線性方程組解的結(jié)構(gòu)

線性方程組解的結(jié)構(gòu)當(dāng)前第1頁\共有21頁\編于星期二\13點(diǎn)其通解的結(jié)構(gòu)如何?如何寫出其向量形式的通解?齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)本章以向量為工具討論線性方程組解的結(jié)構(gòu)主要內(nèi)容:非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)如果當(dāng)齊次線性方程組有無窮多解時(shí),問題:1.2.如果當(dāng)非齊次線性方程組有無窮多解時(shí),其通解的結(jié)構(gòu)如何?如何寫出其向量形式的通解?當(dāng)前第2頁\共有21頁\編于星期二\13點(diǎn)§4.1線性方程組解的存在性定理對(duì)于非齊次方程組非齊次方程組解的判別定理

齊次方程組解的判別定理對(duì)于齊次方程組當(dāng)前第3頁\共有21頁\編于星期二\13點(diǎn)

第四章線性方程組解的結(jié)構(gòu)§4.4線性方程組在幾何中的應(yīng)用§4.2齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)§4.1線性方程組解的存在性定理§4.3非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)當(dāng)前第4頁\共有21頁\編于星期二\13點(diǎn)記Ax=0的解集為:(1)1.解向量:的一個(gè)解向量.2.解向量的性質(zhì):(2)不妨設(shè)是N(A)的最大無關(guān)組(稱為基礎(chǔ)解系)則:由(1),(2)可知(取任意實(shí)數(shù))§4.2齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)當(dāng)前第5頁\共有21頁\編于星期二\13點(diǎn)通過下面的例子,來解決以上問題例1問題:對(duì)于給定的方程組如何求其基礎(chǔ)解系?解:當(dāng)前第6頁\共有21頁\編于星期二\13點(diǎn)是解嗎?線性無關(guān)嗎?任一解都可由

表示嗎?基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)=?是基礎(chǔ)解系嗎?令自由變量為任意實(shí)數(shù)

說明:1.基礎(chǔ)解系不惟一2.但所含向量的個(gè)數(shù)唯一且等于n-R(A)當(dāng)前第7頁\共有21頁\編于星期二\13點(diǎn)齊次方程組解的結(jié)構(gòu)定理齊次方程組的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為設(shè)一個(gè)基礎(chǔ)解系為:則通解為:例２．設(shè)ｎ階矩陣Ａ的秩為ｎ－１，Ａ的每行元素之和為零，寫出ＡＸ＝０的通解．解：的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為則通解為：當(dāng)前第8頁\共有21頁\編于星期二\13點(diǎn)例2設(shè),是的兩個(gè)不同的解向量,k取任意實(shí)數(shù),則Ax=0的通解是例3設(shè),證明重要結(jié)論證記則由說明都是的解因此移項(xiàng)當(dāng)前第9頁\共有21頁\編于星期二\13點(diǎn)例4.已知的列向量組是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系,B是m階可逆矩陣,試證:AB的列向量組也是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.證明:則AB的列向量組是齊次線性方程組的解向量由條件可知A的列向量組線性無關(guān)且含m個(gè)向量所以AB的列向量組線性無關(guān),即是方程組的基礎(chǔ)解系.當(dāng)前第10頁\共有21頁\編于星期二\13點(diǎn)

第四章線性方程組解的結(jié)構(gòu)§4.4線性方程組在幾何中的應(yīng)用§4.2齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)§4.1線性方程組解的存在性定理§4.3非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)當(dāng)前第11頁\共有21頁\編于星期二\13點(diǎn)(1)設(shè)都是(1)的解,則是(2)的解.(2)設(shè)是(1)的解,是(2)的解,則仍是(1)的解.設(shè)是(1)的一個(gè)解(固定),則對(duì)(1)的任一解x是(2)的解,從而存在使得由此得:1.解向量:2.性質(zhì):§4.3非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)當(dāng)前第12頁\共有21頁\編于星期二\13點(diǎn)非齊次方程組解的結(jié)構(gòu)定理的一特解解,則當(dāng)非齊次線性方程組有無窮多解時(shí)其通解為:例5.的三個(gè)解向量解:的基礎(chǔ)解系含一個(gè)向量當(dāng)前第13頁\共有21頁\編于星期二\13點(diǎn)例6解當(dāng)前第14頁\共有21頁\編于星期二\13點(diǎn)例7設(shè)是非齊次Ax=b的兩個(gè)不同的解其對(duì)應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系,則Ax=b的通解是(多選)當(dāng)前第15頁\共有21頁\編于星期二\13點(diǎn)例8.已知方程組問:a為何值時(shí),方程組有唯一解?無解?無窮多解?有無窮多解時(shí)求出通解.解:所以有無窮多解,當(dāng)前第16頁\共有21頁\編于星期二\13點(diǎn)因?yàn)橄禂?shù)矩陣的秩不等于增廣矩陣的秩,所以方程組無解.例9.的三個(gè)解向量,當(dāng)前第17頁\共有21頁\編于星期二\13點(diǎn)例10設(shè)線性方程組的系數(shù)矩陣為A,存在解:則B的列向量組為AX=0的解向量例11齊次線性方程組,則下列結(jié)論正確的是當(dāng)前第18頁\共有21頁\編于星期二\13點(diǎn)例１2已知方程組問ａ為何值時(shí)，方程組有唯一解，無解，無窮多個(gè)解？在方程組有無窮多個(gè)解時(shí)求出通解．（考試題）解：方程組有唯一解即當(dāng)ａ＝０時(shí)．．．．．．．當(dāng)ａ＝３時(shí)．．．．．．．當(dāng)前第19頁\共有21頁\編于星