線性二次型最優(yōu)控制問題

線性二次型最優(yōu)控制問題第一頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三1主要內(nèi)容5.1線性二次型性能指標5.2狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題有限時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題無限時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題5.3輸出調(diào)節(jié)器問題5.4跟蹤問題第二頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三25.1線性二次型性能指標性能指標具有鮮明的物理意義。最優(yōu)解可以寫成統(tǒng)一的解析表達式。所得到的最優(yōu)控制規(guī)律是狀態(tài)變量的反饋形式，便于計算和工程實現(xiàn)。

可以兼顧系統(tǒng)性能指標的多方面因素：快速性、能量消耗、終端準確性、靈敏度和穩(wěn)定性等。許多控制問題都可作為線性二次型最優(yōu)控制問題來處理。

線性二次型最優(yōu)控制問題：線性系統(tǒng)具有二次型性能指標的最優(yōu)控制問題，具有以下特性：線性二次型最優(yōu)控制問題在實踐上得到了廣泛而成功的應(yīng)用！

第三頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三3問題5.1.1

給定線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程

Yr(t)表示預期輸出變量，則有

e(t)=

Yr(t)－Y(t)

稱為誤差向量。

其中，X(t)是n維狀態(tài)變量，U(t)是m維控制變量，Y(t)是r維輸出變量，A(t)是nn時變矩陣，B(t)是nm時變矩陣。假設(shè)1rmn，U(t)不受約束。（5.1.1）第四頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三4

選擇最優(yōu)控制U*(t)使下列二次型性能指標為最小——線性二次型最優(yōu)控制問題。其中,S:rr半正定對稱常數(shù)矩陣，Q(t):rr半正定對稱時變矩陣，R(t):mm正定對稱時變矩陣.終端時間tf是固定的，終端狀態(tài)X(tf)自由。（5.1.2）第五頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三5若C(t)=I（單位矩陣），Yr(t)=0，則

于是性能指標變?yōu)榫€性二次型最優(yōu)控制問題的幾種特殊情況問題歸結(jié)為：用不大的控制能量，使系統(tǒng)狀態(tài)X(t)保持在零值附近——狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題。第六頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三6線性二次型最優(yōu)控制問題的幾種特殊情況若Yr=0，則

于是性能指標變?yōu)?/p>

這時問題歸結(jié)為：用不大的控制能量，使系統(tǒng)輸出Y(t)保持在零值附近——輸出調(diào)節(jié)器問題。

第七頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三7若Yr(t)0，則于是性能指標可寫為

這時問題轉(zhuǎn)化為：用不大的控制量，使系統(tǒng)輸出Y(t)緊緊跟隨Yr(t)的變化——跟蹤問題。

第八頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三8

性能指標的物理意義

性能指標中的第一部分稱作終端代價，用它來限制終端誤差e(tf)

，以保證終端狀態(tài)X(tf)具有適當?shù)臏蚀_性。性能指標中的第二部分稱作過程代價，用它來限制控制過程的誤差e(t)，以保證系統(tǒng)響應(yīng)具有適當?shù)目焖傩?。第九頁，共九十四頁，編輯?023年，星期三9性能指標中的第三部分

稱作控制代價，用它來限制控制U(t)的幅值及平滑性，以保證系統(tǒng)安全運行。同時，它對限制控制過程的能源消耗也能起到重要的作用，從而保證系統(tǒng)具有適當?shù)墓?jié)能性。整個性能指標物理意義：使系統(tǒng)在控制過程中的動態(tài)誤差與能量消耗，以及控制結(jié)束時的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差綜合最優(yōu).第十頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三10（1）二次型性能指標是一種綜合型性能指標，它可以兼顧終端狀態(tài)的準確性、系統(tǒng)響應(yīng)的快速性、系統(tǒng)運行的安全性及節(jié)能性各方面因素。說明：（2）線性二次型最優(yōu)控制問題的實質(zhì)是：用不大的控制能量，來保持較小的輸出誤差，以達到控制能量和誤差綜合最優(yōu)的目的。（3）控制時間的起點t0及終點tf，可能是由實際問題決定的客觀參數(shù)，也可能是由設(shè)計者決定的主觀參數(shù)——設(shè)計者必須把希望達到的目標和t0、tf的選擇聯(lián)系起來。第十一頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三11（3）不同目標之間，往往存在著一定矛盾。為能盡快消除誤差并提高終端準確性，就需較強的控制作用及較大的能量消耗；而抑制控制作用的幅值和降低能耗，必然會影響系統(tǒng)的快速性和終端準確性——合理折衷。（4）無論容許控制如何選擇，性能指標中各項的數(shù)值始終具有相同的符號。以極小值作為最優(yōu)標準，結(jié)合問題的物理性質(zhì)，各項符號均取正值。第十二頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三12性能指標中加權(quán)矩陣S，Q(t)和R(t)

（1）加權(quán)矩陣中的各個元素之間的數(shù)值比例關(guān)系，將直接影響系統(tǒng)的工作品質(zhì)。提高S陣中某一元素的比重，說明更加重視與該元素對應(yīng)的狀態(tài)分量的終端準確性；提高Q(t)陣中某一元素的比重，說明希望與之對應(yīng)的狀態(tài)分量具有較好的快速響應(yīng)特性（較小的暫態(tài)誤差）；提高R(t)陣中某一元素的比重，意味著需要更有效地抑制與之相應(yīng)的控制分量的幅值及由它引起的能量消耗。安排各加權(quán)陣的各個元素之間的關(guān)系，十分重要且十分困難！第十三頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三13（2）S取半正定，Q(t)

取半正定，R(t)必須取正定。將S陣取為半正定，以便保證終端代價的非負性，但容許不考慮與之相應(yīng)的終端誤差。Q(t)取半正定，以便保證暫態(tài)誤差總和的非負性，但容許不考慮與之相應(yīng)的暫態(tài)誤差。R(t)必須取正定，因為控制代價實際上反映控制過程的能量消耗。只要U(t)不為零，控制過程中能量消耗當然不應(yīng)等于零。第十四頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三14（3）由于終端代價只表示終端時刻tf時的性能，因此，S應(yīng)為常數(shù)陣。至于Q(t)及R(t)，可能取為常數(shù)陣，也可能取為時變陣——為了適應(yīng)控制過程的特殊需要。在控制過程的初期出現(xiàn)的較大誤差，并非系統(tǒng)品質(zhì)不佳所致，而是由系統(tǒng)的初始條件引起的，因此，不必過分重視這種誤差，以免引起控制作用U(t)不必要的過大沖擊；控制過程的后期的誤差直接與控制效果相關(guān)，必須給予足夠的重視。只有把Q(t)和R(t)取為時變陣，才能適應(yīng)控制過程的這類時變需求。為了防止模型的失調(diào)，也需要Q(t)及R(t)具有時變性質(zhì)。第十五頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三15對容許控制U(t)和終態(tài)X(tf)的說明（1）在線性二次型問題的定義中，并沒有直接提出對控制作用U(t)的不等式約束，但這并不等于在物理上不需要對U(t)進行必要的限制。實際上，用適當選擇Q(t)和R(t)數(shù)值比例的方法，同樣可以把U(t)的幅值限制在適當?shù)姆秶畠?nèi)。這樣，就可以在保持閉環(huán)系統(tǒng)線性性質(zhì)的前提下，實現(xiàn)對U(t)的限制。（2）在定義問題時，也沒有直接提出對終態(tài)X(tf)的要求。實際上，對終態(tài)的要求，是利用性能指標的終端代價來反映的，性能指標中的終端代價用于限制終端誤差，它表明期望終態(tài)X(tf)盡量靠近誤差信號e(t)=0所對應(yīng)的狀態(tài)。第十六頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三165.2

狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題問題5.2.1

給定線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程和初始條件其中X(t)是n維狀態(tài)變量，U(t)是m維控制變量，A(t)是nn時變矩陣，B(t)是nm時變矩陣。性能指標是

其中，Q(t)是nn非負定對稱的時變矩陣，R(t)是mm正定對稱的時變矩陣，tf是給定的有限終端時刻，X(tf)是自由的終端狀態(tài)，控制函數(shù)U(t)不受約束。（5.2.1）一、有限時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題（5.2.2）第十七頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三17要求確定最優(yōu)控制函數(shù)U*(t)，使性能指標

達到最小值。該最優(yōu)控制問題是以較小的控制能量為代價，使狀態(tài)變量X(t)保持在零值附近——狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題；考慮到終端時間tf是有限的，故稱為有限時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題；相應(yīng)的最優(yōu)控制U*(t)稱為最優(yōu)調(diào)節(jié)作用或最優(yōu)調(diào)節(jié)器。第十八頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三18解：

構(gòu)造Hamilton函數(shù)

因為控制函數(shù)U(t)本身不受約束，所以有

（5.2.3）應(yīng)用最小值原理來求解：最優(yōu)調(diào)節(jié)作用是協(xié)態(tài)變量(t)的線性函數(shù)。由于協(xié)態(tài)變量在實際系統(tǒng)中不存在，也無法檢測到，式（5.2.3）的最優(yōu)調(diào)節(jié)作用在工程上難以實現(xiàn)。第十九頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三19

其中，P(t)是nn待定的時變矩陣。對上式兩邊求導數(shù)，得

為了便于在工程上實現(xiàn)，需將調(diào)節(jié)作用U(t)表示成系統(tǒng)狀態(tài)變量X(t)的函數(shù)。令：規(guī)范方程為：第二十頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三20由于X(t)是任意的，所以有

由于終端狀態(tài)X(tf)是自由的，故相應(yīng)的協(xié)態(tài)變量的終端值為

所以，矩陣黎卡提(Riccati)微分方程矩陣黎卡提(Riccati)微分方程的邊界條件（5.2.4）又考慮第二十一頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三21P(t)的3個重要性質(zhì)由微分方程理論的存在與唯一性定理，可以證明P(t)存在而且唯一。對于任意的t[t0，tf]，

P(t)均為對稱陣，即P(t)＝PT(t)。若R(t)是正定矩陣，Q(t)是半正定矩陣，則P(t)（t0ttf）是半正定矩陣；若R(t)是正定矩陣，Q(t)是正定矩陣，則P(t)（t0ttf）是正定矩陣。證明附后第二十二頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三22對于任意的t[t0，tf]，

P(t)均為對稱陣，即P(t)＝PT(t)證明：將矩陣Riccati微分方程(5.2.4)兩邊轉(zhuǎn)置，得：且邊界條件為：也就是說，待定的時變矩陣P(t)及其轉(zhuǎn)置PT(t)滿足相同的微分方程和相同的邊界條件。根據(jù)微分方程解的唯一性定理，得P(t)＝PT(t)。由P(t)的對稱性可知，式（5.2.4）中雖包含有n２個標量方程，但是，其中只有n(n+1)/2個方程是獨立的。

第二十三頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三23若R是正定矩陣，Q是半正定矩陣，則P(t)（t0ttf）是半正定矩陣；若R是正定矩陣，Q是正定矩陣，則P(t)（t0ttf）是正定矩陣。

證明：對于任意非零的初態(tài)X(t)(t0ttf)，性能指標的最小值為：

由于R是正定的，若Q是半正定的，則式（5.2.5）右端大于等于零，于是故P(t)是半正定的。

（5.2.5）若Q是正定矩陣，則式（5.2.5）右端大于零，于是所以P(t)是正定的。第二十四頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三24命題5.2.1

問題5.2.1的最優(yōu)調(diào)節(jié)作用必為如下形式的狀態(tài)反饋其中，P(t)是矩陣黎卡提微分方程

滿足邊界條件的對稱解。滿足初始條件的解。并且狀態(tài)最優(yōu)軌線X*(t)是狀態(tài)方程第二十五頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三25若令，則有其中，K(t)稱為反饋增益矩陣。構(gòu)成一個狀態(tài)反饋最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)，如圖所示。

第二十六頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三26

說明：設(shè)U(t)是任意的控制作用，X(t)是相應(yīng)于U(t)的狀態(tài)軌線，性能指標

除了依賴于U(t)之外，還依賴于狀態(tài)初值X(t0)。因此，性能指標可記為

特別是當控制作用為最優(yōu)值U*(t)時，性能指標記為

第二十七頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三27命題5.2.2

有限時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題的最優(yōu)控制U*(t)的充要條件是：

且性能指標的最小值為：（證明略）命題5.2.3

有限時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題的最優(yōu)控制U*(t)存在且唯一。證明：1．存在性由于U*(t)=－R－1BTP(t)X(t)，而P(t)是存在的，故U*(t)亦存在。2．唯一性應(yīng)用反證法。（略）第二十八頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三28定理5.2.1

給定線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程

其中，U(t)不受約束。其中，P(t)是矩陣黎卡提微分方程滿足邊界條件的唯一對稱解。則最優(yōu)控制存在且唯一，最優(yōu)控制的充要條件是：初始條件X(t0)=X0，性能指標為：第二十九頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三29并且，當Q為半正定對稱矩陣時，P(t)(t0ttf)是半正定對稱矩陣；而當Q為正定對稱矩陣時，P(t)是正定對稱矩陣。

滿足初始條件X(t0)=X0的解。狀態(tài)最優(yōu)軌線是下列狀態(tài)方程性能指標的最小值為第三十頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三30定理5.2.1的幾點說明：線性二次型最優(yōu)控制律是一個線性狀態(tài)反饋控制律，便于實現(xiàn)閉環(huán)最優(yōu)控制；只要時間區(qū)間[t0,tf]是有限的,Riccati方程的解P(t)就是時變的,最優(yōu)反饋系統(tǒng)為線性時變系統(tǒng),即使矩陣A,B,Q,R為常數(shù)矩陣——線性定常系統(tǒng)且Q,R為常數(shù)矩陣,P(t)仍時變.第三十一頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三31如果給定線性時變系統(tǒng)定理5.2.1應(yīng)作如何調(diào)整？性能指標為：邊界條件由P(tf)=S改為P(tf)=0即可。

第三十二頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三32Riccati方程為非線性矩陣微分方程P(t)的解析解P(t)的數(shù)值解第三十三頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三33例5.2.1

泛函求極值

試求矩陣Riccati微分方程的解析解P(t)以及Kalman增益K(t)。s.t.第三十四頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三34例5.2.2

泛函求極值

試求Kalman增益K(t)，并觀察tf對K(t)的影響。s.t.第三十五頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三35（1）（2）（3）第三十六頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三36>>

%(1)tf=10,P(tf)=k=0>>S=dsolve('Dp=p+p^2-2,p(10)=0')>>t=0:0.1:10;>>K=double(subs(S));>>plot(t,K,'k');axis([0,10,0,2])>>xlabel('t(sec.)')>>ylabel('K(t)')>>gtext('t_f=10,k=0')>>holdon用MATLAB繪制K(t):第三十七頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三37例5.2.3

設(shè)調(diào)節(jié)對象的狀態(tài)方程為：其中s≥0，q>0，r>0，要求確定最優(yōu)調(diào)節(jié)作用和狀態(tài)最優(yōu)軌線。

性能指標為第三十八頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三38由積分方程

得

其中 第三十九頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三39最優(yōu)調(diào)節(jié)作用:狀態(tài)最優(yōu)軌線:第四十頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三40最優(yōu)調(diào)節(jié)的閉環(huán)系統(tǒng)方框圖：第四十一頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三41r=1.00.2P(t)1.000.5t0.4r=0.5r=0.1r=0.02P(t)變化曲線第四十二頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三42r=1000.5x(t)1.000.5t1.0r=1.0r=0.2r=0.02x(t)變化曲線第四十三頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三430.5-3-5-1r=0.02r=0.1r=1tu(t)u(t)變化曲線第四十四頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三44不同終端時刻tf下的p(t)曲線S=10.2P(t)1059t30.40.61.00.8S=0tf=1tf=3tf=5tf=9tf越大，P(t)保持恒定值的時間區(qū)間越大。只要把tf取得足夠大，在[t0,tf]的大部分時間內(nèi)，P(t)可視為恒定。第四十五頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三45例5.2.4

設(shè)調(diào)節(jié)對象的狀態(tài)方程為：

求最優(yōu)控制u*(t)使得性能指標為最小。性能指標為：初始條件為：并通過Simulink畫出x1,x2及u在[0,3s]內(nèi)變化曲線。求矩陣Riccati微分方程的解P(t)。第四十六頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三46Riccati方程為非線性矩陣微分方程，通常無法獲得其解析解，只能采用計算機逆時間方法求數(shù)值解！微分方程個數(shù)？第四十七頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三47例5.2.5

泛函求極值

s.t.試求矩陣Riccati微分方程的解P(t)。第四十八頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三481、在已定義好的用戶目錄下，建立M文件，用來存入微分方程（組），無初始條件。2、把用戶目錄設(shè)置為當前目錄。3、建立M文件,用函數(shù)ode45求解微分方程，并畫出P(t)。在MATLAB中求解上述微分方程步驟：第四十九頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三49第五十頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三50二、無限時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題有限時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題中，所得到最優(yōu)調(diào)節(jié)作用是狀態(tài)變量的線性函數(shù)，可以實現(xiàn)狀態(tài)反饋的閉環(huán)控制。但是，其反饋增益矩陣卻是時變的。工程實現(xiàn)上是極不方便的。定常的反饋增益矩陣，易于工程實現(xiàn)。當線性定常系統(tǒng)是完全可控的，并且終端時刻tf趨于無限時，就可得到非時變的狀態(tài)調(diào)節(jié)器，此時的反饋增益矩陣是一個定常矩陣。

1、無限時間定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器

第五十一頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三51問題5.2.2

給定完全可控線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程和初始條件以及性能指標

其中Q和R都是定常對稱正定矩陣。假定U(t)不受約束，要求確定最優(yōu)調(diào)節(jié)作用U*(t)，使性能指標達到最小值。

注意：終端時刻tf為無限值，故稱為無限時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題，也稱為非時變狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題。

第五十二頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三52由定理5.2.1可知，對于給定的系統(tǒng)使性能指標達到最小值的最優(yōu)調(diào)節(jié)作用為

其中，P(t)是矩陣黎卡提微分方程滿足邊界條件的正定對稱解。無限時間的狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題，可看作有限時間的狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題中，令tf時的極限情況來處理：第五十三頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三53可以證明：正定對稱矩陣P(t)的每個元素pij(t)(i，j=1,2,3…,n)隨時間變化的情況如下圖所示。當tf很大時，隨著t的減小pij(t)將達到穩(wěn)定值，并且隨著tf的增加，此穩(wěn)態(tài)值的時間區(qū)間將加寬。當tf時，此穩(wěn)態(tài)值的時間區(qū)間也將趨于無窮大。

而當給定的系統(tǒng)完全可控時

第五十四頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三54當tf時，矩陣黎卡提微分方程就轉(zhuǎn)化為矩陣黎卡提（Riccati）代數(shù)方程：

所以系統(tǒng)在性能指標為性能指標可表示為

時的最優(yōu)調(diào)節(jié)作用為第五十五頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三55的唯一正定對稱解。定理5.2.2

給定線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程和初始條件

其中，A，B為定常矩陣，系統(tǒng)（A，B）完全可控，控制函數(shù)U(t)不受約束。性能指標為

使性能指標J達到最小值的最優(yōu)調(diào)節(jié)作用為其中,是矩陣黎卡提代數(shù)方程其中,Q和R是定常對稱正定矩陣。第五十六頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三56滿足初始條件

的解。而狀態(tài)最優(yōu)軌線X*(t)是狀態(tài)方程

性能指標的最小值為第五十七頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三57說明:為保證積分值有限，x和u均要收斂到0。如果系統(tǒng)可控，則可通過狀態(tài)反饋任意配置閉環(huán)極點，使系統(tǒng)AS，即：對于無限時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器，終端狀態(tài)必須為零，即X()=0。要求系統(tǒng)完全可控,是為了為了保證性能指標的積分為有限值，從而保證最優(yōu)解存在；由于X()=0，所以在性能指標中設(shè)置終端代價是多余的。線性定常系統(tǒng)無限時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器所構(gòu)造的閉環(huán)系統(tǒng)是時不變的。第五十八頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三58證明：利用反證法來證明該定理。定理5.2.3

定理5.2.2中的閉環(huán)最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的。

假設(shè)系統(tǒng)不是漸進穩(wěn)定的，則A1必具有非負實部的特征根。于是，當tf時，狀態(tài)變量X(t)不會趨于零……令第五十九頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三59定常矩陣的計算方法直接求解黎卡提代數(shù)方程首先求解黎卡提微分方程

得到其解為然后令tf，t=0或者tf=0，t－，則可得到。

第六十頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三602、無限時間時變狀態(tài)調(diào)節(jié)器

問題5.2.3

給定線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程和初始條件

及性能指標控制向量u(t)無約束.確定最優(yōu)控制u?(t)使指標達到極小.第六十一頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三61定理5.2.4若系統(tǒng){A(t)，B(t)}完全可控,其中,則存在唯一的最優(yōu)控制：最優(yōu)性能指標為：P(t)滿足Riccati矩陣微分方程：正定對稱注意：對于有限和無限時間時變狀態(tài)調(diào)節(jié)器，最優(yōu)控制增益都是時變矩陣，最優(yōu)控制都是時變的。第六十二頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三62例5.2.6

二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程：最優(yōu)控制u*(t)應(yīng)使性能指標取極小值。試求出最優(yōu)控制u*(t)，并繪出最優(yōu)反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。第六十三頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三63最優(yōu)控制為最優(yōu)控制為：Riccati代數(shù)方程:第六十四頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三64系統(tǒng)的最優(yōu)反饋結(jié)構(gòu)圖：第六十五頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三65例5.2.7

已知系統(tǒng)狀態(tài)方程：性能指標已知求最優(yōu)控制u*(t).第六十六頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三66x1(t)-x2(t)+Riccati代數(shù)方程:第六十七頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三67以a為參數(shù)的系統(tǒng)根軌跡σa=1.5a=2a=0jωa=1.5a=3a=3a=0第六十八頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三68狀態(tài)調(diào)節(jié)器穩(wěn)定性能的改善——引入積分作用狀態(tài)調(diào)節(jié)器是一個比例調(diào)節(jié)器，因而系統(tǒng)最后穩(wěn)定時存在余差。

設(shè)線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程為設(shè)希望有積分作用的那些狀態(tài)變量構(gòu)成的一個p維向量，令其中,E為元素為0或1的p×n矩陣。利用構(gòu)成一個n+p維的增廣狀態(tài)變量:第六十九頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三69從而得到增廣狀態(tài)方程為其中性能指標為最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器為：從而引進了積分作用，使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差得以改善。第七十頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三705.3

輸出調(diào)節(jié)器問題問題5.3.1

給定完全可觀測的線性時變系統(tǒng)（LTV）的狀態(tài)方程和輸出方程以及性能指標

其中，S、Q(t)是半正定對稱矩陣，R(t)是正定對稱矩陣，tf是有限的終端時刻，控制函數(shù)U(t)不受約束。要求確定最優(yōu)調(diào)節(jié)作用U*(t),使性能指標達到最小值。輸出調(diào)節(jié)器問題:其實質(zhì)是用不大的控制能量，使輸出變量Y(t)保持在零值附近。1、有限時間輸出調(diào)節(jié)器問題第七十一頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三71考慮到輸出方程,性能指標可寫為：加權(quán)矩陣為S、Q(t)的有限時間輸出調(diào)節(jié)器問題加權(quán)矩陣為S

、

Q(t)的有限時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題可以利用有限時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器定理5.2.1來求解!第七十二頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三72注意：要求系統(tǒng){A(t),C(t)}在t0時刻必須是完全可觀測的！第七十三頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三73引理:

若系統(tǒng)完全可觀,且S、Q(t)是半正定對稱矩陣，則有:第七十四頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三74定理5.3.1

已知線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：性能指標為則能使系統(tǒng)從初態(tài) 轉(zhuǎn)移到終態(tài) ，并使性能指標最小的最優(yōu)控制存在且唯一：若系統(tǒng){A(t),C(t)}在t0時刻必須是完全可觀測的，第七十五頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三75其中， 是n×n對稱矩陣，其值為黎卡提微分方程

的唯一解，滿足的邊界條件為 系統(tǒng)的最優(yōu)軌線是以下微分方程的解：性能指標的最小值為第七十六頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三76最優(yōu)輸出調(diào)節(jié)器系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖x(t)u(t)y(t)C(t)第七十七頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三77有限時間輸出調(diào)節(jié)器問題：(1)最優(yōu)輸出調(diào)節(jié)器仍是全狀態(tài)反饋；(2)若系統(tǒng)完全可觀，則可由 經(jīng)狀態(tài)觀測器復現(xiàn) ；(3)若系統(tǒng)不完全可觀，則部分無法復現(xiàn)，只能用輸出反饋代之，這樣必然會丟失部分信息，輸出反饋能達到的最小性能指標總要大于狀態(tài)反饋能達到的最小性能指標，從而使設(shè)計出的調(diào)節(jié)器為次優(yōu)調(diào)節(jié)器。(4)狀態(tài)調(diào)節(jié)器與輸出調(diào)節(jié)器的Riccati方程不全相同，故其解 也不同，反饋增益矩陣也不同。(5)性能指標最小值也不能由輸出向量來確定，只能由狀態(tài)向量確定。第七十八頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三782、無限時間的輸出調(diào)節(jié)器問題

性能指標為：目標為：確定最優(yōu)控制u?，使要求的指標達到極小.給定線性定常系統(tǒng)（LTI）的狀態(tài)方程和輸出方程第七十九頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三79同時要求系統(tǒng)(A,B,C)是完全可控和完全可觀測的！無限時間的狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題無限時間的輸出調(diào)節(jié)器問題第八十頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三80線性定常 輸出調(diào)節(jié)器

若系統(tǒng)是完全能控能觀的，使性能指標定理5.3.2

已知線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程及初始狀態(tài)取最小的最優(yōu)控制 為 第八十一頁，共九十四頁，編輯于2023年，星期三81性能指標的最小值為其中，Q和R是定常的正定對稱矩陣，