二次函數(shù)性質(zhì)及根的分布

二次函數(shù)性質(zhì)及根的分布第一頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六

第二頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六判別式△＝b2－4ac△＞0△＝0△＜0

二次函數(shù)

y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖像一元二次不等式的解集ax2＋bx+c=0(a≠0)的根

ax2＋bx＋c>0(a＞0)

ax2＋bx+c<0(a＞0)

有兩相等實(shí)根x1＝x2＝-有兩相異實(shí)根：

x1,2＝

x＜x1或x＞x2

x1＜x＜x2空集空集全體實(shí)數(shù)沒(méi)有實(shí)根所有不等于－的實(shí)數(shù)第三頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六在已知某些條件求二次函數(shù)式的解析式時(shí)，常用待定系數(shù)法．常見(jiàn)的二次函數(shù)的表示形式有（a≠0）：①標(biāo)準(zhǔn)式：y＝ax2＋bx＋c；②頂點(diǎn)式：y＝a(x－k)2＋m；③零點(diǎn)式：y＝a(x―x1)(x―x2).(式中x1、x2為方程ax2＋bx＋c＝0的二根).第四頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六

例１已知二次函數(shù)y＝f(x)有最小值－３，且當(dāng)x＝－３和x＝２時(shí)f(x)的值都是，求f(x)．設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c,由題設(shè)得解:

a(－３)2＋b

(－３)＋c＝a(２)2＋b×2＋c＝＝－３(a＞０)．

９a－３b＋c＝４a＋２b＋c＝

b2－４ac－１２a＝０解法一:

∴f(x)＝２x2＋２x－．a(chǎn)=2解之得b＝２,c＝－第五頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六解二∵f（－３）＝f（２）＝，∴拋物線(xiàn)y＝f(x)的對(duì)稱(chēng)軸為x＝，即x＝－，故其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（－，－３）．

設(shè)f(x)＝a(x＋)2－３．

∵f(2)＝a(2＋)２－３＝

∴a＝＝２．.

∴f(x)＝２x2＋２x－．第六頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六解三由已知，x＝－３和x＝２是一元二次方程f(x)－＝０的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．

設(shè)f(x)－＝a(x＋３)(x－２),則f(x)＝a(x＋３)(x－２)＋．又當(dāng)x＝＝－時(shí)，f(－)＝－３．∴a(－＋３)(－－２)＋＝－３，－a＝－，a＝２．

∴f(x)＝２(x＋３)(x－２)＋＝２x2＋２x－．第七頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六-1例2

已知函數(shù)f(x)＝x2－bx＋c，且f(0)＝3，f(1＋x)＝f(1－x)試比較f(2x)與f(3x)的大小。

yxOabf(x)為二次函數(shù)，f(a)=f(b)f(x)的對(duì)稱(chēng)軸為f(x)為二次函數(shù)，f(c＋x)=f(c-x)f(x)的對(duì)稱(chēng)軸為x=cyxO231若x<0,若x=0，則1>2x>3x∴f(2x)<f(3x)則1<2x<3x∴f(2x)<f(3x)則1<2x<3x，若x=0，綜上所得，f(2x)≤f(3x)。第八頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六例3已知二次函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c，當(dāng)x∈[－1，1]時(shí)，試證：(1)當(dāng)b＜－2時(shí)，f(x)是遞減函數(shù)；(2)當(dāng)b＜－2時(shí)，f(x)在定義域內(nèi)至少存在一個(gè)x,使|f(x)|≥1/2成立。

證明：(1)f(x)＝x2＋bx＋c＝(x＋)2＋c－，

拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸x＝－，

當(dāng)b＜－2時(shí),－＞1(如圖)∴當(dāng)b＜－2時(shí)，f(x),x∈[－1，1]是遞減函數(shù)。

(2)假設(shè)在x∈[－1，1]內(nèi)在存在|f(x)|≥，則有－＜f(x)＜

∴f(－1)＝1－b＋c＜，f(1)＝1＋b＋c＞－聯(lián)立解得b＞－與已知b＜－2相矛盾，假設(shè)不成立，原命題成立。

第九頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞０),則一元二次方程f(x)＝０實(shí)根的分布情況可以由y＝f(x)的圖象或由韋達(dá)定理來(lái)確定．

如果f(m)f(n)＜０(m＜n),由二次函數(shù)y＝f(x)的圖像知，一元二次方程f(x)＝０在區(qū)間（m,n）內(nèi)必有一個(gè)實(shí)數(shù)根．第十頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六例：已知方程x2-2(m+2)x+m2-1=0有兩個(gè)不相等的正根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。變1：已知方程x2-2(m+2)x+m2-1=0有兩個(gè)實(shí)根都大于2，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。變2：已知方程x2-2(m+2)x+m2-1=0有兩個(gè)實(shí)根都小于2，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。變3：已知方程x2-2(m+2)x+m2-1=0有兩個(gè)實(shí)根，一個(gè)小于2，另一個(gè)大于2，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。變4：已知方程x2-2(m+2)x+m2-1=0有兩個(gè)實(shí)根，且x1、x2∈(-1,3)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。變5：已知方程x2-2(m+2)x+m2-1=0有兩個(gè)實(shí)根，求x12+x22的取值范圍。第十一頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六二次方程f(x)＝０的兩實(shí)根x1、x２的分布情況，可有如下幾種（m、n為常數(shù)）：(1)若x1＜x２＜m，則應(yīng)有Δ＝b2－４ac＞０，

f(m)＞０，－＜m，Δ＝b2－４ac＞０，或(x1－m)(x2－m)＞０，(x1－m)＋(x2－m)＜０．yxOx1x2m第十二頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六

二次方程f(x)＝０的兩實(shí)根x1、x２的分布情況，可有如下幾種（m、n為常數(shù)）：(2)若x1>x２>m，則應(yīng)有Δ＝b2－４ac＞０，

f(m)＞０，－>m，Δ＝b2－４ac＞０，或(x1－m)(x2－m)＞０，(x1－m)＋(x2－m)>０．yxOx1x2m第十三頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六

(3)若x1＜m＜x2，則應(yīng)有

f(m)＜０，或(x1－m)(x2－m)＜０．yxOx1x2m第十四頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六

(4)若m＜x1＜x2＜n，則應(yīng)有Δ＝b2－４ac＞０，

f(m)＞０，

f(n)＞０，

m＜－＜n.yxOx1x2mn第十五頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六

(5)若x1＜m＜n＜x2，則應(yīng)有

f(m)＜０，

f(n)＜０．yxOx1x2mn第十六頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六

例4已知方程(m－１)x2＋mx－１＝０至少有一個(gè)正根，求實(shí)數(shù)m的范圍．

解:若m－１＝０,方程為x－１＝０，x＝１符合條件．若m－１≠０,設(shè)f(x)＝(m－１)x2＋mx－１．∵f(０)＝－１≠０，∴方程f(x)＝０無(wú)零根．

如方程有異號(hào)兩實(shí)根，則x1x2＝1-m＜０，m＞１．如方程有兩個(gè)正實(shí)根，則:

Δ＝m2＋４(m－１)≥０，m≥－２＋或m≤－２－，

x1x2＝＞０，m＜１，

x1＋x2＝－＞０，０＜m＜１．

∴－２≤m＜１．由此得，實(shí)數(shù)m的范圍是m≥－２.第十七頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六根的分布x2>x1>mx1＜x２＜mx1＜m＜x2m＜x1＜x2＜n函數(shù)圖像韋達(dá)定理圖像方法mx2x1x1x2mx1x2mx2x1nmΔ＞０，

f(m)＞０，－＜m，Δ＞０，

f(m)＞０，－>m，

f(m)＜０

Δ＝b2－４ac＞０，

f(m)＞０，

f(n)＞０，

m＜－＜n.Δ＝b2－４ac＞０，(x1－m)(x2－m)＞０，(x1－m)＋(x2－m)＜０Δ＝b2－４ac＞０，(x1－m)(x2－m)＞０，(x1－m)＋(x2－m)>０(x1－m)(x2－m)＜０表示比較復(fù)雜，繁瑣第十八頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六１．y＝ax2＋bx與y＝ax＋b(ab≠０)的圖像只能是（）

ＡＢＣＤ練習(xí)C2．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的系數(shù)滿(mǎn)足abc＜０,則它的圖像可能是（）ABCDB第十九頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期六3．若函數(shù)f(x)＝x2＋３x＋p的最小值為－１,則p的值是（）

Ａ.１Ｂ.Ｃ.Ｄ.

4．若二次函數(shù)f(x)＝－２x2＋４x＋t的圖像頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于１，則t的值是（）Ａ.１Ｂ.－１Ｃ.２Ｄ.－２5．已知函數(shù)f(x)＝mx2＋２mx－３m