS(s)=HL(ωps(ωu-ωl)/(s2+ωuωl))從上的ωp，ω’p，ωl，ωu都要進(jìn)行預(yù)扭曲計(jì)算，避免濾波器失真。ω=2fstan(Ω/2)*帶通和帶阻濾波器的階數(shù)都為其低通原型的兩倍。第三十二頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三IIR濾波技術(shù)的一個(gè)應(yīng)用就是產(chǎn)生和恢復(fù)用于按鍵電話機(jī)的雙音多頻信號(hào)（DTMF)第三十三頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三FIGURE10-25Touch-T