正項級數(shù)的審斂準(zhǔn)則

正項級數(shù)的審斂準(zhǔn)則2008年12月25日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系1第一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三2008年12月25日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系2第4章無窮級數(shù)第1節(jié)常數(shù)項級數(shù)第2節(jié)函數(shù)項級數(shù)第3節(jié)冪級數(shù)第4節(jié)Fourier級數(shù)第二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三2008年12月25日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系3第1節(jié)常數(shù)項級數(shù)1.1常數(shù)項級數(shù)的概念、性質(zhì)與收斂原理1.2正項級數(shù)的審斂準(zhǔn)則1.3變號級數(shù)的審斂準(zhǔn)則第三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三2008年12月25日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系41.2正項級數(shù)的審斂準(zhǔn)則1.充要條件2.比較法4.比值法5.根值法3.積分審斂法定義:這種級數(shù)稱為正項級數(shù).第四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三2008年12月25日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系5正項級數(shù)的特性第五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三2008年12月25日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系61.正項級數(shù)收斂的充要條件定理1.2注第六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三2008年12月25日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系7證明即部分和數(shù)列有界2.比較審斂法定理1.3(比較準(zhǔn)則I)第七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三2008年12月25日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系8不是有界數(shù)列定理證畢.比較審斂法:須有參考級數(shù).第八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三2008年12月25日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系9例1證明第九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三2008年12月25日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系10例2解第十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三2008年12月25日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系11由圖可知重要參考級數(shù):幾何級數(shù),P-級數(shù),調(diào)和級數(shù).第十一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三2008年12月25日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系12再次強調(diào)：第十二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三2008年12月25日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系13例3解第十三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三2008年12月25日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系143.比較審斂法的極限形式:設(shè)?￥=1nna與?￥=1nnb都是正項級數(shù),如果則(1)當(dāng)時,二級數(shù)有相同的斂散性;(2)當(dāng)時，若收斂,則收斂;(3)當(dāng)時,若?￥=1nnb發(fā)散,則?￥=1nna發(fā)散;定理1.4(比較準(zhǔn)則II)第十四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三2008年12月25日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系15證明由比較判別法的推論,得證.第十五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三2008年12月25日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系16原級數(shù)發(fā)散.故原級數(shù)收斂.解第十六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三2008年12月25日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系17第十七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三2008年12月25日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系18第十八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三2008年12月25日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系19由比較判別法知收斂.反之不成立.例如：收斂,發(fā)散.解?第十九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三2008年12月25日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系204.柯西積分審斂法定理1.5(積分準(zhǔn)則)第二十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三2008年12月25日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系21證明由圖可知第二十一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三例5試證級數(shù)，當(dāng)時收斂；當(dāng)時發(fā)散。連續(xù)且單調(diào)減?。ㄒ驗椋┳C設(shè)則函數(shù)在區(qū)間上滿足當(dāng)時當(dāng)時發(fā)散第二十二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三2008年12月25日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系23注第二十三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三2008年12月25日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系24第二十四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三2008年12月25日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系25證明第二十五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三2008年12月25日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系26第二十六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三2008年12月25日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系27比值審斂法的優(yōu)點:不必找參考級數(shù).注第二十七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三2008年12月25日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系28解例5

判別下列級數(shù)的收斂性:

第二十八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三2008年12月25日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系29第二十九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三2008年12月25日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系306.根值審斂法(柯西審斂法)

第三十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三2008年12月25日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系31級數(shù)收斂.第三十一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三2008年12月25日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系32(可用比值法)解:類似于例7用根值法!第三十二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三2008年12月25日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系33反之未必!第三十三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三2008年12月25日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系34小結(jié)正項級數(shù)斂散性的六個判斂散定理第三十四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三2008年12月25日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系352第三十五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三2008年12月25日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系36第三十六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三2008年12月25日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系372證明第三十七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三2008年12月25日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系38二、判斂散性第三十八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三2008年12月25日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系39解第三十九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三2008年12月25日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系40第四十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期三2008年12月25日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系41再用