2022考研數(shù)一真題及解析

千里之行，始于足下讓知識(shí)帶有溫度。第第2頁(yè)/共2頁(yè)精品文檔推薦2022考研數(shù)一真題及解析2022年全國(guó)碩士討論生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題

一、填空題(本題共5小題，每小題3分，滿分15分，把答案填在題中橫線上)(1)

2e

lndx

xx

+∞

=?

(2)已知函數(shù)()yyx=由方程2610yexyx++-=確定，則''(0)y=.(3)微分方程2'''0yyy+=滿足初始條件1

1,'

2

y

yxx==

==的特解是.(4)已知實(shí)二次型222

123123121323(,,)()444fxxxaxxxxxxxxx=+++++經(jīng)正交變換xPy=可化成標(biāo)準(zhǔn)型2

16fy=，則a=.

(5)設(shè)隨機(jī)變量X聽(tīng)從正態(tài)分布2(,)(0),Nμσσ>且二次方程240yyX++=無(wú)實(shí)根的概率為

1

2

，則μ=

二、挑選題(本題共5小題，每小題3分，共15分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，惟獨(dú)一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)(1)考慮二元函數(shù)(,)fxy的下面4條性質(zhì)：

①(,)fxy在點(diǎn)00(,)xy處延續(xù)，②(,)fxy在點(diǎn)00(,)xy處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)延續(xù)，③(,)fxy在點(diǎn)00(,)xy處可微，④(,)fxy在點(diǎn)00(,)xy處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在.若用""PQ?表示可由性質(zhì)P推出Q，則有()(A)②?③?①.(B)③?②?①.(C)③?④?①.(D)③?①?④.

(2)設(shè)0(1,2,3,...),nun≠=且lim1,nn

nu→∞=則級(jí)數(shù)11111(1)()nnnnuu∞

+=+-+∑()

(A)發(fā)散.(B)肯定收斂.

(C)條件收斂.(D)收斂性按照所給條件不能判定.

(3)設(shè)函數(shù)()yfx=在(0,)+∞內(nèi)有界且可導(dǎo)，則()

(A)當(dāng)lim()0xfx→+∞

=時(shí)，必有l(wèi)im'()0xfx→+∞

=.

(B)當(dāng)lim'()xfx→+∞

存在時(shí)，必有l(wèi)im'()0xfx→+∞

=.

(C)當(dāng)0

lim()0xfx+→=時(shí)，必有0

lim'()0xfx+

→=.(D)當(dāng)0

lim'()xfx+→存在時(shí)，必有0

lim'()0xfx+

→=.

(4)設(shè)有三張不同平面的方程123,1,2,3,iiiiaxayazbi++==它們所組成的線性方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都為2，則這三張平面可能的位置關(guān)系為()

(5)設(shè)1X和2X是隨意兩個(gè)互相自立的延續(xù)型隨機(jī)變量，它們的概率密度分離為1()fx和

2()fx，分布函數(shù)分離為1()Fx和2()Fx，則()

(A)12()()fxfx+必為某一隨機(jī)變量的概率密度.(B)12()()fxfx必為某一隨機(jī)變量的概率密度.(C)12()()FxFx+必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù).(D)12()()FxFx必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù).

三、(本題滿分6分)

設(shè)函數(shù)()fx在0x=的某鄰域內(nèi)具有一階延續(xù)導(dǎo)數(shù)，且(0)0,'(0)0,ff≠≠若

()(2)(0)afhbfhf+-在0h→時(shí)是比h高階的無(wú)窮小，試確定,ab的值.

四、(本題滿分7分)

已知兩曲線()yfx=與2

arctan0

x

tyedt-=?

在點(diǎn)(0,0)處的切線相同，寫(xiě)出此切線方程，

并求極限2lim().nnfn

→∞

五、(本題滿分7分)

計(jì)算二重積分

2

2max{,}

,xyD

edxdy??其中{(,)|01,01}Dxyxy=≤≤≤≤.

六、(本題滿分8分)

設(shè)函數(shù)()fx在(,)-∞+∞內(nèi)具有一階延續(xù)導(dǎo)數(shù)，L是上半平面(0)y>內(nèi)的有向分段光

滑曲線，其起點(diǎn)為(,)ab，盡頭為(,)cd.記2221[1()][()1],LxIyfxydxyfxydyyy

=

++-?(1)證實(shí)曲線積分I與路徑L無(wú)關(guān)；(2)當(dāng)abcd=時(shí)，求I的值.

七、(本題滿分7分)

(1)驗(yàn)證函數(shù)3693()13(3)!

n

xxxxyxxn=+++++∞.此事發(fā)生概率為

12，即{}142

PX>=，對(duì)于2

(,)(0),XNμσσ>{}12

PXμ>=，由于正態(tài)分布的密度函數(shù)為

22

()()2xfxμσ??-=-????

x-∞=

，所以4μ=.

二、挑選題

(1)【詳解】下述重要因果關(guān)系應(yīng)記住，其中AB?表示由A可推出B.無(wú)箭頭者無(wú)因果關(guān)系，箭頭的逆向不成立.

(,)xfxy'與(,)yfxy'延續(xù)(,)fxy?可微(,)(,)(,)xyfxyfxyfxy?''?????

與存在延續(xù)

其中均指在同一點(diǎn)處.記住上述關(guān)系，不難回答本挑選題，故應(yīng)選(A).

(2)【詳解】首先要分清肯定收斂和條件收斂的定義，通過(guò)定義判定級(jí)數(shù)的斂散性.

考察原級(jí)數(shù)

11

1

11(1)(

)nnnnuu∞

+=+-+∑的前n項(xiàng)部分和

1122334111111111(

)()()(1)()nnnnSuuuuuuuu++=+-+++-+-+1

11

11

(1)nnuu++=+-由lim

10nnnu→∞=>知，當(dāng)n充分大時(shí)，0nu>且limnnu→∞=+∞.所以1

1

limnnSu→∞=(收斂)，

另一方面，

1

1

1

1

()nn

nu

u∞

=++

∑為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，用比較判別法的極限形式，由題設(shè)條件lim

1nn

n

u→∞=的啟發(fā)，考慮

1111111

()(1)limlimlim1121(21)1(1)

nnnnnnnnnnnnnuuuuuuuunnnuunnnnn++++→∞→∞→∞+++++==+++

++11(1)(1)[](1)lim

21nnnnnuunnnnnnnuun+→∞

+++++=+1

1(1)(1)lim1211nn

nn

nuunnnn

uunnnn

+→∞++++==+??

+而級(jí)數(shù)1111111

()11nnnnnnn∞

∞

∞===+=+++∑∑∑

是發(fā)散的，所以1111()nn

nuu∞=++∑也發(fā)散，所以選(C).

(3)【詳解】辦法1：排斥法.

令21()sinfxxx=

，則()fx在(0,)+∞有界，2221

()sin2cosfxxxx

'=-+，lim()0xfx→+∞

=，但lim()xfx→+∞

'不存在，故(A)不成立；

0lim()0xfx+

→=，但0

lim()10xfx+

→'=≠，(C)和(D)不成立，故選(B).辦法2：證實(shí)(B)正確.設(shè)lim()xfx→+∞

'存在，記lim()xfxA→+∞

'=，證實(shí)0A=.

用反證法，若0A>，則對(duì)于02

A

ε=

>，存在0X>，使當(dāng)xX>時(shí)，()2AfxAε'-+-

從而lim()xfx→+∞

=+∞，與題設(shè)()fx有界沖突.類似可證當(dāng)0A??當(dāng).故在上半平面(0y>)，該曲線積分與路徑無(wú)關(guān).(2)辦法1：由該曲線積分與路徑無(wú)關(guān)而只與端點(diǎn)有關(guān)所以用折線把兩個(gè)端點(diǎn)銜接起來(lái).先從

點(diǎn)(,)ab到點(diǎn)(,),cb再到點(diǎn)(,)cd.有

2

221[1()][()1]c

da

bcIbfbxdxyfcydyb

y=++-?

?

()]()cdabcacc

bfbxdxcfcydybdb

-=+++-??

經(jīng)積分變量變換后，()cdabcaIftdtdb=-+?.當(dāng)abcd=時(shí)，推得ca

Idb

=-.辦法2:原函數(shù)法.

2221[1()][()1]Lx

Iyfxydxyfxydyyy

=++-?

2()()()()()L

LLLydxxdyx

fxyydxxdydfxydxyyy

-=++=+?

???由原函數(shù)法計(jì)算其次型曲線積分的公式(與定積分的牛頓—萊布尼茨公式類似)，有

(,)();(,)Lcdxxca

dabyydb==-?

(,)

()()()

()()0,(,)

L

cdfxydxyFxyFcdFabab==-=?

其中()Fu為()fu的一個(gè)原函數(shù)，即設(shè)()()Fufu'=.由此有caIdb

=

-.辦法3：因?yàn)榕c路徑無(wú)關(guān)，又由abcd=的啟發(fā)，取路徑xyk=，其中kab=.點(diǎn)(,)ab與

點(diǎn)(,)cd都在此路徑上.于是將k

xy

=

代入之后，

22221[(1())()(()1)]dakk

Iyfkyfkdyyyy

=+-+-?

32()d

b

kdyy=-

?2

dkb

y=22k

kdb=-22cdabdb=-.cadb=-

七【解】(1)369331

()113(3)!(3)!nn

nxxxxxyxnn∞

==+++++=+∑

+！6！9！，由收斂半徑的求法知收斂半徑為∞，故由冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間上逐項(xiàng)可導(dǎo)公式得

3311()(1)(3)!(3)!nnnnxxyxnn∞

∞

=='??''=+=???∑∑311

3(3)!nnnxn-∞==∑31

1(31)!nnxn-∞==-∑，同理得32

1(32)!

nnxyn-∞

=''=-∑

從而

()()()yxyxyx'''++32313111

()()(1)(32)!(31)!(3)!nnn

nnnxxxnnn--∞

∞∞

====+++--∑∑∑

11!

n

nxn∞

==+∑(由xe的麥克勞林綻開(kāi)式)

xe=

這說(shuō)明，30()(3)!

nnxyxn∞

==∑是微分方程x

yyye'''++=的解，并且滿足初始條件

310(0)1(3)!nnyn∞

==+∑1=，31

10(0)(31)!

nnyn-∞

='=-∑0=.(2)微分方程x

yyye'''++=對(duì)應(yīng)的齊次線性方程為0yyy'''++=，其特征方程為

210λλ++=

，其特征根為12-，所以其通解為

2

12[]xyeCxCx-=+.另外，該非齊次方程的特解形式為x

yce=，代入原非齊次方程得x

x

x

x

cececee++=，

所以13

c=

.故微分方程x

yyye'''++=的通解為

2

121[cos

sin]223

xxyeCxCxe-

=++.故

22

121211[cossin][sincos]2222223

xx

xyeCxCxeCxxe--'=-?++-?++

222112111(2(2223

xxxeCCxeCCe--=-?--?-+

由初始條件(0)1,(0)0yy'==得

02121

00

022*********[cos0sin0]2233111

0(20(2022311223eCCeCeCCeCCeCC?=++=+??

?=-?--?-+????=-+?+

?

解得

112

113110

2

3CC?

+=??

?

?-+=??，于是得到惟一的一組解：

122

,0.3

CC==從而得到滿足微分方程xyyye'''++=及初始條件(0)1,(0)0yy'==的解，惟獨(dú)一個(gè)，為

22133

xxyexe-=+

另一方面，由(1)已知30()(3)!

nnxyxn∞

==∑也是微分方程x

yyye'''++=及初始條件

(0)1,(0)0yy'==的解，由微分方程解的唯一性，知

321211().(3)!

33x

nxnxexexn∞

-=+=+-∞

由一維概率計(jì)算公式，{}()b

Xa

PaXbfxdx≤≤=

?

，有

3311()cos32

22xpPXfxdxdxππππ+∞?

?=>===??????，

所以，1(4,)2

YB~.

由公式22()[()]()DYEYEY=-以及若(,)YBnp~，其數(shù)學(xué)期望和方差分離為

();()EYnpDYnpq==，其中1.qp=-

得2

2

2

2111

()()[()]()4(4)5.222

EYDYEYnpqnp=+=+=?

?+?=

十二【分析】矩估量的實(shí)質(zhì)在于用樣本矩來(lái)估量相應(yīng)的總體矩，此題中被估參數(shù)惟獨(dú)一個(gè)，故只需要用樣本一階原點(diǎn)矩(樣本均值)來(lái)估量總體的一階原點(diǎn)矩(期望)

最大似然估量，實(shí)質(zhì)上就是找出訪似然函數(shù)最大的那個(gè)參數(shù)，問(wèn)題的關(guān)鍵在于構(gòu)造似然函數(shù).

【詳解】矩估量：由離散型隨機(jī)變量期望的定義1

()()n

i

i

iEXxPXx==

=∑，有：