2024版高中同步新教材選擇性必修第一冊(cè)（人教A版）數(shù)學(xué) 第一章 空間向量與立體幾何 空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示

1.空間直角坐標(biāo)系在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底{i,j,k},以點(diǎn)O為原點(diǎn),分別以i,j,k的方向?yàn)檎?/p>

向、以它們的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立三條數(shù)軸:x軸、y軸、z軸,它們都叫做坐標(biāo)軸,這時(shí)我們就

建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz.1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示1|空間直角坐標(biāo)系知識(shí)點(diǎn)必備知識(shí)清單破2.相關(guān)概念

O叫做原點(diǎn),i,j,k都叫做坐標(biāo)向量,通過(guò)每?jī)蓷l坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面,分別稱為Oxy

平面,Oyz平面,Ozx平面,它們把空間分成八個(gè)部分,如圖所示.

注意:(1)坐標(biāo)向量i,j,k滿足|i|=|j|=|k|=1,i·j=i·k=j·k=0.(2)畫空間直角坐標(biāo)系Oxyz時(shí),一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°.(3)在空間直角坐標(biāo)系中,讓右手拇指指向x軸的正方向,食指指向y軸的正方向,如果中指指

向z軸的正方向,則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系,如圖所示.我們建立的坐標(biāo)系一般都是

右手直角坐標(biāo)系.1.如圖,在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,i,j,k為坐標(biāo)向量,對(duì)空間任意一點(diǎn)A,對(duì)應(yīng)一個(gè)向量

,且點(diǎn)A的位置由向量

唯一確定,由空間向量基本定理,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使

=xi+yj+zk.在單位正交基底{i,j,k}下與向量

對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),叫做點(diǎn)A在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo),記作A(x,y,z).

2|空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)的位置x軸上y軸上z軸上坐標(biāo)形式(x,0,0)(0,y,0)(0,0,z)2.空間直角坐標(biāo)系中位于坐標(biāo)軸、坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)如下表所示:點(diǎn)的位置Oxy平面Oyz平面Ozx平面坐標(biāo)形式(x,y,0)(0,y,z)(x,0,z)3.空間直角坐標(biāo)系中對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)空間點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題可類比平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題,掌握對(duì)稱點(diǎn)的變化規(guī)律,才

能準(zhǔn)確求解.對(duì)稱點(diǎn)的問(wèn)題常常用“關(guān)于誰(shuí)對(duì)稱,誰(shuí)保持不變,其余坐標(biāo)相反”這個(gè)結(jié)論來(lái)

解決.例如:(1)點(diǎn)(a,b,c)關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為(-a,-b,-c);(2)點(diǎn)(a,b,c)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(a,-b,-c);(3)點(diǎn)(a,b,c)關(guān)于Oxy平面的對(duì)稱點(diǎn)為(a,b,-c).4.(1)已知A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則線段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為

.(2)已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),則△ABC重心的坐標(biāo)為

.1.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,給定向量a,作

=a,由空間向量基本定理,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo),可簡(jiǎn)記作

a=(x,y,z).注意:符號(hào)(x,y,z)具有雙重意義,它既可以表示點(diǎn),也可以表示向量,但向量與坐標(biāo)之間用

“=”連接,點(diǎn)與坐標(biāo)之間無(wú)“=”.2.設(shè)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);λa=(λa1,λa2,λa3),λ∈R;a·b=a1b1+a2b2+a3b3.3|空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示知識(shí)點(diǎn)設(shè)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則4|空間向量的平行、垂直及模、夾角的坐標(biāo)表示知識(shí)點(diǎn)結(jié)論坐標(biāo)表示平行a∥b(b≠0)?a=λb?

a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R)垂直a⊥b(a≠0,b≠0)?a·b=a1b1+a2b2+a3b3=0模|a|=

=

;|b|=

=

夾角cos<a,b>=

=

(a≠0,b≠0)設(shè)P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空間中任意兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),則

=

-

=(x2-x1,y2-y1,z2-z1),所以P1P2=|

|=

.特別地,空間任意一點(diǎn)P(x,y,z)到原點(diǎn)O的距離OP=|

|=

.5|空間兩點(diǎn)間的距離公式知識(shí)點(diǎn)知識(shí)辨析1.空間直角坐標(biāo)系有什么作用?2.如何求解空間直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn)的坐標(biāo)?3.空間向量

(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的坐標(biāo)和點(diǎn)P的坐標(biāo)有什么關(guān)系?4.點(diǎn)(2,1,3)關(guān)于Oxy平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是什么?5.已知點(diǎn)A(3,4,5),則點(diǎn)A到原點(diǎn)O的距離是多少?一語(yǔ)破的1.空間直角坐標(biāo)系可以將空間點(diǎn)、直線、平面數(shù)量化,將空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系

解析化.2.點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的位置有3種可能:點(diǎn)在坐標(biāo)軸上、點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)和點(diǎn)不是特殊

點(diǎn).對(duì)于前兩種,熟悉點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可輕松寫出其坐標(biāo);對(duì)于第三種,一般是先確定點(diǎn)在

Oxy平面內(nèi)的射影的位置,再由豎坐標(biāo)確定點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的具體位置,進(jìn)而得到其

坐標(biāo).3.若點(diǎn)P在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(x,y,z),那么向量

的坐標(biāo)也為(x,y,z).4.(2,1,-3).5.

=(3,4,5),則OA=|

|=

=5

.1.建立空間直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)運(yùn)算解決空間平行、垂直問(wèn)題的方法稱為“坐標(biāo)法”,是

向量法中的一種.2.與向量坐標(biāo)有關(guān)的平行、垂直問(wèn)題主要有兩種類型:一是判定平行、垂直;二是已知平行

或垂直求參數(shù).利用向量的坐標(biāo)證明兩直線平行或垂直的步驟:(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo);(2)求出有關(guān)直線的方向向量;(3)證明兩直線平行即證明兩直線的方向向量共線;證明兩直線垂直即證明兩直線的方向向

量的數(shù)量積為0;(4)還原到幾何問(wèn)題,得出結(jié)論.1|利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決空間平行、垂直問(wèn)題定點(diǎn)關(guān)鍵能力定點(diǎn)破在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,G,H分別是CC1,CD,A1C1的中點(diǎn).以A為坐標(biāo)原點(diǎn),

,

,

的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,解決以下問(wèn)題.(1)求證:AB1∥GE,AB1⊥EH;(2)過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AC1于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的坐標(biāo).

典例1解析如圖.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1

(1,1,1).由線段中點(diǎn)的坐標(biāo)公式,得E

,G

,H

.

(1)證明:

=(1,0,1),

=

,

=

.因?yàn)?/p>

=2

,

·

=1×

+0×

+1×

=0,所以

∥

,

⊥

,即AB1∥GE,AB1⊥EH.(2)設(shè)M(x,y,z),則

=(x,y,z),

=(x-1,y,z).易知

=(1,1,1).由BM⊥AC1,得

·

=0,即x-1+y+z=0.①因?yàn)镸在直線AC1上,所以

∥

,所以設(shè)

=μ

(μ∈R),得x=μ,y=μ,z=μ.②由①②得μ=

,所以x=

,y=

,z=

.所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為

.關(guān)鍵技巧通過(guò)建系確定點(diǎn)的坐標(biāo)的方法:(1)建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)應(yīng)遵循以下原則:①

讓盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上或坐標(biāo)平面內(nèi);②充分利用幾何圖形的對(duì)稱性.(2)求某點(diǎn)的

坐標(biāo)時(shí),要通過(guò)向某兩個(gè)坐標(biāo)平面投影,準(zhǔn)確找到該點(diǎn)在三個(gè)坐標(biāo)軸上對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù).已知空間三點(diǎn)A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),設(shè)a=

,b=

.(1)若|c|=3,c∥

,求c;(2)若ka+b與ka-2b互相垂直,求k.典例2解析

(1)∵

=(-2,-1,2)且c∥

,∴設(shè)c=λ

=(-2λ,-λ,2λ)(λ∈R).∴|c|=

=3|λ|=3,解得λ=±1.∴c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2).(2)∵a=

=(1,1,0),b=

=(-1,0,2),∴ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).∵ka+b與ka-2b互相垂直,∴(ka+b)·(ka-2b)=0,即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0,解得k=2或k=-

.關(guān)鍵技巧利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求向量平行與垂直類問(wèn)題時(shí)要注意:①適當(dāng)引入?yún)?shù)(比

如根據(jù)向量a,b平行,可設(shè)a=λb,λ∈R),建立關(guān)于參數(shù)的方程(組);②利用向量平行與垂直的坐

標(biāo)運(yùn)算求解,以達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的.

利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求異面直線所成角或線段長(zhǎng)度的步驟(1)根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)利用已知條件寫出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而獲得相關(guān)向量的坐標(biāo);(3)利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求得相關(guān)向量的夾角,并將它轉(zhuǎn)化為異面直線所成的角;利

用兩點(diǎn)間的距離公式求出線段的長(zhǎng)度.

注意:設(shè)異面直線l1,l2所成的角為θ,θ∈

,它們的方向向量分別為a,b,則cosθ=|cos<a,b>|.2|利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求夾角和長(zhǎng)度定點(diǎn)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,N為A1A的中點(diǎn).(1)求BN的長(zhǎng);(2)求A1B與B1C所成角的余弦值.典例解析如圖,以C為坐標(biāo)原點(diǎn),

,

,

為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系C