高考調(diào)研2016屆高三新課標(biāo)數(shù)學(xué)文一輪復(fù)習(xí)課件單元測(cè)試第五章平面向量與復(fù)數(shù)6份5專題研究

專題研究平面向量的綜合應(yīng)用專題講解課外閱讀題組層級(jí)快練專題講解題型一向量與平面幾何例1

已知△ABC的三邊長(zhǎng)AC＝3，BC＝4，AB＝5，P為AB邊上任意一點(diǎn)，則C→P·(B→A－B→C)的最大值為

．方法二：(基向量法)∵C→P＝C→A＋A→P，B→A－B→C＝C→A，∴C→P·(B→A－B→C)＝(C→A＋A→P)·C→A＝C→A2＋A→P·C→A＝9－A→P·A→C＝9－|A→P||A→C|cos∠BAC＝9－3|A→P|cos∠BAC.∵cos∠BAC為正且為定值，∴當(dāng)|A→P|最小即|A→P|＝0時(shí)，C→P·(B→A－B→C)取得最大值9.【答案】

9探究1

平面幾何問題的向量解法．坐標(biāo)法．把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，就賦予了有關(guān)點(diǎn)與向量具體的坐標(biāo)，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決．基向量法．適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構(gòu)造關(guān)于設(shè)定未知量的方程來進(jìn)行求解．思考題1(1)(2014·山東理)在△ABC中，已知πA→B·A→C＝tanA，當(dāng)A＝6時(shí)，△ABC的面積為

．【解析】

根據(jù)平面向量數(shù)量積的概念得A→B

·

A→C

＝|

A→B|·|

A→C

|cosA，當(dāng)A＝

π

時(shí)，根據(jù)已知可得|

A→B

|·|

A→C

|＝

2

，故△6

3→ABC的面積為1

AB|·→

|AC|sin

＝2|

6

6π

1.【答案】16(2)如圖所示，在△ABC中，AD⊥AB，B→C

＝|A→D|＝1，則A→C·A→D＝(

)3

B→D

，A．2

3B.

32C.

33D.

3【解析】A→C·A→D＝(A→B＋B→C)·A→D＝A→B·A→D＋B→C·A→D＝B→C·A→D＝

3

B→D·A→D＝

3|B→D||A→D|cos∠BDA＝

3|A→D|2＝

3.【答案】

D

題型二向量與三角函數(shù)例2

已知在銳角△ABC中，向量p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)，q＝(sinA－cosA,1＋sinA)，且p與q是共線向量．

(1)求A的大小；(2)求函數(shù)y＝2sin2B＋cos(C－3B2)取最大值時(shí)，B的大小．【思路】向量與三角函數(shù)的結(jié)合往往是簡(jiǎn)單的組合．如本題中的條件通過向量給出，根據(jù)向量的平行得到一個(gè)等式．因此這種題目較為簡(jiǎn)單．【解析】(1)∵p∥q，∴(2－2sinA)(1＋sinA)－(cosA＋sinA)(sinA－cosA)＝0.∴sin2A＝3

sinA＝

34，∴

2

.∵△ABC為銳角三角形，∴A＝60°.2(2)y＝2sin2B＋cos(C－3B)2＝2sin

B＋cos(180°－B－A－3B2)＝2sin2B＋cos(2B－60°)＝1－cos2B＋cos2Bcos60°＋sin2Bsin60°＝1

1

3－2cos2B＋

2

sin2B＝1＋sin(2B－30°)，當(dāng)2B－30°＝90°，即B＝60°時(shí)，函數(shù)取最大值2.【答案】

(1)60°

(2)B＝60°，ymax＝2探究2

解決平面向量與三角函數(shù)的交匯問題的關(guān)鍵，準(zhǔn)確利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)已知條件，將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問題解決．思考題2(2015·河南中原名校聯(lián)考)在△ABC中，A，B，C為三個(gè)內(nèi)角，a，b，c為對(duì)應(yīng)的三條邊，π3<C<π2，且b

sin2Ca－b

sinA－sin2C＝

.判斷△ABC的形狀；若|B→A＋B→C|＝2，求B→A·B→C的取值范圍．【解析】

(1)由

b

＝

sin2C

及正弦定理，得a－b

sinA－sin2CsinB＝sin2C.∴B＝2C或B＋2C＝π.π

2π若B＝2C，且π

C<

，則

<B<π，∴B＋C>π(舍去)．3<

2

3若B＋2C＝π，則A＝C，∴△ABC為等腰三角形．(2)∵|B→A＋B→C|＝2，∴a2＋c2＋2accosB＝4.又∵a＝c，∴cosB＝2－a2a2.24而cosB＝－cos2C，1

sB<1，∴1<a

<

.2<co

3由(1)知a＝c，∴B→A·B→C＝a2cosB＝2－a2∈2(3，1)．2【答案】

(1)等腰三角形

(2)(3，1)題型三向量與解析幾何例3

已知平面上一定點(diǎn)C(2,0)和直線l：x＝8，P為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作PQ⊥l，垂足為Q，且(P→C＋1P→Q)·(P→C－1

→2

2PQ＝0.求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；若EF為圓N：x2＋(y－1)2＝1的任一條直徑，求P→E·P→F的最小值．【解析】(1)設(shè)P(x，y)，則Q(8，y)．由(P→C＋1

→)·(PC→－1P→Q)＝0，2PQ

24得|P→C|2－1|P→Q|2＝0.1x2

y2即(x－2)2＋y2－4(x－8)2＝0.化簡(jiǎn)得16＋12＝1.x2

y2所以點(diǎn)P在橢圓上，其方程為16＋12＝1.(2)因?yàn)镻→E·P→F＝(N→E－N→P)·(N→F－N→P)＝(－N→F－N→P)·(N→F－N→P)＝(－N→P)2－N→F2＝N→P2－1，x2

y2P是橢圓16＋12＝1上的任意一點(diǎn)，設(shè)P(x0，y0)，則有0

＋x2

y216

120

＝1，0即x2＝16－4y230.又N(0,1)，→2

20

0所以NP

＝x

＋(y

－12

20

01)

＝－3y

－2y

＋17102＝－3(y

＋3)

＋20.因?yàn)閥0∈[－2

3，2

3]，所以當(dāng)y0＝2

3時(shí)，N→P2取得最小值(2

3－1)2＝13－4

3(此時(shí)x0＝0)．故P→E·P→F的最小值為12－4

3.【答案】x2

y2(1)16＋12＝1

(2)12－4

3探究3

向量的坐標(biāo)運(yùn)算可將幾何問題用代數(shù)方法處理，也可以將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來解決，其中向量是橋梁，因此，在解此類題目的時(shí)候，一定要重視轉(zhuǎn)化與化歸．思考題3x2

y2若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓

4

＋

3

＝1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則O→P

·F→P

的最大值為(A．2C．6)B．3D．8【解析】由題意，得F(－1,0)，設(shè)P(x0，y0)，則有x2

04＋y2

03＝1，解得20y

＝3(1—x2

040)．因?yàn)镕P

＝(x

＋10→

→，y

)，

OP

＝→

→(x

，y

)，所以O(shè)P·FP＝x

(x220

0

0

0

0

0

0

0＋1)＋y

＝x

＋x

＋3(1－

)＝x2

x2

04

4＋x0＋3，對(duì)應(yīng)的拋物線的對(duì)稱軸方程為x0＝－2.因?yàn)椋?/p>

→222≤x0≤2，故當(dāng)x0＝2時(shí)，OP

·FP

取得最大值4

＋2＋3＝6，故選C.【答案】

C課外閱讀三角形的“心”的向量表示及應(yīng)用1．三角形各心的概念介紹重心：三角形的三條中線的交點(diǎn)；垂心：三角形的三條高線的交點(diǎn)；內(nèi)心：三角形的三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)(三角形內(nèi)切圓的圓心)；外心：三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)(三角形外接圓的圓心)．根據(jù)概念，可知各心的特征條件．比如：重心將中線長(zhǎng)度分成2∶1；垂線與對(duì)應(yīng)邊垂直；角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等；外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等．2．三角形各心的向量表示O

是△ABC

的重心?O→A＋O→B＋O→C＝0；O

是△ABC

的垂心?O→A·O→B＝O→B·O→C＝O→C·O→A；O

是△ABC

的外心?|O→A|＝|O→B|＝|O→C|(或O→A2＝O→B2＝O→C2)；|AB|A→B

A→C|AC|→

→|BA|B→A

B→C(4)O

是△ABC

的內(nèi)心?OA·(→－→)＝OB·(→－→|BC|→|CA|C→A

C→B|CB|＝OC·(

→

－

→

)＝0.A→B

A→C注意

向量

λ(

→

＋

→

)(λ≠0)所在直線過△ABC

的內(nèi)|AB|

|AC|心(是∠BAC

的角平分線所在直線)1．將平面向量與三角形外心結(jié)合考查例1

若O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，|

O→A

|＝|

O→B

|＝|

O→C

|，則O是△ABC的()A．內(nèi)心B．外心C．垂心D．重心【解析】

由向量模的定義知O到△ABC的三頂點(diǎn)距離相等，故O是△ABC的外心，故選B.【答案】

B2．將平面向量與三角形垂心結(jié)合考查例2

點(diǎn)P是△ABC所在平面上一點(diǎn)，若P→A

·P→B

＝

P→B

·P→C＝P→C·P→A，則點(diǎn)P是△ABC的(

)A．外心C．重心B．內(nèi)心D．垂心【解析】

由P→A·P→B＝P→B·P→C，得P→A·P→B－P→B·P→C＝0，即P→B·(P→A－P→C)＝0，即P→B·C→A＝0，則PB⊥CA.同理PA⊥BC，PC⊥AB，所以P為△ABC的垂心．故選D.【講評(píng)】本題考查平面向量有關(guān)運(yùn)算，及“數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直”、三角形的垂心的定義等相關(guān)知識(shí)．將三角形的垂心的定義與平面向量有關(guān)運(yùn)算及“數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直”等相關(guān)知識(shí)巧妙結(jié)合．【答案】

DA→B【解析】

因?yàn)?/p>

→

是向量AB的單位向量，設(shè)AB與AC→

→

→|AB|方向上的單位向量分別為e1和e2，又O→P

－

O→A

＝

A→P，則原式可化為

A→P

＝λ(e1＋e2)，由菱形的基本性質(zhì)可知AP平分∠BAC，那么在△ABC中，AP平分∠BAC，故選B.【答案】

B4．將平面向量與三角形重心結(jié)合考查例4

點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)．G是△ABC的重心?P→G

1(P→A＋P→B＋P→C)．＝3【證明】

∵P→G＝P→A＋A→G＝P→B＋B→G＝P→C＋C→G，∴3P→G＝(A→G＋B→G＋C→G)＋(P→A＋P→B＋P→C)．∵點(diǎn)G是△ABC的重心，∴G→A＋G→B＋G→C＝0.∴A→G＋B→G＋C→G＝0，即3P→G＝P→A＋P→B＋P→C.1由此得P→G＝

(P→A＋P→B＋P→C)．3反之亦然(證略)．5．將平面向量與三角形四心結(jié)合考查例5

已知向量O→P1

，

O→P2

，

O→P3

滿足條件O→P1

＋

O→P2

＋O→P3＝0，|O→P1

|＝|O→P2

|＝|O→P3

|＝1，求證：△P1P2P3是正三角形．【證明】由已知條件可得O→P1＋O→P2＝－O→P3，兩邊平1方，得O→P

·O→P2＝－21.2

3

3同理O→P

·O→P

＝O→P

·O→P11＝－2.∴|P→P

|＝|P→P

|＝|P→P

|＝

3.1

2

2

3

3

1從而△P1P2P3是正三角形．1．若O為空間中一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在A，B，C三點(diǎn)確定的平面內(nèi)且滿足(O→P－O→A)·(A→B－A→C)＝0，則點(diǎn)P的軌跡一定過△ABC的()A．外心B．內(nèi)心C．重心答案

D

D．垂心2．已知O，N，P在△ABC所在平面內(nèi)，且|O→A|＝|O→B|＝|O→C|，N→A＋N→B＋N→C＝0，P→A·P→B＝P→B·P→C＝P→C·P→A，則點(diǎn)O，N，P依次是△ABC的(

)A．重心、外心、垂心B．重心、外心、內(nèi)心C．外心、重心、垂心D．外心、重心、內(nèi)心答案C解析

由|O→A|＝|O→B|＝|O→C|知，O是三角形的外心，排除答案A，B.由N→A＋N→B＋N→C＝0得出N必然為重心．∵P→A·P→B＝P→B·P→C，∴(P→A－P→C)·P→B＝0.∴C→A·P→B＝0，∴CA⊥PB，同理，AP⊥BC.∴P為△ABC的垂心，故選C.3．在△ABC中，若動(dòng)點(diǎn)P滿足C→A2＝C→B2－2A→B·C→P

，則P點(diǎn)軌跡一定通過△ABC的(

)A．外心C．重心答案

A

B．