2024版高中同步新教材選擇性必修第一冊（人教A版）數(shù)學 第一章 空間向量與立體幾何 空間向量及其運算的坐標表示

1.空間直角坐標系在空間選定一點O和一個單位正交基底{i,j,k},以點O為原點,分別以i,j,k的方向為正方

向、以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸:x軸、y軸、z軸,它們都叫做坐標軸,這時我們就

建立了一個空間直角坐標系Oxyz.1.3空間向量及其運算的坐標表示1|空間直角坐標系知識點必備知識清單破2.相關概念

O叫做原點,i,j,k都叫做坐標向量,通過每兩條坐標軸的平面叫做坐標平面,分別稱為Oxy

平面,Oyz平面,Ozx平面,它們把空間分成八個部分,如圖所示.

注意:(1)坐標向量i,j,k滿足|i|=|j|=|k|=1,i·j=i·k=j·k=0.(2)畫空間直角坐標系Oxyz時,一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°.(3)在空間直角坐標系中,讓右手拇指指向x軸的正方向,食指指向y軸的正方向,如果中指指

向z軸的正方向,則稱這個坐標系為右手直角坐標系,如圖所示.我們建立的坐標系一般都是

右手直角坐標系.1.如圖,在空間直角坐標系Oxyz中,i,j,k為坐標向量,對空間任意一點A,對應一個向量

,且點A的位置由向量

唯一確定,由空間向量基本定理,存在唯一的有序實數(shù)組(x,y,z),使

=xi+yj+zk.在單位正交基底{i,j,k}下與向量

對應的有序實數(shù)組(x,y,z),叫做點A在空間直角坐標系中的坐標,記作A(x,y,z).

2|空間直角坐標系中點的坐標知識點點的位置x軸上y軸上z軸上坐標形式(x,0,0)(0,y,0)(0,0,z)2.空間直角坐標系中位于坐標軸、坐標平面上的點的坐標如下表所示:點的位置Oxy平面Oyz平面Ozx平面坐標形式(x,y,0)(0,y,z)(x,0,z)3.空間直角坐標系中對稱點的坐標空間點的對稱問題可類比平面直角坐標系中點的對稱問題,掌握對稱點的變化規(guī)律,才

能準確求解.對稱點的問題常常用“關于誰對稱,誰保持不變,其余坐標相反”這個結論來

解決.例如:(1)點(a,b,c)關于原點O的對稱點為(-a,-b,-c);(2)點(a,b,c)關于x軸的對稱點為(a,-b,-c);(3)點(a,b,c)關于Oxy平面的對稱點為(a,b,-c).4.(1)已知A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則線段AB的中點的坐標為

.(2)已知△ABC的三個頂點A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),則△ABC重心的坐標為

.1.在空間直角坐標系Oxyz中,給定向量a,作

=a,由空間向量基本定理,存在唯一的有序實數(shù)組(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序實數(shù)組(x,y,z)叫做a在空間直角坐標系Oxyz中的坐標,可簡記作

a=(x,y,z).注意:符號(x,y,z)具有雙重意義,它既可以表示點,也可以表示向量,但向量與坐標之間用

“=”連接,點與坐標之間無“=”.2.設a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);λa=(λa1,λa2,λa3),λ∈R;a·b=a1b1+a2b2+a3b3.3|空間向量及其運算的坐標表示知識點設a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則4|空間向量的平行、垂直及模、夾角的坐標表示知識點結論坐標表示平行a∥b(b≠0)?a=λb?

a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R)垂直a⊥b(a≠0,b≠0)?a·b=a1b1+a2b2+a3b3=0模|a|=

=

;|b|=

=

夾角cos<a,b>=

=

(a≠0,b≠0)設P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空間中任意兩點,O是坐標原點,則

=

-

=(x2-x1,y2-y1,z2-z1),所以P1P2=|

|=

.特別地,空間任意一點P(x,y,z)到原點O的距離OP=|

|=

.5|空間兩點間的距離公式知識點知識辨析1.空間直角坐標系有什么作用?2.如何求解空間直角坐標系中任一點的坐標?3.空間向量

(O為坐標原點)的坐標和點P的坐標有什么關系?4.點(2,1,3)關于Oxy平面對稱的點的坐標是什么?5.已知點A(3,4,5),則點A到原點O的距離是多少?一語破的1.空間直角坐標系可以將空間點、直線、平面數(shù)量化,將空間點、直線、平面的位置關系

解析化.2.點在空間直角坐標系中的位置有3種可能:點在坐標軸上、點在坐標平面內(nèi)和點不是特殊

點.對于前兩種,熟悉點的坐標特征即可輕松寫出其坐標;對于第三種,一般是先確定點在

Oxy平面內(nèi)的射影的位置,再由豎坐標確定點在空間直角坐標系中的具體位置,進而得到其

坐標.3.若點P在空間直角坐標系中的坐標為(x,y,z),那么向量

的坐標也為(x,y,z).4.(2,1,-3).5.

=(3,4,5),則OA=|

|=

=5

.1.建立空間直角坐標系,利用坐標運算解決空間平行、垂直問題的方法稱為“坐標法”,是

向量法中的一種.2.與向量坐標有關的平行、垂直問題主要有兩種類型:一是判定平行、垂直;二是已知平行

或垂直求參數(shù).利用向量的坐標證明兩直線平行或垂直的步驟:(1)建立適當?shù)目臻g直角坐標系,求出相應點的坐標;(2)求出有關直線的方向向量;(3)證明兩直線平行即證明兩直線的方向向量共線;證明兩直線垂直即證明兩直線的方向向

量的數(shù)量積為0;(4)還原到幾何問題,得出結論.1|利用空間向量的坐標運算解決空間平行、垂直問題定點關鍵能力定點破在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,G,H分別是CC1,CD,A1C1的中點.以A為坐標原點,

,

,

的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標系,解決以下問題.(1)求證:AB1∥GE,AB1⊥EH;(2)過點B作BM⊥AC1于點M,求點M的坐標.

典例1解析如圖.設正方體的棱長為1,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1

(1,1,1).由線段中點的坐標公式,得E

,G

,H

.

(1)證明:

=(1,0,1),

=

,

=

.因為

=2

,

·

=1×

+0×

+1×

=0,所以

∥

,

⊥

,即AB1∥GE,AB1⊥EH.(2)設M(x,y,z),則

=(x,y,z),

=(x-1,y,z).易知

=(1,1,1).由BM⊥AC1,得

·

=0,即x-1+y+z=0.①因為M在直線AC1上,所以

∥

,所以設

=μ

(μ∈R),得x=μ,y=μ,z=μ.②由①②得μ=

,所以x=

,y=

,z=

.所以點M的坐標為

.關鍵技巧通過建系確定點的坐標的方法:(1)建立空間直角坐標系時應遵循以下原則:①

讓盡可能多的點落在坐標軸上或坐標平面內(nèi);②充分利用幾何圖形的對稱性.(2)求某點的

坐標時,要通過向某兩個坐標平面投影,準確找到該點在三個坐標軸上對應的實數(shù).已知空間三點A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),設a=

,b=

.(1)若|c|=3,c∥

,求c;(2)若ka+b與ka-2b互相垂直,求k.典例2解析

(1)∵

=(-2,-1,2)且c∥

,∴設c=λ

=(-2λ,-λ,2λ)(λ∈R).∴|c|=

=3|λ|=3,解得λ=±1.∴c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2).(2)∵a=

=(1,1,0),b=

=(-1,0,2),∴ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).∵ka+b與ka-2b互相垂直,∴(ka+b)·(ka-2b)=0,即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0,解得k=2或k=-

.關鍵技巧利用向量的坐標運算求向量平行與垂直類問題時要注意:①適當引入?yún)?shù)(比

如根據(jù)向量a,b平行,可設a=λb,λ∈R),建立關于參數(shù)的方程(組);②利用向量平行與垂直的坐

標運算求解,以達到簡化運算的目的.

利用空間向量的坐標運算求異面直線所成角或線段長度的步驟(1)根據(jù)幾何圖形的特點建立適當?shù)目臻g直角坐標系;(2)利用已知條件寫出有關點的坐標,進而獲得相關向量的坐標;(3)利用向量數(shù)量積的坐標公式求得相關向量的夾角,并將它轉化為異面直線所成的角;利

用兩點間的距離公式求出線段的長度.

注意:設異面直線l1,l2所成的角為θ,θ∈

,它們的方向向量分別為a,b,則cosθ=|cos<a,b>|.2|利用空間向量的坐標運算求夾角和長度定點在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,N為A1A的中點.(1)求BN的長;(2)求A1B與B1C所成角的余弦值.典例解析如圖,以C為坐標原點,

,

,

為單位正交基底建立空間直角坐標系C