拓撲學1：克萊因瓶

克萊因瓶在數(shù)學領域中，克萊因瓶(Kleinbottle)是指一種無定向性的平面，比如二維平面，就沒有“內(nèi)部”和“外部”之分。在拓撲學中，克萊因瓶(KleinBottle)是一個不可定向的拓撲空間?？巳R因瓶最初由德國幾何學大家菲立克斯?克萊因(FelixKlein)提出。在1882年，著名數(shù)學家菲立克斯?克萊因(FelixKlein)發(fā)現(xiàn)了后來以他的名字命名的著名"瓶子”?？巳R因瓶的結(jié)構(gòu)可表述為：一個瓶子底部有一個洞，現(xiàn)在延長瓶子的頸部，并且扭曲地進入瓶子內(nèi)部，然后和底部的洞相連接。和我們平時用來喝水的杯子不一樣，這個物體沒有邊”，它的表面不會終結(jié)。它和球面不同，一只蒼蠅可以從瓶子的內(nèi)部直接飛到外部而不用穿過表面(即它沒有內(nèi)外之分)。命名來源“克萊因瓶”這個名字的翻譯其實是有些錯誤的，因為最初用德語命名時候名字中"KleinscheFlache"是"克萊因平面"的意思。因為翻譯問題寫成了Flasche，這個詞才是瓶子的意思。不過不要緊，“瓶子”這個詞用起來也非常合適。在1882年，著名數(shù)學家菲利克斯?克萊因(FelixKlein)發(fā)現(xiàn)了后來以他的名字命名的著名“瓶子”。這是一個像球面那樣封閉的(也就是說沒有邊)曲面，但是它卻只有一個面。在圖片上我們看到，克萊因瓶的確就像是一個瓶子。但是它沒有瓶底，它的瓶頸被拉長，然后似乎是穿過了瓶壁，最后瓶頸和瓶底圈連在了一起。如果瓶頸不穿過瓶壁而從另一邊和瓶底圈相連的話，我們就會得到一個輪胎面(即環(huán)面)。描述克萊因瓶是一個不可定向的二維緊流形，而球面或輪胎面是可定向的二維緊流形。如果觀察克萊因瓶，有一點似乎令人困惑一一克萊因瓶的瓶頸和瓶身是相交的，換句話說，瓶頸上的某些點和瓶壁上的某些點占據(jù)了三維空間中的同一個位置。我們可以把克萊因瓶放在四維空間中理解:克萊因瓶是一個在四維空間中才可能真正表現(xiàn)出來的曲面。如果我們一定要把它表現(xiàn)在我們生活的三維空間中，我們只好將就點，把它表現(xiàn)得似乎是自己和自己相交一樣。克萊因瓶的瓶頸是穿過了第四維空間再和瓶底圈連起來的，并不穿過瓶壁。用扭結(jié)來打比方，如果把它看作平面上的曲線的話，那么它似乎自身相交，再一看似乎又斷成了三截。但其實很容易明白，這個圖形其實是三維空間中的曲線。它并不和自己相交，而是連續(xù)不斷的一條曲線。在平面上一條曲線自然做不到這樣，但是如果有第三維的話，它就可以穿過第三維來避開和自己相交。只是因為我們要把它畫在二維平面上時，只好將就一點，把它畫成相交或者斷裂了的樣子?？巳R因瓶也一樣，我們可以把它理解成處于四維空間中的曲面。在我們這個三維空間中，即使是最高明的能工巧匠，也不得不把它做成自身相交的模樣；就好像最高明的畫家，在紙上畫扭結(jié)的時候也不得不把它們畫成自身相交的模樣。有趣的是，如果把克萊因瓶沿著它的對稱線切下去，竟會得到兩個莫比烏斯環(huán)。如果莫比烏斯帶能夠完美的展現(xiàn)一個“二維空間中一維可無限擴展之空間模型”的話，克萊因瓶只能作為展現(xiàn)一個“三維空間中二維可無限擴展之空間模型”的參考。因為在制作莫比烏斯帶的過程中，我們要對紙帶進行180°翻轉(zhuǎn)再首尾相連，這就是一個三維空間下的操作。理想的“三維空間中二維可無限擴展之空間模型”應該是在二維面中，朝任意方向前進都可以回到原點的模型，而克萊因瓶雖然在二維面上可以向任意方向無限前進。但是只有在兩個特定的方向上才會回到原點，并且只有在其中一個方向上，回到原點之前會經(jīng)過一個'逆向原點”，真正理想的“三維空間中二維可無限擴展之空間模型'也應該是在二維面上朝任何方向前進，都會先經(jīng)過一次“逆向原點”，再回到原點。而制作這個模型，則需要在四維空間上對三維模型進行扭曲。數(shù)學中有一個重要分支叫'拓撲學”，主要是研究幾何圖形連續(xù)改變形狀時的一些特征和規(guī)律的，克萊因瓶和莫比烏斯帶變成了拓撲學中最有趣的問題之一。莫比烏斯帶的概念被廣泛地應用到了建筑，藝術，工業(yè)生產(chǎn)中。三維空間里的克萊因瓶。拓撲學的定義克萊因瓶定義為正方形區(qū)域[0,1]x[0,1]模掉等價關系(0,y)~(1,y),0WyW1和(x,0)~(1-x,1),0WxW1。類似于MobiusBand,克萊因瓶不可定向。但Mobius帶可嵌入：】廣，而克萊因瓶只能嵌入四維(或更高維)空間。制造經(jīng)歷過去，德國數(shù)學家克萊因就曾提出了“不可能”設想，即拓撲學的大怪物一一克萊因瓶。這種瓶子根本沒有內(nèi)、外之分，無論從什么地方穿透曲面，到達之處依然在瓶的外面，所以，它本質(zhì)上就是一個“有外無內(nèi)”的古怪東西。盡管現(xiàn)代玻璃工業(yè)已經(jīng)發(fā)展得非常先進，但是，所謂的“克萊因瓶”卻始終是大數(shù)學家克萊因先生腦子里頭的“虛構(gòu)物”，根本制造不出來。許多國家的數(shù)學家老是想造它一個出來，作為獻給國際數(shù)學家大會的禮物。然而，等待他們的是一個失敗接著一個失敗。也有人認為，即使造不出玻璃制品，能造出一個紙模型也不錯。如果真的解決了這個問題，那