海南省高三模擬考試(理科)數(shù)學(xué)試卷-附參考答案與解析

第第頁海南省高三模擬考試(理科)數(shù)學(xué)試卷-附參考答案與解析班級:___________姓名：___________考號：___________一、單選題1．設(shè)全集，集合，集合，則（

）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．3．“”是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中記載了一個“圓材埋壁”的問題：“今有圓材埋在壁中不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何?”現(xiàn)有一類似問題，不確定大小的圓柱形木材，部分埋在墻壁中其截面如圖所示.用鋸去鋸這木材，若鋸口深，鋸道，則圖中與弦圍成的弓形的面積為（

）A． B． C． D．5．已知向量，和，則（

）A．-2 B．-1 C．1 D．26．函數(shù)圖象的大致形狀是（

）A． B．C． D．7．是等比數(shù)列的前項和，若，且，則（

）A． B． C． D．8．定義域為的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．二、多選題9．若，則下列表達(dá)正確的是（）A． B．C． D．10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則（

）A． B．的圖象關(guān)于直線對稱C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱 D．函數(shù)的最小值為11．已知正方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個動點(diǎn)、若線段的最小值為，則（

）A．正方體的外接球的表面積為 B．正方體的內(nèi)切球的體積為C．正方體的棱長為2 D．線段的最大值為12．設(shè)函數(shù)和，給定下列命題，其中正確的是（

）A．若方程有兩個不同的實(shí)數(shù)根，則；B．若方程恰好只有一個實(shí)數(shù)根，則；C．若，總有恒成立，則；D．若函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)．三、填空題13．已知向量若向量與向量共線，則實(shí)數(shù)k=_________.14．=______．15．若，則的最小值為__________．四、雙空題16．三棱錐中，且平面平面，則__________；若球與該三棱錐除以外的5條棱均相切，則球的半徑為__________.五、解答題17．已知數(shù)列滿足（1）記，寫出和，并求數(shù)列的通項公式；（2）求的前20項和.18．在中角，B，的對邊分別為，b，c，已知和．(1)求；(2)若，求的面積．19．某校兩個班級名學(xué)生在一次考試中成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組如下表：組號第一組第二組第三組第四組第五組分組（1）求的值，并根據(jù)頻率分布直方圖，估計這名學(xué)生這次考試成績的平均分；（2）現(xiàn)用分層抽樣的方法從第三、四、五組中隨機(jī)抽取名學(xué)生，將該樣本看成一個總體，從中隨機(jī)抽取名，求其中恰有人的分?jǐn)?shù)不低于分的概率．20．如圖，在三棱柱中，為的中點(diǎn)，平面平面，設(shè)直線為平面與平面的交線．(1)證明：平面；(2)已知四邊形為邊長為的菱形，且，求二面角的余弦值．21．已知橢圓的下頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)都在直線上.(1)求橢圓方程及其離心率；(2)不經(jīng)過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為.若三點(diǎn)共線，求證：直線經(jīng)過定點(diǎn).22．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，則求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若在上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；(3)當(dāng)時，則確定函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù).參考答案與解析1．D【分析】求出集合中的不等式的解集，確定出集合，利用對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，求出集合中不等式的解集，確定出集合，找出兩集合的公共部分，即可得到兩集合的交集.【詳解】由集合中的不等式，解得集合由集合中的不等式，解得集合則.故選：D.2．C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念可得結(jié)果.【詳解】因為所以所以.故選：C3．A【分析】由函數(shù)單調(diào)性解得到，故可判斷出答案.【詳解】因為，所以，當(dāng)時，則滿足，但不滿足，所以“是“”的充分不必要條件.故選：A4．B【分析】設(shè)圓的半徑為，利用勾股定理求出，再根據(jù)扇形的面積及三角形面積公式計算可得；【詳解】解：設(shè)圓的半徑為，則由勾股定理可得，即解得，所以所以，因此.故選：B5．A【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，向量可得由，可得，解得．故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，其中解答中熟記平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查計算能力．6．C【解析】分析函數(shù)的奇偶性以及在上的函數(shù)值符號，可得出合適的選項.【詳解】，該函數(shù)的定義域為，函數(shù)為偶函數(shù)當(dāng)時，則，和，此時.因此，函數(shù)圖象的大致形狀是C選項中的函數(shù)圖象.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，一般分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點(diǎn)以及函數(shù)值符號，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.7．C【分析】計算出等比數(shù)列的公比，再由可求得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，因此，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列基本量的計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.8．D【分析】根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，即可得到結(jié)果．【詳解】設(shè)則因為所以即函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減因為所以不等式等價于，等價于解得故不等式的解集為.故選：D．9．AB【分析】由對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)判斷．【詳解】解：∵，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減又∵∴∴即，所以選項A正確，選項B正確∵冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，且∴，所以選項C錯誤∵指數(shù)函數(shù)在R上單調(diào)遞減，且∴，所以選項D錯誤故選：AB．10．ACD【分析】先由圖像求函數(shù)解析式，再逐一研究性質(zhì)即可.【詳解】從圖象可以看出因為，所以，解得將點(diǎn)代入解析式，得，其中解得，所以，A正確；易得因為，所以B錯誤；因為，所以C正確；因為且所以函數(shù)的最小值為，D正確.故選：ACD.11．ABC【解析】設(shè)正方體的棱長為，由此確定內(nèi)切球和外接球半徑，由的最小值為兩球半徑之差可構(gòu)造方程求得，進(jìn)而求得外接球表面積和內(nèi)切球體積；由的最大值為兩球半徑之和可得到最大值.【詳解】設(shè)正方體的棱長為則正方體外接球半徑為體對角線長的一半，即；內(nèi)切球半徑為棱長的一半，即.分別為外接球和內(nèi)切球上的動點(diǎn)，解得：即正方體棱長為，正確正方體外接球表面積為，正確；內(nèi)切球體積為，正確；線段的最大值為，錯誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】本題考查正方體外接球和內(nèi)切球相關(guān)問題的求解，關(guān)鍵是通過球的性質(zhì)確定兩球上的點(diǎn)的距離最小值為，最大值為.12．ACD【解析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，且將題意轉(zhuǎn)化為與有兩個不同的交點(diǎn)，即可判斷A選項；易知不是該方程的根，當(dāng)時，則將條件等價于和只有一個交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，從而可推出結(jié)果，即可判斷B選項；當(dāng)時，則將條件等價于恒成立，即函數(shù)在上為增函數(shù)，通過構(gòu)造新函數(shù)以及利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，即可求出的范圍，即可判斷C選項；有兩個不同極值點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號列出不等式并求解，即可判斷D選項.【詳解】解：對于A，的定義域令，有，即可知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以極小值等于最小值，且當(dāng)時，又從而要使得方程有兩個不同的實(shí)根即與有兩個不同的交點(diǎn)，所以，故A正確；對于B，易知不是該方程的根當(dāng)時，則，方程有且只有一個實(shí)數(shù)根等價于和只有一個交點(diǎn)，又且令，即，有知在和單減，在上單增是一條漸近線，極小值為由大致圖像可知或，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，則恒成立等價于恒成立即函數(shù)在上為增函數(shù)即恒成立即在上恒成立令，則令得，有從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減則，于是，故C正確；對于D，有兩個不同極值點(diǎn)等價于有兩個不同的正根即方程有兩個不同的正根由C可知，即，則D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，以及利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)問題和恒成立問題從而求參數(shù)范圍，解題的關(guān)鍵在于將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)的交點(diǎn)問題，解題時注意利用數(shù)形結(jié)合，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力．13．-1【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得向量的坐標(biāo)，然后利用平面向量共線的充分必要條件求解.【詳解】∵向量，∴向量又∵，且向量與向量共線，∴，解得故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及向量平行的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.14．【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)值，即可求解.【詳解】故答案為：15．6【分析】化簡，然后利用基本不等式求解即可【詳解】因為所以當(dāng)且僅當(dāng)即時，則取等號故的最小值為6故答案為：616．

【分析】設(shè)為的中點(diǎn)，利用面面垂直的性質(zhì)定理以及線面垂直的性質(zhì)得出，再由勾股定理得出，從而得出；設(shè)，分別為對應(yīng)面的內(nèi)心，分別過，作，的平行線，交于點(diǎn)，即為所求的球心，根據(jù)題意得出是正方形，得出內(nèi)切圓的半徑，即可得出球的半徑.【詳解】如圖，設(shè)為的中點(diǎn)，因為，所以，又因為平面平面，所以由面面垂直的性質(zhì)定理得平面，所以因為，所以從而可得設(shè)，分別為對應(yīng)面的內(nèi)心，分別過，作，的平行線，交于點(diǎn)即為所求的球心，易知是正方形設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，球的半徑為，由圖可知，而，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用以及幾何體的切接問題，屬于中檔題.17．（1）；（2）.【分析】(1)方法一：由題意結(jié)合遞推關(guān)系式確定數(shù)列的特征，然后求和其通項公式即可；(2)方法二：分組求和，結(jié)合等差數(shù)列前項和公式即可求得數(shù)列的前20項和.【詳解】解：（1）[方法一]【最優(yōu)解】：顯然為偶數(shù)，則所以，即，且所以是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列于是．[方法二]：奇偶分類討論由題意知，所以．由（為奇數(shù)）及（為偶數(shù)）可知數(shù)列從第一項起若為奇數(shù)，則其后一項減去該項的差為1若為偶數(shù)，則其后一項減去該項的差為2．所以，則．[方法三]：累加法由題意知數(shù)列滿足．所以則．所以，數(shù)列的通項公式．（2）[方法一]：奇偶分類討論．[方法二]：分組求和由題意知數(shù)列滿足所以．所以數(shù)列的奇數(shù)項是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列；同理，由知數(shù)列的偶數(shù)項是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列．從而數(shù)列的前20項和為：【整體點(diǎn)評】(1)方法一：由題意討論的性質(zhì)為最一般的思路和最優(yōu)的解法；方法二：利用遞推關(guān)系式分類討論奇偶兩種情況，然后利用遞推關(guān)系式確定數(shù)列的性質(zhì)；方法三：寫出數(shù)列的通項公式，然后累加求數(shù)列的通項公式，是一種更加靈活的思路.(2)方法一：由通項公式分奇偶的情況求解前項和是一種常規(guī)的方法；方法二：分組求和是常見的數(shù)列求和的一種方法，結(jié)合等差數(shù)列前項和公式和分組的方法進(jìn)行求和是一種不錯的選擇.18．(1)(2)4【分析】（1）利用正弦定理及兩角差的正弦公式可求出結(jié)果；（2）由求出，根據(jù)正弦定理求出，再根據(jù)三角形面積公式可求出結(jié)果.（1）由及正弦定理得．因為，所以．所以．整理得．即．（2）由（1）可知，則所以由正弦定理，得所以所以的面積為．19．（1）；平均分為；（2）.【分析】（1）由頻率和為可構(gòu)造方程求得；由頻率分布直方圖估計平均數(shù)的方法直接計算可得結(jié)果；（2）根據(jù)分層抽樣原則可確定各組抽取人數(shù)，采用列舉法可得所有基本事件和滿足題意的基本事件個數(shù)，由古典概型概率公式計算可得結(jié)果.【詳解】（1）由頻率分布直方圖得：解得：由頻率分布直方圖估計平均分為：（2）由頻率分布直方圖可得第三、四、五組的頻率之比為，則第三組中抽取人，第四組中抽取人，第五組中抽取人；記來自第三組和第四組的學(xué)生，即分?jǐn)?shù)低于分的學(xué)生分別為，來自第五組的學(xué)生，即分?jǐn)?shù)不低于分的學(xué)生為所求概率.20．(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理及線面平行的性質(zhì)定理即可得證；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求二面角余弦值.(1)證明：因為，是的中點(diǎn)，所以又因為平面平面，且平面平面，平面所以平面而平面，且平面，平面平面所以所以平面；(2)解：因為四邊形為菱形連接，則又因為平面平面，平面平面所以平面設(shè)平面的法向量，則令，則所以設(shè)平面的法向量，則令，則所以；所以由圖可知，所求二面角為銳角所以二面角的余弦值為.21．(1)，離心率為.(2)證明見解析.【分析】（1）求出頂點(diǎn)坐標(biāo)后可求橢圓的方程和離心率；（2）設(shè)，則可用此兩點(diǎn)坐標(biāo)表示，根據(jù)三點(diǎn)共線可得，利用點(diǎn)在直線可得，再聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消元后利用韋達(dá)定理可得定點(diǎn).【詳解】（1）因為下頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)都在直線上故，故橢圓方程為：其離心率為（2）設(shè)，則.則，故因為三點(diǎn)共線，故，整理得到：即.由可得故且故整理得到：若，則，故過，與題設(shè)矛盾；若，則，故過定點(diǎn).22．(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)(3)3【分析】（1）求導(dǎo)分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)區(qū)間即可判斷原函數(shù)的單調(diào)性；（2）轉(zhuǎn)化為的導(dǎo)函數(shù)在上恒成立，再參變分離求的最小值即