湖南省高三下學期模擬考試(理科)數(shù)學試卷-附帶答案解析

第第頁湖南省高三下學期模擬考試(理科)數(shù)學試卷-附帶答案解析班級:___________姓名：___________考號：___________一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．若復數(shù)的模為5，虛部為，則復數(shù)（

）A． B．C．或 D．3．已知，是單位向量，且，則（

）A． B．C． D．與的夾角為4．拋物線的焦點為F，A，B為拋物線上的兩個動點，且滿足.過弦AB的中點M作拋物線準線的垂線MN，垂足為N.則的最大值為（

）A． B． C．1 D．25．函數(shù)的圖象大致形狀是（

）A． B．C． D．6．若函數(shù)在上單調(diào)，且在上存在極值點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．8．設函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，．若，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．下列結(jié)論正確的是（

）A．若兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1B．樣本的回歸直線至少經(jīng)過其中一個樣本點C．在回歸方程中，當解釋變量x每增加1個單位時，預報變量平均增加0.2個單位D．在線性回歸模型中，用相關(guān)指數(shù)刻畫擬合效果，的值越小，模型的擬合效果越好10．下列式子，可以是x2＜1的一個充分不必要條件的有（

）A．x＜1 B．0＜x＜1 C．﹣1＜x＜1 D．﹣1＜x＜011．在平面直角坐標系中，，，，，設點的軌跡為，下列說法正確的是（

）A．軌跡的方程為B．面積的最大值為C．的最小值為D．若直線與軌跡交于，兩點，則12．如圖，有一列曲線，，……，，……，且1是邊長為1的等邊三角形，是對進行如下操作而得到：將曲線的每條邊進行三等分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉得到，記曲線的邊數(shù)為，周長為，圍成的面積為，則下列說法正確的是（

）A．數(shù)列{}是首項為3，公比為4的等比數(shù)列B．數(shù)列{}是首項為3，公比為的等比數(shù)列C．數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列D．當n無限增大時，趨近于定值三、填空題13．若曲線在在，兩點處的切線互相垂直，則的最小值為________．14．某校邀請6位學生的父母共12人，請這12位家長中的4位介紹其對子女的教育情況，如果這4位家長中恰有一對是夫妻，那么不同的選擇方法有______種.15．在四棱錐中，已知底面，，，，，是平面內(nèi)的動點，且滿足.則當四棱錐的體積最大時，三棱錐外接球的表面積為______.16．函數(shù)．若對任意，都有，則實數(shù)m的取值范圍為_________．四、解答題17．已知等差數(shù)列的公差為，前n項和為，其中，，成等比數(shù)列，.(1)求的通項公式；(2)若，且，設數(shù)列的前n項和，求證.18．如圖，四棱錐的底面是邊長為2的正方形，平面平面，是斜邊的長為的等腰直角三角形，E，F(xiàn)分別是棱，的中點，M是棱上一點(1)求證：平面平面；(2)若直線與平面所成角的正切值為，求平面與平面夾角的余弦值．19．求解下列問題：(1)求證：；(2)已知，求.20．第19屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，在保持原有40個大項目不變的前提下，增設了電子競技和霹靂舞兩個競賽項目，國家體育總局為了深入了解各省在“電子競技”和“霹靂舞”兩個競賽項目上的整體水平，隨機選取了10個省進行研究，便于科學確定國家集訓隊隊員，各省代表隊人數(shù)如下表省代表隊電子競技45512738571926473429霹靂舞26154442322856364820(1)從這10支省代表隊中隨機抽取3支，在抽取的3支代表隊參與電子競技的人數(shù)均超過30人的條件下，求這3支代表隊參與霹靂舞的人數(shù)均超過30人的概率；(2)若霹靂舞參與人數(shù)超過40人的代表隊所在地可以成為國家隊集訓基地，現(xiàn)從這10支代表隊中隨機抽取4支，記X為選出代表隊所在地可以成為國家隊集訓基地的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；(3)某省代表隊準備進行為期3個月的霹靂舞封閉訓練，對太空步?空中定格?整體移動三個動作進行集訓，且在集訓中進行了多輪測試.規(guī)定：在一輪測試中，這3個動作至少有2個動作達到“優(yōu)秀”，則該輪測試記為“優(yōu)秀”，已知在一輪測試的3個動作中，甲隊員每個動作達到“優(yōu)秀”的概率均為，每個動作互不影響且每輪測試互不影響：如果甲隊員在集訓測試中獲得“優(yōu)秀”次數(shù)的平均值不低于9次，那么至少要進行多少輪測試？21．已知雙曲線E：的左頂點為A，其離心率為，且A到E的一條漸近線的距離為．(1)求E的方程；(2)過的直線l與E的右支交于B，C兩點，直線AB，AC與y軸分別交于M，N兩點，記直線PM，PN的斜率分別為，，試判斷是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．22．已知函數(shù)，且正數(shù)a，b滿足(1)討論f（x）的單調(diào)性；(2)若的零點為，，且m，n滿足，求證：.（其中……是自然對數(shù)的底數(shù)）參考答案與解析1．C【分析】解不等式化簡集合A，B，再利用并集的定義求解作答.【詳解】依題意，，，所以.故選：C2．C【分析】設，，根據(jù)復數(shù)的虛部和模，可得求，寫出復數(shù)即可.【詳解】設，∴，解得∴.故選：C3．B【分析】根據(jù)單位向量的定義及向量數(shù)量積的運算律計算可得；【詳解】解：因為，是單位向量，所以，又，所以，所以，即，，即，所以，所以，因為，所以，即與的夾角為故選：B4．C【分析】設，過A，B點分別作準的垂線AQ，BP，由拋物線定義，得，在中，利用余弦定理結(jié)合基本不等式、拋物線的定義可得，從而可求得結(jié)果【詳解】設，過A，B點分別作準的垂線AQ，BP由拋物線定義，得在梯形ABPQ中，.由余弦定理得，又.得到，即的最大值為1故選:C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查拋物線的性質(zhì)及應用，考查余弦定理和基本不等式的應用，解題的關(guān)鍵是運用拋物線的定義和梯形中位線定理找出關(guān)系，再利用余弦定理和基本不等式可得結(jié)論，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題5．A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得函數(shù)為偶函數(shù)，可排除CD，然后根據(jù)時的函數(shù)值可排除B.【詳解】因為，定義域為R又所以是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，故排除CD又當時，，，故排除B.故選：A.6．A【分析】依據(jù)函數(shù)在上單調(diào)，可知，計算出函數(shù)的對稱軸，然后根據(jù)函數(shù)在所給區(qū)間存在極值點可知，最后計算可知結(jié)果.【詳解】因為在上單調(diào)，所以，則，由此可得.因為當，即時函數(shù)取得極值，要滿足在上存在極值點，因為周期故在上有且只有一個極值，故第一個極值點，得.又第二個極值點要使在上單調(diào)，必須，得.綜上可得，的取值范圍是.故選:A.7．A【分析】設，則，根據(jù)斜率公式結(jié)合題意可得，再根據(jù)，將用表示，整理，再結(jié)合離心率公式即可得解.【詳解】[方法一]：設而不求設，則則由得：由，得所以，即所以橢圓的離心率，故選A.[方法二]：第三定義設右端點為B，連接PB，由橢圓的對稱性知：故由橢圓第三定義得：故所以橢圓的離心率，故選A.8．D【分析】通過是奇函數(shù)和是偶函數(shù)條件，可以確定出函數(shù)解析式，進而利用定義或周期性結(jié)論，即可得到答案．【詳解】[方法一]：因為是奇函數(shù)，所以①；因為是偶函數(shù)，所以②．令，由①得：，由②得：因為，所以令，由①得：，所以．思路一：從定義入手．所以．[方法二]：因為是奇函數(shù)，所以①；因為是偶函數(shù)，所以②．令，由①得：，由②得：因為，所以令，由①得：，所以．思路二：從周期性入手由兩個對稱性可知，函數(shù)的周期．所以．故選：D．【點睛】在解決函數(shù)性質(zhì)類問題的時候，我們通?？梢越柚恍┒壗Y(jié)論，求出其周期性進而達到簡便計算的效果．9．AC【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義可判斷A；由回歸直線方程的性質(zhì)可判斷B、C；由相關(guān)指數(shù)與擬合效果的關(guān)系判斷D，進而可得正確選項.【詳解】對于A：兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，故選項A正確；對于B：樣本的回歸直線不一定經(jīng)過其中一個樣本點，一點經(jīng)過樣本中心點，故選項B不正確；對于C：在回歸方程中，當解釋變量x每增加1個單位時，預報變量平均增加0.2個單位，故選項C正確；對于D：用相關(guān)指數(shù)刻畫擬合效果，的值越大，模型的擬合效果越好，故選項D不正確；故選：AC.10．BD【分析】由題意可得選項是x2＜1的充分不必要條件，即選項的范圍要比題干范圍要小即可得出答案【詳解】由x2＜1得出，根據(jù)題意，選項所代表的范圍是的充分不必要條件由邏輯關(guān)系可得選項的范圍要比小，由此可得A錯，C是的充要條件，所以C錯B和D比范圍小，所以B和D對.故選：BD11．BD【分析】A選項：設，利用列等式，整理即可得到點的軌跡；B選項：根據(jù)幾何的思路得到當點縱坐標的絕對值最大時，面積最大時，然后求面積即可；C選項：根據(jù)幾何的思路得到，然后求最小值即可；D選項：利用勾股定理求弦長即可.【詳解】設點，化簡得，，故A錯誤；當點縱坐標的絕對值最大時，面積最大時，此時，故B正確；設軌跡的圓心為，半徑為，所以，，點在圓內(nèi)，所以，故C錯誤；圓心到直線的距離為，，，故D正確．故選：BD.12．ABD【分析】結(jié)合圖形規(guī)律得，即可判斷A,根據(jù)第個圖形的邊長為，即可判斷B，根據(jù)，利用累加法及等比數(shù)列的前項和公式求出．【詳解】是在的基礎(chǔ)上，每條邊新增加3條新的邊，故，又,所以數(shù)列{}是首項為3，公比為4的等比數(shù)列,且故A正確第個圖形的邊長為，所以，故數(shù)列{}是首項為3，公比為的等比數(shù)列，故B正確因為是在的每條邊上再生出一個小正三角形，于是同理，對是在的每條邊上再生出一個小正三角形于是的面積等于的面積加上個新增小三角形的面積即于是可以利用累加的方法得到將上面式子累加得當時，，故C錯誤，D正確故選：ABD13．##【分析】化簡可得，求出導數(shù)可得切線斜率在范圍內(nèi)，即可得出切線斜率必須一個是1，一個是，即可求出.【詳解】曲線的切線斜率在范圍內(nèi)又曲線在兩點處的切線互相垂直故在，兩點處的切線斜率必須一個是1，一個是.不妨設在A點處切線的斜率為1則有，則可得所以.故答案為：.14．240【分析】先從6對夫婦中選一對，再從余下的5對夫婦中選兩對，每一對中選一位，根據(jù)分步計數(shù)原理，即可得到結(jié)果．【詳解】解：分步完成，4位中恰有一對是夫婦，則先從6對夫婦中選一對，有種結(jié)果再從余下的5對夫婦中選兩對，每一對中選一位有種結(jié)果根據(jù)分步計數(shù)原理得到結(jié)果是6×40＝240故答案為240．【點睛】本題是一個帶有約束條件的排列組合問題，解題時排列與組合問題要區(qū)分開，解題的關(guān)鍵是利用分步計數(shù)原理，把握好分類的原則．15．【分析】分析可知，然后以點以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，設點，求出點的軌跡方程，可知當點到平面的距離最大時，四棱錐的體積最大，設點，設三棱錐的球心為，列方程組求出點的坐標，可求得球的半徑，再利用球體表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】因為，，，，則四邊形為直角梯形平面，平面，則，，平面，則平面、平面，，，則故平面，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系則、、、，設點由可得，化簡可得即點的軌跡為圓，當點到平面的距離最大時，四棱錐的體積最大不妨設點，設三棱錐的球心為由，可得，解得所以，三棱錐的外接球球心為，球的半徑為因此，三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：.【點睛】方法點睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：①補形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長方體中去求解；②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；③定義法：到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點距離也是半徑，列關(guān)系求解即可；④坐標法：建立空間直角坐標系，設出外接球球心的坐標，根據(jù)球心到各頂點的距離相等建立方程組，求出球心坐標，利用空間中兩點間的距離公式可求得球的半徑.16．【分析】將條件轉(zhuǎn)化為，然后設，則問題轉(zhuǎn)化為，進而根據(jù)函數(shù)為增函數(shù)得到，最后通過分離參數(shù)求得答案.【詳解】由題意，，設，則問題可轉(zhuǎn)化為.因為是上的增函數(shù)（增+增），所以恒成立.設，則，時，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減，所以，于是.故答案為：.【點睛】本題的破解點在于設，進而得到，此方法叫“同構(gòu)”，平常注意歸納總結(jié).17．(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)，，成等比數(shù)列，代入求和公式即可求得首項和公差，即可求得通項公式；（2）根據(jù)求得，然后求得數(shù)列的通項后利用裂項求和即可證明.【詳解】（1）解：因為，，成等比數(shù)列，則，即又，則，由得，即則有可得，所以.（2）證明：由，且所以當時，則有又也滿足，故對任意的，有則所以由于單調(diào)遞增，所以．綜上：.【點睛】.18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，從而，又，由線面垂直的判定定理得平面，則，又，得平面，根據(jù)面面垂直的判定定理即可證得結(jié)論；（2）取的中點，則，，結(jié)合（1）得平面，結(jié)合線面角的定義得是直線與平面所成角，求得，，建立空間直角坐標系，分別求出平面、的法向量，利用空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】（1）因為是斜邊PA的長為的等腰直角三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面∴平面，又平面，∴又，，平面，∴平面因為平面，∴∵，F(xiàn)是棱PC的中點，∴又，平面，∴平面．又平面，∴平面平面．（2）如圖，取的中點，連接，則，由（1）知平面，∴平面∴是直線與平面所成角∴∴，∴以為坐標原點，，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系則有：，，，∴，，設平面的法向量為，平面的法向量為則，令，則有，令，則∴∴平面與平面夾角的余弦值為．19．(1)證明詳見解析(2)【分析】（1）利用二倍角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進行證明；（2）利用（1）以及二倍角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得.【詳解】（1）證明：.（2），則由，解得所以因為，由（1）得所以.20．(1)(2)分布列答案見解析，數(shù)學期望：(3)至少要進行11輪測試【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，利用事件的意義，結(jié)合條件概率，即可求解；（2）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，可知的所有可能取值為，利用超幾何分布，即可求每一個隨機變量的概率，即可求分布列和數(shù)學期望；（3）首先記甲隊員在一輪測試中獲得“優(yōu)秀”為事件，并求，“優(yōu)秀”的次數(shù)服從二項分布，再根據(jù)期望公式，列不等式，即可求解.【詳解】（1）由題可知10支代表隊，參與“霹靂舞”的人數(shù)依次為，參與“電子競技”的人數(shù)依次為，其中參與