1.1.2　空間向量的數(shù)量積運算

高中數(shù)學選擇性必修第一冊人教A版1.1.2空間向量的數(shù)量積運算1.掌握空間向量的夾角及其表示方法.2.掌握空間向量的數(shù)量積及其運算律.3.能用空間向量的數(shù)量積解決立體幾何問題.1.如圖,已知兩個非零向量a,b,在空間任取一點O,作

=a,

=b,則①∠AOB

叫做向量a,b的夾角,記作②〈a,b〉

.

2.兩個非零向量a,b的夾角〈a,b〉的范圍是③[0,π]

;若〈a,b〉=0,則向量a,b方向④相同;若〈a,b〉=π,則向量a,b方向⑤相反

;若〈a,b〉=

,則向量a,b⑥互相垂直

.空間兩個向量的夾角1.定義已知兩個非零向量a,b,則⑦|a||b|cos〈a,b〉

叫做a,b的數(shù)量積,記作⑧

a·b

.即a·b=|a||b|cos〈a,b〉.規(guī)定:零向量與任意向量的數(shù)量積為⑨0

.2.運算律(1)(λa)·b=⑩

λ(a·b)

,λ∈R;(2)交換律:a·b=

b·a

;(3)分配律:a·(b+c)=

a·b+a·c

.空間向量的數(shù)量積1.a·e=

|a|cos〈a,e〉

(其中e為單位向量);2.若a,b為非零向量,則a⊥b?

a·b=0

;3.a·a=|a||a|cos〈a,a〉=|a|2或|a|=

=

;4.若a,b為非零向量,則cos〈a,b〉=

;5.|a·b|≤|a||b|(當且僅當a,b共線時,等號成立).空間向量數(shù)量積的性質1.如圖(1),在空間,向量a向向量b投影,由于它們是自由向量,因此可以先將它們平移到同一個平面α內,進而利用平面上向量的投影,得到與向量b共線的向量c,c=

,向量c稱為向量a在向量b上的投影向量.類似地,可以將向量a向直線l投影(如圖(2)).

圖(1)

圖(2)空間向量的投影

2.如圖,向量a向平面β投影,就是分別由向量a的起點A和終點B作平面β的垂線,垂足分別為A',B',得到向量

,向量

稱為向量a在平面β上的投影向量.這時,向量a,

的夾角就是向量a所在直線與平面β所成的角.

1.對于非零向量a,b,〈a,b〉與〈a,-b〉相等.

(

?)提示:〈a,b〉與〈a,-b〉互補.2.對于任意向量a,b,c,都有(a·b)c=a(b·c).

(

?)提示:(a·b)c與c共線,a(b·c)與a共線,但c與a不一定共線.3.若a·b=b·c,且b≠0,則a=c.

(

?)提示:由a·b=b·c知b·(a-c)=0,即b與a-c垂直或a=c,故a=c不一定成立.4.若a·b=0,則a=0或b=0.

(

?)判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“?”.空間向量的數(shù)量積運算1.空間向量運算的兩種方法(1)利用定義:利用a·b=|a||b|cos〈a,b〉并結合運算律進行計算.(2)利用圖形:計算兩個向量的數(shù)量積,可先將各向量移到同一頂點,利用圖形尋找夾角,再代

入數(shù)量積公式進行運算.2.在幾何體中求空間向量的數(shù)量積的步驟(1)將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式.(2)利用向量的運算律將數(shù)量積展開,轉化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積.(3)代入向量的數(shù)量積公式進行運算求解.(1)已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a,點E,F分別是BC,AD的中點,則

·

=

;(2)在四面體OABC中,棱OA,OB,OC兩兩垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,G為△ABC的重心,則

·(

+

+

)=

.解析

(1)

·

=

(

+

)·

=

(

·

+

·

)=

(a2cos60°+a2cos60°)=

a2.(2)由題意知

=

+

=

+

×

(

+

)=

+

[(

-

)+(

-

)]=

+

+

,∴

·(

+

+

)=

·(

+

+

)=

+

+

=

×22+

×32+

×12=

.答案(1)

a2(2)

利用空間向量的數(shù)量積求夾角1.求空間兩個向量的夾角的方法(1)結合圖形,平移向量,利用空間向量的夾角定義來求,但要注意向量夾角的范圍;(2)先求a·b,再利用公式cos〈a,b〉=

求cos〈a,b〉,最后確定〈a,b〉.2.求兩條異面直線所成的角的步驟(1)根據(jù)題設條件在所求的異面直線上取兩個向量(即直線的方向向量);(2)將異面直線所成角的問題轉化為向量夾角問題;(3)利用向量的數(shù)量積求向量夾角的余弦值;(4)異面直線所成的角為銳角或直角,利用向量的數(shù)量積求向量夾角的余弦值應將余弦值加

上絕對值,進而求出異面直線所成的角的大小.3.由于向量的夾角的取值范圍為[0,π],而異面直線所成的角的取值范圍為

,因此利用向量的數(shù)量積求異面直線所成的角時,要注意角度之間的關系,當〈a,b〉∈

時,它們相等;當〈a,b〉∈

時,它們互補.利用空間向量的數(shù)量積求距離(或線段長)1.用數(shù)量積求兩點間距離的步驟(1)用向量的模表示此距離;(2)用已知模和夾角的向量表示此向量;(3)用公式a·a=|a|2求|a|;(4)|a|即為所求距離.2.求模公式的推廣由公式|a|=

可以推廣為|a±b|=

=.已知線段AB在平面α內,線段AC⊥α,線段BD⊥AB,且與α所成的角是30°,如果AB=a,AC=BD=

b,求C,D間的距離.思路點撥已知線段AB、AC、BD的長度,由已知可得線段AB、AC、BD兩兩所成角,所以用

+

+

表示

,結合向量的數(shù)量積公式求出C,D間的距離.解析

由AC⊥α,知AC⊥AB.如圖,過點D作DD'⊥α于點D',連接BD',則∠DBD'=30°,〈

,

〉=120°,

所以|

|2=

·

=(

+

+

)2=|

|2+|

|2+|

|2+2

·

+2

·

+2

·

=b2+a2+b2+2b2cos120°=a2+b2,故CD=

.利用空間向量的數(shù)量積證明垂直

利用空間向量的數(shù)量積判斷或證明線線、線面垂直的思路(1)由數(shù)量積的性質a⊥b?a·b=0可知,要證兩直線垂直,可構造與兩直線分別平行的向量,只

要證明這兩個向量的數(shù)量積為0即可.(2)用向量法證明線面垂直,離不開線面垂直的判定定理,需將線面垂直轉化為線線垂直,然

后利用向量法證明線線垂直即可.用向量法證明垂直關系的步驟:①把幾何問題轉化為向量問題;②用已知向量表示所證向量;③結合數(shù)量積公式和運算律證數(shù)量積為0;④將向量問題回歸到幾何問題.如圖,正四面體VABC的高VD的中點為O,VC的中點為M.求證:AO,BO,CO兩兩垂直.

思路點撥因為正四面體各條棱都相等,且相鄰兩條棱的夾角為60°,所以可以用過同一頂點的三條棱表示AO,BO,CO,利用數(shù)量積的運算證明垂直.證明

設

=a,

=b,

=c,正四面體的棱長為1,則

=

(a+b+c),

=

(b+c-5a),

=