大學(xué)物理 靜電場(高斯定理)

§3高斯定理一.電力線用一族空間曲線形象描述場強(qiáng)分布通常把這些曲線稱為電場線(electricfieldline)或電力線(electriclineofforce)1.規(guī)定方向：力線上每一點(diǎn)的切線方向；大小：在電場中任一點(diǎn)，取一垂直于該點(diǎn)場強(qiáng)方向的面積元，使通過單位面積的電力線數(shù)目，等于該點(diǎn)場強(qiáng)的量值。2021/5/91若面積元不垂直電場強(qiáng)度，電場強(qiáng)度與電力線條數(shù)、面積元的關(guān)系怎樣？由圖可知通過和電力線條數(shù)相同^勻強(qiáng)電場2021/5/922.電力線的性質(zhì)1)電力線起始于正電荷(或無窮遠(yuǎn)處)，終止于負(fù)電荷，不會(huì)在沒有電荷處中斷；2)兩條電場線不會(huì)相交；3)電力線不會(huì)形成閉合曲線。之所以具有這些基本性質(zhì)，由靜電場的基本性質(zhì)和場的單值性決定的?？捎渺o電場的基本性質(zhì)方程加以證明。2021/5/93二.電通量(electricflux)藉助電力線認(rèn)識(shí)電通量通過任一面的電力線條數(shù)勻強(qiáng)電場通過任意面積元的電通量通過任意曲面的電通量怎么計(jì)算？把曲面分成許多個(gè)面積元每一面元處視為勻強(qiáng)電場2021/5/94通過閉合面的電通量討論正與負(fù)取決于面元的法線方向的選取如前圖知>0若如紅箭頭所示則<0S2021/5/95規(guī)定：面元方向由閉合面內(nèi)指向面外確定的值S>0<0電力線穿入電力線穿出2021/5/96三.靜電場的高斯定理Gausstheorem1.表述在真空中的靜電場內(nèi)，任一閉合面的電通量等于這閉合面所包圍的電量的代數(shù)和。除以2021/5/97平面角：由一點(diǎn)發(fā)出的兩條射線之間的夾角單位：弧度補(bǔ)充：立體角的概念為半徑的弧長取當(dāng)然也一般的定義：射線長為線段元對(duì)某點(diǎn)所張的平面角2021/5/98平面角立體角面元dS對(duì)某點(diǎn)所張的立體角：錐體的“頂角”單位球面度對(duì)比平面角，取半徑為球面面元定義式2021/5/99弧度計(jì)算閉合曲面對(duì)面內(nèi)一點(diǎn)所張的立體角球面度計(jì)算閉合平面曲線對(duì)曲線內(nèi)一點(diǎn)所張的平面角平面2021/5/910庫侖定律+疊加原理思路：先證明點(diǎn)電荷的場然后推廣至一般電荷分布的場1)源電荷是點(diǎn)電荷在該場中取一包圍點(diǎn)電荷的閉合面(如圖示)2.高斯定理的證明

在閉合面S上任取面元該面元對(duì)點(diǎn)電荷所張的立體角點(diǎn)電荷在面元處的場強(qiáng)為2021/5/911點(diǎn)電荷在面元處的場強(qiáng)為^^在所設(shè)的情況下得證2021/5/9122)源電荷仍是點(diǎn)電荷取一閉合面不包圍點(diǎn)電荷(如圖示)^在閉合面上任取面元該面元對(duì)點(diǎn)電荷張的立體角也對(duì)應(yīng)面元兩面元處對(duì)應(yīng)的點(diǎn)電荷的電場強(qiáng)度分別為^^2021/5/9133)源和面均任意根據(jù)疊加原理可得^此種情況下仍得證2021/5/9141.閉合面內(nèi)、外電荷的貢獻(xiàn)2.靜電場性質(zhì)的基本方程3.源于庫侖定律高于庫侖定律4.微分形式討論都有貢獻(xiàn)對(duì)對(duì)電通量的貢獻(xiàn)有差別只有閉合面內(nèi)的電量對(duì)電通量有貢獻(xiàn)有源場2021/5/915四.高斯定理在解場方面的應(yīng)用利用高斯定理解較為方便

常見的電量分布的對(duì)稱性：球?qū)ΨQ柱對(duì)稱面對(duì)稱均勻帶電的球體球面(點(diǎn)電荷)無限長柱體柱面帶電線無限大平板平面的分布具有某種對(duì)稱性的情況下對(duì)2021/5/916例1均勻帶電球面根據(jù)電荷分布的對(duì)稱性，選取合適的高斯面(閉合面)解:取過場點(diǎn)的以球心o為心的球面總電量為半徑為求：電場強(qiáng)度分布先從高斯定理等式的左方入手先計(jì)算高斯面的電通量2021/5/917再根據(jù)高斯定理解方程過場點(diǎn)的高斯面內(nèi)電量代數(shù)和?><><2021/5/918如何理解面內(nèi)場強(qiáng)為0?過P點(diǎn)作圓錐則在球面上截出兩電荷元在P點(diǎn)場強(qiáng)方向如圖在P點(diǎn)場強(qiáng)方向如圖2021/5/919例2均勻帶電的無限長的直線線密度對(duì)稱性的分析取合適的高斯面計(jì)算電通量利用高斯定理解