一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

第二章一元二次方程2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系上新課之前，我們先來了解一個偉大的人物。他是法國數(shù)學(xué)家弗郎索瓦·韋達，他在數(shù)學(xué)界有一個重大的發(fā)現(xiàn)。韋達于1615年在著作《論方程的識別與訂正》中建立了方程根與系數(shù)的關(guān)系，提出了韋達定理。由于韋達最早發(fā)現(xiàn)代數(shù)方程的根與系數(shù)之間有這種關(guān)系，人們把這個關(guān)系稱為韋達定理。韋達定理不僅可以說明一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，還可以推廣說明一元n次方程根與系數(shù)的關(guān)系。利用韋達定理可以快速求出兩方程根的關(guān)系，韋達定理最重要的貢獻是對代數(shù)學(xué)的推進，它最早系統(tǒng)地引入代數(shù)符號，推進了方程論的發(fā)展，用字母代替未知數(shù)，指出了根與系數(shù)之間的關(guān)系。韋達定理為數(shù)學(xué)中的一元方程的研究奠定了基礎(chǔ)，對一元方程的應(yīng)用創(chuàng)造和開拓了廣泛的發(fā)展空間。課時導(dǎo)入復(fù)習(xí)回顧1.一元二次方程的一般形式是什么？2.根的判別式是什么？3.一元二次方程的求根公式是什么？4.如何判定一元二次方程的根的情況？先解下列方程，然后計算這些方程的兩根之和與兩根之積：(1)x2-12x+11=0. (2)2x2-13x=0. (3)4x2+20x+25=0.合作探究你發(fā)現(xiàn)了什么？方程x1x2x1＋x2x1x2x2-12x+11=02x2-13x=04x2+20x+25=0你能證明上面的結(jié)論嗎？合作探究一般地，一元二次方程根與系數(shù)有如下關(guān)系：如果x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根，那么x1＋x2＝，x1x2＝.根據(jù)你的觀察，猜想：方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根如果是x1，x2，那么x1＋x2＝_______,

x1x2＝_______.下面我們來證明這一結(jié)論.設(shè)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(b2-4ac≥0)的兩個根為x1，x2

，則深入探究深入探究注意：(1)前提條件：二次項系數(shù)不為0和方程有實數(shù)根．(2)

刻畫了x1＋x2和x1x2與系數(shù)a，b，c之間的關(guān)系．(3)可以不解方程而求出與兩根有關(guān)系的代數(shù)式的值．由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，得例1設(shè)x1,x2是一元二次方程5x2-7x

-3=0的兩個根，求x12+x22和的值.解：例題講解總結(jié)：求一元二次方程兩根的和與積時，先要將方程整理成一般形式，再利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根的和與積．拓展：常見的涉及一元二次方程的兩個根x1，x2的代

數(shù)式的重要變形有：

①x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2；知識延伸④(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1·x2；⑤(x1＋k)(x2＋k)＝x1·x2＋k(x1＋x2)＋k2；設(shè)這個方程為3x2+bx+c=0,由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得解得b=-4;解得c=1.所以這個一元二次方程是3x2

-4x+1=0.例2已知一個一元二次方程的二次項系數(shù)是3,它的兩個根分別是,1.寫出這個方程.解：例題講解已知一元二次方程兩根的關(guān)系求待定字母的值時，先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系用待定的字母表示兩根之和與兩根之積，然后將已知兩根的關(guān)系式進行變形，再將兩根的和與積整體代入，列出以待定字母為未知數(shù)的方程，進而求得待定字母的值．總結(jié)歸納由根與系數(shù)的關(guān)系，得1方程2x2－3x＋1＝0的兩個根記作x1，x2不解方程，求x1－x2的值.解：拓展訓(xùn)練

求與根有關(guān)的代數(shù)式的值時，看代數(shù)式是否具有對稱性，若具有對稱性，則直接變形，將兩根之和或積代入求值；若不具有對稱性，則將其中的某一個根單獨代入方程中，得到與待求值的代數(shù)式相關(guān)的結(jié)構(gòu)，進行整體代入求值．總結(jié)歸納2已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程kx2＋4x－3＝0的兩個不相等的實數(shù)根．(1)求k的取值范圍．(2)是否存在這樣的實數(shù)k，使2x1＋2x2－

＝2成

立？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．導(dǎo)引：(1)根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根得Δ＞0，可求出k的取值范圍，同時注意k≠0；(2)先假設(shè)存在，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系列出以k為未知數(shù)的方程，求出k的值，然后結(jié)合(1)中k的取值范圍檢驗．拓展訓(xùn)練解：(1)由題意得Δ＝42－4k·(－3)＞0，∴k＞又k≠0，∴k＞且k≠0.(2)存在．∵x1＋x2＝x1x2＝2x1＋2x2－∴

＋k＝2，解得k1＝4，k2＝－2(不符合題意，舍去)．∴k＝4.拓展訓(xùn)練根的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系經(jīng)常結(jié)合在一起考查，因為運用根與系數(shù)的關(guān)系的前提條件是根的判別式大于或等于零．(中考·瀘州)設(shè)x1，x2是方程x2＋3x－3＝0的兩個實

數(shù)根，則

的值為(

)A．5B．－5C．1D．－1中考鏈接(中考·雅安)已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＝0的兩根，則x1＋x2的值是(

)A．0B．2C．－2

D．4(中考·昆明)已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的兩個根，則x1·x2等于(

)A．－4B．－1C．1

D．4知識總結(jié)知識方法要點關(guān)鍵總結(jié)注意事項一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系①是一元二次方程，②是有兩個實數(shù)根（b2－4ac≥0）.方法規(guī)律總結(jié)(1)不用解方程，即可求得兩根之和、兩根之積(2)可根據(jù)已知一根求另一根，也可求一元二次方程

的待定系數(shù)課堂小結(jié)利用根與系數(shù)關(guān)系解決問題的一般步驟：第一步：先將方程化為一般式