線性時不變系統(tǒng)的多項(xiàng)式矩陣描述

線性時不變系統(tǒng)的多項(xiàng)式矩陣描述第一頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三主要的數(shù)學(xué)描述輸入輸出描述矩陣分式描述狀態(tài)空間描述系統(tǒng)矩陣描述第二頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三5.1多項(xiàng)式矩陣描述(PMD)一多項(xiàng)式矩陣描述的形式多輸入多輸出線性定常系統(tǒng)：系統(tǒng)的多項(xiàng)式矩陣描述為：注：它是系統(tǒng)的內(nèi)部描述，是最一般的描述。第三頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三二.PMD和其他描述的關(guān)系則狀態(tài)空間描述等價的PMD為：1多項(xiàng)式矩陣的傳遞函數(shù)矩陣2狀態(tài)空間描述的PMD第四頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三3.矩陣分式描述的PMD則等價的PMD為：

不可簡約PMD：{P(s),Q(s)}左互質(zhì)，且{P(s),R(s)}右互質(zhì)不可簡約PMD不唯一

{P(s),Q(s),R(s),W(s)}不可簡約{U(s)P(s)V(s),U(s)Q(s),R(s)V(s),W(s)}不可簡約

U(s),V(s)為單模矩陣三.不可簡約PMD第五頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三由可簡約PMD求不可簡約PMD（1）{P(s),Q(s)}非左互質(zhì)，{P(s),R(s)}右互質(zhì)

此時，P(s),Q(s)有非單模的gcld,設(shè)為H(s),非奇異則

第六頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三(2)P(s),Q(s)左互質(zhì)，P(s),R(s)非右互質(zhì)

P(s),R(s)有非單模的gcrd,設(shè)為F(s),必非奇異

第七頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三（3）前兩種情況的組合

P(s),Q(s)非左互質(zhì)，消去其gcldH(s),得

第八頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三5.2PMD的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)一.PMD實(shí)現(xiàn)的定義

給定{P(s),Q(s),R(s),W(s)}，若能找到狀態(tài)空間描述{A,B,C,E(p)}，使注：PMD實(shí)現(xiàn)具有強(qiáng)不唯一性二.構(gòu)造PMD實(shí)現(xiàn)的方法

以構(gòu)造觀測器形實(shí)現(xiàn)為最簡便已知：{P(s),Q(s),R(s),W(s)},求實(shí)現(xiàn)第九頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三思路：前面已講過的MFD實(shí)現(xiàn)方法，要求分母矩陣行（列）既約，嚴(yán)格真；在P(s)ζ(s)=Q(s)u(s)中，先求的實(shí)現(xiàn)。步驟：先把化成滿足左MFD求實(shí)現(xiàn)的條件，即

P(s)化為行既約，嚴(yán)格真；第十頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三-對求觀測器形實(shí)現(xiàn)（利用上節(jié)方法），得必有-總之實(shí)現(xiàn)為第十一頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三最小實(shí)現(xiàn)

當(dāng)且僅當(dāng)PMD為不可簡約時，其維數(shù)為n=degdetP(s)的任何實(shí)現(xiàn)均為最小實(shí)現(xiàn)。[結(jié)論]

對線性時不變系統(tǒng)的PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s)),

表而為嚴(yán)真的觀測器形實(shí)現(xiàn)，則

PMD的一個實(shí)現(xiàn)(A,B,C,E(p))為：第十二頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三5.3多項(xiàng)式矩陣描述的互質(zhì)性

和狀態(tài)空間描述的能控性與能觀測性互質(zhì)性與能控性、能觀性的等價性1.給定{P(s),Q(s),R(s),W(s)}，其維數(shù)為n=degdetP(s)=dimA的一個實(shí)現(xiàn)為{A,B,C,E(p)}，則

{P(s),Q(s)}左互質(zhì){A，B}能控

{P(s),R(s)}右互質(zhì){A，C}能觀2.對右MFD，能控類實(shí)現(xiàn):{A，B，C，E}，dimA=degdetD(s)

則：{D(s),N(s)}右互質(zhì){A,C}能觀（已經(jīng)能控）對左MFD，能觀類實(shí)現(xiàn)：第十三頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三3.對{A,B,C,E(p)},

{A，B}能控{sI-A，B}左互質(zhì)

{A，C}能觀{sI-A，C}右互質(zhì)此即為PBH秩判據(jù)的結(jié)論。4.SISO系統(tǒng){A，b，c}，則:{系統(tǒng)完全能控且能觀}g(s)無零極點(diǎn)相消

{系統(tǒng)完全能控}adj(sI-A)b和(s)無零極對消現(xiàn)象{系統(tǒng)完全能觀}cadj(sI-A)和(s)無零極對消現(xiàn)象第十四頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三5.4傳輸零點(diǎn)和解耦零點(diǎn)一般地，系統(tǒng)的零、極點(diǎn)與傳遞函數(shù)矩陣的零極點(diǎn)不是等同的，后者包含在前者之中，是前者的一個子集。

同一系統(tǒng)，其PMD為{P(s),Q(s),R(s),W(s)}，系統(tǒng)極點(diǎn)是detP(s)=0的根狀態(tài)空間描述為{A,B,C,E}

系統(tǒng)極點(diǎn)是det(sI-A)=0的根以上二者是等同的。

系統(tǒng)極點(diǎn)并不全是傳遞函數(shù)矩陣的極點(diǎn)，因求傳遞函數(shù)矩陣時可能發(fā)生零極對消。

對消掉的零極點(diǎn)不包含在傳遞函數(shù)矩陣中，成為系統(tǒng)的解耦零點(diǎn)。第十五頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三1.輸入解耦零點(diǎn)(inputdecouplingzero)

若{P(s),Q(s),R(s),W(s)}中，P(s)、Q(s)存在非單模的gcldH(s)，即

可見，H(s)在傳遞函數(shù)矩陣中消失了，這導(dǎo)致了零極點(diǎn)對消。

定義：detH(s)=0的根為輸入解耦零點(diǎn)。

意義：這種對消的零極點(diǎn)使系統(tǒng)的輸入與分狀態(tài)之間解除了耦合，即輸入信號不能影響這些極點(diǎn)所對應(yīng)的狀態(tài)。由于所以，輸入解耦零點(diǎn)又等于使[P(s)Q(s)]行降秩的s值。第十六頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三2.輸出解耦零點(diǎn)(outputdecouplingzero)

若P(s)和R(s)存在非單模的gcrdF(s)意義：輸出解耦零點(diǎn)使輸出與分狀態(tài)之間的耦合解除了，即分狀態(tài)不完全反映到系統(tǒng)輸出中去。第十七頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三3.輸入輸出解耦零點(diǎn)

若P(s)和Q(s)存在非單模的左公因子L(s),(不一定gcld)

同時P(s)和R(s)也存在非單模的右公因子L(s)

即

顯然，L(s)的零點(diǎn)都是解耦點(diǎn)，并且既是i.d.z.,又是o.d.z.這樣的L(s)的零點(diǎn)稱為輸入輸出解耦零點(diǎn)，i.o.d.z第十八頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三注：求傳遞函數(shù)矩陣時，應(yīng)消去P(s)與Q(s)的左公因子和P(s)和R(s)的右公因子，使傳遞函數(shù)矩陣的零極點(diǎn)不包含解耦零點(diǎn)。若記P和Z為傳遞矩陣的極點(diǎn)、零點(diǎn)，則系統(tǒng)的極點(diǎn)Ps和零點(diǎn)Zs分別為傳遞矩陣的零極點(diǎn)O.d.zI.o.d.zI.d.z輸入輸出第十九頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三5.5系統(tǒng)矩陣和嚴(yán)格系統(tǒng)等價一系統(tǒng)矩陣的概念PMD的系統(tǒng)矩陣定義為：1系統(tǒng)矩陣的定義狀態(tài)空間描述的系統(tǒng)矩陣：第二十頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三線性定常系統(tǒng)右MFD的系統(tǒng)矩陣定義為：MFD的系統(tǒng)矩陣：左MFD的系統(tǒng)矩陣為：第二十一頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三2判斷PMD的不可簡約性3PMD的極點(diǎn)和零點(diǎn)若PMD不可簡約，則：

PMD的極點(diǎn)=使S(s)左上方m×m塊矩陣降秩s值

PMD的傳輸零點(diǎn)=使S(s)降秩s值4PMD的解耦零點(diǎn)若PMD可簡約，則：

PMD的輸入解耦零點(diǎn)=使S(s)的前m行降秩s值

PMD的輸出解耦零點(diǎn)=使S(s)的前m列降秩s值第二十二頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三二增廣系統(tǒng)矩陣的概念PMD的增廣系統(tǒng)矩陣定義為：1增廣系統(tǒng)矩陣的定義其中：β為正整數(shù)且可按需要任取。第二十三頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三不可簡約性相同2系統(tǒng)矩陣和增廣系統(tǒng)矩陣的等價性互質(zhì)性相同極點(diǎn)和傳輸零點(diǎn)相同第二十四頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三解耦零點(diǎn)相同傳遞函數(shù)矩陣相同分母矩陣行列式相同第二十五頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三三嚴(yán)格系統(tǒng)等價的概念

稱系統(tǒng)矩陣和是嚴(yán)格系統(tǒng)等價的，當(dāng)且僅當(dāng)存在m×m的單模陣U(s)和V(s)，以及q×m和m×p的多項(xiàng)式矩陣X(s)和Y(s)，使成立：1嚴(yán)格系統(tǒng)等價的定義第二十六頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三[結(jié)論1]和嚴(yán)格系統(tǒng)等價時，滿足：2嚴(yán)格系統(tǒng)等價的性質(zhì)

和具有相同的不變多項(xiàng)式

和具有相同的傳遞函數(shù)陣第二十七頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三[結(jié)論2]兩個狀態(tài)空間描述是代數(shù)等價的，當(dāng)且僅當(dāng)它們的系統(tǒng)矩陣是嚴(yán)格等價的。[結(jié)論3]系統(tǒng)的各種結(jié)構(gòu)特性，如左互質(zhì)和右互質(zhì)、能控性和能觀性等，在嚴(yán)格等價變換下是不變的。第二十八頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三[結(jié)論4]傳遞函數(shù)矩陣G(s)的所有不