2023年新高考藝考生40天突破數(shù)學(xué)90分講義 專(zhuān)題06 函數(shù)的概念（原卷版）

專(zhuān)題06函數(shù)的概念【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】1、函數(shù)的概念（1）一般地，給定非空數(shù)集，，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則，使得中任意元素，都有中唯一確定的與之對(duì)應(yīng)，那么從集合到集合的這個(gè)對(duì)應(yīng)，叫做從集合到集合的一個(gè)函數(shù)．記作：，．集合叫做函數(shù)的定義域，記為，集合，叫做值域，記為．（2）函數(shù)的實(shí)質(zhì)是從一個(gè)非空集合到另一個(gè)非空集合的映射．（3）函數(shù)表示法：函數(shù)書(shū)寫(xiě)方式為，（4）函數(shù)三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則．（5）同一函數(shù)：兩個(gè)函數(shù)只有在定義域和對(duì)應(yīng)法則都相等時(shí)，兩個(gè)函數(shù)才相同．2、基本的函數(shù)定義域限制求解函數(shù)的定義域應(yīng)注意：（1）分式的分母不為零；（2）偶次方根的被開(kāi)方數(shù)大于或等于零：（3）對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；（4）零次冪或負(fù)指數(shù)次冪的底數(shù)不為零；（5）三角函數(shù)中的正切的定義域是且；（6）已知的定義域求解的定義域，或已知的定義域求的定義域，遵循兩點(diǎn)：①定義域是指自變量的取值范圍；=2\*GB3②在同一對(duì)應(yīng)法則∫下，括號(hào)內(nèi)式子的范圍相同；（7）對(duì)于實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)的定義域，還需根據(jù)實(shí)際意義再限制，從而得到實(shí)際問(wèn)題函數(shù)的定義域．3、基本初等函數(shù)的值域（1）的值域是．（2）的值域是：當(dāng)時(shí)，值域?yàn)椋划?dāng)時(shí)，值域?yàn)椋?）的值域是．（4）且的值域是．（5）且的值域是．4、分段函數(shù)的應(yīng)用分段函數(shù)問(wèn)題往往需要進(jìn)行分類(lèi)討論，根據(jù)分段函數(shù)在其定義域內(nèi)每段的解析式不同，然后分別解決，即分段函數(shù)問(wèn)題，分段解決．【題型歸納目錄】題型一：函數(shù)的概念題型二：同一函數(shù)的判斷題型三：給出函數(shù)解析式求解定義域題型四：抽象函數(shù)定義域題型五：函數(shù)定義域的應(yīng)用題型六：函數(shù)解析式的求法1、待定系數(shù)法（函數(shù)類(lèi)型確定）2、換元法或配湊法（適用于了型）3、方程組法題型七：函數(shù)值域的求解1、觀察法2、配方法3、圖像法4、基本不等式法5、換元法6、分離常數(shù)法7、判別式法題型八：分段函數(shù)的應(yīng)用【典例例題】題型一：函數(shù)的概念例1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，可以表示函數(shù)的圖象的是（

）A． B．C． D．例2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列函數(shù)中，不滿(mǎn)足：的是A． B． C． D．例3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列變量與的關(guān)系式中，不能構(gòu)成是的函數(shù)關(guān)系的是（

）A． B． C． D．變式1．（2023春·福建龍巖·高三?？茧A段練習(xí)）函數(shù)y=f(x)的圖象與直線(xiàn)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)（

）A．至少1個(gè) B．至多1個(gè) C．僅有1個(gè) D．有0個(gè)、1個(gè)或多個(gè)變式2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列四個(gè)圖像中，是函數(shù)圖像的是（

）A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）【方法技巧與總結(jié)】利用函數(shù)概念判斷題型二：同一函數(shù)的判斷例4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（

）A．， B．，C．， D．，例5．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列四組函數(shù)中，表示相等函數(shù)的一組是（

）A．， B．，C．， D．，例6．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）以下各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（

）A．， B．，C．， D．，變式3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是（

）A．， B．，C．， D．，【方法技巧與總結(jié)】當(dāng)且僅當(dāng)給定兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則完全相同時(shí)，才表示同一函數(shù)，否則表示不同的函數(shù)．題型三：給出函數(shù)解析式求解定義域例7．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．例8．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．例9．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．變式4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】對(duì)求函數(shù)定義域問(wèn)題的思路是：（1）先列出使式子有意義的不等式或不等式組；（2）解不等式組；（3）將解集寫(xiě)成集合或區(qū)間的形式．題型四：抽象函數(shù)定義域例10．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是（

）A． B．C． D．例11．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知的定義域?yàn)閇0，3]，則的定義域是（

）A． B．C． D．例12．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．變式5．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．變式6．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】1、抽象函數(shù)的定義域求法：此類(lèi)型題目最關(guān)鍵的就是法則下的定義域不變，若的定義域?yàn)?，求中的解的范圍，即為的定義域，口訣：定義域指的是的范圍，括號(hào)范圍相同．已知的定義域，求四則運(yùn)算型函數(shù)的定義域2、若函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算結(jié)合而成的，其定義域?yàn)楦骰竞瘮?shù)定義域的交集，即先求出各個(gè)函數(shù)的定義域，再求交集．題型五：函數(shù)定義域的應(yīng)用例13．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．例14．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t的取值范圍是（

）A． B． C． D．例15．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】對(duì)函數(shù)定義域的應(yīng)用，是逆向思維問(wèn)題，常常轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題求解，必要時(shí)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論．題型六：函數(shù)解析式的求法1、待定系數(shù)法（函數(shù)類(lèi)型確定）例16．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，且為一次函數(shù)，求_________例17．（2023·四川綿陽(yáng)·綿陽(yáng)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)______．①；②；③任取，，，．例18．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）（1）已知f（x）是一次函數(shù)，且滿(mǎn)足f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋3，求f（x）的解析式．（2）若二次函數(shù)g（x）滿(mǎn)足g（1）＝1，g（－1）＝5，且圖象過(guò)原點(diǎn)，求g（x）的解析式．變式7．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知是二次函數(shù)，且滿(mǎn)足，，，求函數(shù)的解析式.2、換元法或配湊法（適用于了型）變式8．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，求.變式9．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)），則_______．變式10．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，則_______．變式11．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則的表達(dá)式為（

）A． B． C． D．3、方程組法變式12．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若對(duì)任意實(shí)數(shù)，均有，求___________變式13．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，求的解析式___________.變式14．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)，滿(mǎn)足，且，則________．【方法技巧與總結(jié)】求函數(shù)解析式的常用方法如下：（1）當(dāng)已知函數(shù)的類(lèi)型時(shí)，可用待定系數(shù)法求解．（2）當(dāng)已知表達(dá)式為時(shí)，可考慮配湊法或換元法，若易將含的式子配成，用配湊法．若易換元后求出，用換元法．（3）若求抽象函數(shù)的解析式，通常采用方程組法．（4）求分段函數(shù)的解析式時(shí)，要注意符合變量的要求．（5）當(dāng)出現(xiàn)大基團(tuán)換元轉(zhuǎn)換繁瑣時(shí)，可考慮配湊法求解．（6）若已知成對(duì)出現(xiàn)，或，，類(lèi)型的抽象函數(shù)表達(dá)式，則常用解方程組法構(gòu)造另一個(gè)方程，消元的方法求出．題型七：函數(shù)值域的求解1、觀察法例19．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．例20．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列函數(shù)中，值域?yàn)榈氖牵?/p>

）A． B． C． D．例21．（2023·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列函數(shù)中，函數(shù)值域?yàn)榈氖牵?/p>

）A． B．C． D．2、配方法變式15．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．變式16．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)，，滿(mǎn)足，，則的最大值為（

）A． B． C． D．3、圖像法變式17．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)，的值域是（

）A． B． C． D．4、基本不等式法變式18．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)（文））下列函數(shù)中最小值為6的是（

）A． B．C． D．變式19．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的值域是_______．5、換元法變式20．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．變式21．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．變式22．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．6、分離常數(shù)法變式23．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)y的值域是（）A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞）變式24．（2023·全國(guó)·江西科技學(xué)院附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））函數(shù)的值域（

）A． B．C． D．7、判別式法變式25．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的最大值與最小值的和是（

）A． B． C． D．變式26．（2023·浙江杭州·高一期中）函數(shù)的值域是___________.【方法技巧與總結(jié)】函數(shù)值域的求法主要有以下幾種（1）觀察法：根據(jù)最基本函數(shù)值域（如≥0，及函數(shù)的圖像、性質(zhì)、簡(jiǎn)單的計(jì)算、推理，憑觀察能直接得到些簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)的值域．（2）配方法：對(duì)于形如的值域問(wèn)題可充分利用二次函數(shù)可配方的特點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的定義城求出函數(shù)的值域．（3）圖像法：根據(jù)所給數(shù)學(xué)式子的特征，構(gòu)造合適的幾何模型．（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的條件，即一正、二定、三相等．（5）換元法：分為三角換元法與代數(shù)換元法，對(duì)于形的值城，可通過(guò)換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次型函數(shù)．（6）分離常數(shù)法：對(duì)某些齊次分式型的函數(shù)進(jìn)行常數(shù)化處理，使函數(shù)解析式簡(jiǎn)化內(nèi)便于分析．（7）判別式法：把函數(shù)解析式化為關(guān)于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判別式求值域，一般地，形如，或的函數(shù)值域問(wèn)題可運(yùn)用判別式法（注意x的取值范圍必須為實(shí)數(shù)集R）．題型八：分段函數(shù)的應(yīng)用例22．（2023·青海海東·統(tǒng)考一模）若函數(shù)，則（

）A． B． C． D．例23．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)則滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例24．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．變式27．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A． B．2 C．5 D．3變式28．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)若，則m的值為（

）A． B．2 C．9 D．2或9變式29．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】1、分段函數(shù)的求值問(wèn)題，必須注意自變量的值位于哪一個(gè)區(qū)間，選定該區(qū)間對(duì)應(yīng)的解析式代入求值2、函數(shù)區(qū)間分類(lèi)討論問(wèn)題，則需注意在計(jì)算之后進(jìn)行檢驗(yàn)所求是否在相應(yīng)的分段區(qū)間內(nèi)．【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)滿(mǎn)足，則的解析式為（

）A． B．C． D．2．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)，則（

）A．0 B．1 C． D．23．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋瑒t函數(shù)的圖像可能是（

）A． B．C． D．4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)則函數(shù)的圖象是（

）A． B． C． D．5．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則（

）A．8 B．9 C．10 D．116．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．7．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B．C． D．8．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．1 B．2 C．4 D．89．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．10．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，則（

）．A． B． C． D．二、多選題11．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（

）A．與 B．與C．與 D．與12．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）集合與對(duì)應(yīng)關(guān)系如下圖所示：下列說(shuō)法正確的是（

）A．是從集合到集合的函數(shù)B．不是從集合到集合的函數(shù)C．的定義域?yàn)榧?，值域?yàn)榧螪．13．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示是函數(shù)的圖象，圖中正半軸曲線(xiàn)與虛線(xiàn)無(wú)限接近但是永不相交，則以下描述正確的是（

）A．函數(shù)的定義域?yàn)锽．函數(shù)的值域?yàn)镃．此函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)D．對(duì)于任意的，都有唯一的自變量與之對(duì)應(yīng)14．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，則下列敘述正確的是（

）A．的值域?yàn)?B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C． D．若，則的最小值為-315．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某公司計(jì)劃定制一批精美小禮品，準(zhǔn)備在公司年終慶典大會(huì)上發(fā)給各位嘉賓，現(xiàn)有兩個(gè)工廠可供選擇，甲廠費(fèi)用分為設(shè)計(jì)費(fèi)和加工費(fèi)兩部分，先收取固定的設(shè)計(jì)費(fèi)，再按禮品數(shù)量收取加工費(fèi)，乙廠直接按禮品數(shù)量收取加工費(fèi)，甲廠的總費(fèi)用（千元），乙廠的總費(fèi)用（千元）與禮品數(shù)量x（千個(gè)）的函數(shù)關(guān)系圖象分別如圖中甲?乙所示，則（

）A．甲廠的費(fèi)用與禮品數(shù)量x之間的函數(shù)關(guān)系式為B．當(dāng)禮品數(shù)量不超過(guò)2千個(gè)時(shí)，乙廠的加工費(fèi)平均每個(gè)為1.5元C．當(dāng)禮品數(shù)量超過(guò)2千個(gè)時(shí)，乙廠的總費(fèi)用與禮品數(shù)量x之間的函數(shù)關(guān)系式為D．若該公司需定制的禮品數(shù)量為6千個(gè)，則該公司選擇乙廠更節(jié)省費(fèi)用16．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)是一次函數(shù)，滿(mǎn)足，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．17．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列各對(duì)函數(shù)中是同一函數(shù)的是（

）．A．f(x)＝