2023年高二年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)選擇性必修一：圓的一般方程

2023年高二上數(shù)學(xué)選擇性必修一：圓的一般方程

一、基礎(chǔ)鞏固

1.圓(x+l)2+O3)2=2化為一般方程是()

A./+)2=6

BJC2+/+8=0

Cjc2+y2-2r+8_y+6=0

D,X2+>,2+2X-6>,+8=0

ggD

2.若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()

A.RB.(-oo,l)C.(-oo,l]D.[l,+oo)

ggl6+4-4x5左>0,解得k<\.

IgB

3.過/(0,0),8(1,1),。(4,2)三點(diǎn)的圓的一般方程是()

A.x2+/+8x+6j^=0

B.X2+/-8X-6J/=0

Cjr2+/+8x-6y=0

D.x2+^2-8x+6y=0

|解析：|設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0.0為/(0,0),8(1,1),C(4,2)三點(diǎn)在圓上，則

F=0,(D=-8,

D+E+F+2=0,解得E=6,故所求圓的一般方程是x2+/_8x+6y=0.

4D+2E+F+20=0,{F=0,

答案:|D

4.若點(diǎn)P（l,l）在圓x2+y2+2x+4y+a=0外，則a的取值范圍是（）

A.aV-8B.Q-8

C.-8<a<5D.av-8或a>5

解桐由已知可得［竟#：解得-8<a<5.

--------（。十Q>U,

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答案:|c

5.在△48C中,若頂點(diǎn)B,C的坐標(biāo)分別是(-2,0)和(2,0),中線AD的長度是3,則點(diǎn)A的軌跡

方程是()

A.x2+y2=3B.x2+y2=4

C.x2+/=9()^0)D.X2+/=9(X#0)

解近］由題意知線段8c的中點(diǎn)為。(0,0),由于為定長3,所以點(diǎn)/在以。為圓心,3為

半徑的圓上.由于點(diǎn)Z為"BC的一個(gè)頂點(diǎn)，所以點(diǎn)/與點(diǎn)3,C不共線.故選C.

ggc

6.若方程x^+Dx+Ey+F^表示以(2,-4)為圓心,4為半徑的圓，則F=.

——傷=2，

解析:由題意知｛\

"=-4,

?:。=-4,E=8.

??D24-E2-4F(-4)2+82-4F,

?*9=-4—=—；—=416，

.：F=4.

7.圓x2+4x+y2=0關(guān)于歹軸對(duì)稱的圓的一般方程是.

解析：|已知圓的圓心為。(-2,0),半徑尸=2,點(diǎn)。關(guān)于^軸的對(duì)稱點(diǎn)為。(2,0),則已知圓關(guān)于

y軸對(duì)稱的圓的方程為(工-2)2+/=4,即x2+y2-4x=0.

國都2+/一4》=0

8.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)/(-4,0)的距離是它到點(diǎn)8(2,0)的距離的2倍,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程

是.

解析：|設(shè)動(dòng)點(diǎn)〃的坐標(biāo)為(x,y),則1=21MB|,

即J(x+40+y2=2y/(x-2)2+y2,

整理得x2+y_8x=0.

故所求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2+/-8x=0.

|答案:卜2+y2-8x=0

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9.判斷下列方程是否表示圓，若是，將其化成標(biāo)準(zhǔn)方程：

(l>2+/+2x+l=0;

(2)x2+^2+2ay-l=0;

(3>2+/+20X+121=0;

(4)x2+y2+2ax=0.

回⑴原方程可化為(》+1)2+產(chǎn)=0,它表示點(diǎn)(/,0),不表示圓.

⑵原方程可化為12+&+4)2=〃2+],它表示圓心為半徑為+1的圓，標(biāo)準(zhǔn)方程為

/+8+〃)2=。2+]

⑶原方程可化為(x+10)2+/=-21v0,即方程不表示任何曲線，故不能表示圓.

(4)原方程可化為(x+a)2+y2=q2

①當(dāng)a=0時(shí)，方程表示點(diǎn)(-a,0),不表示圓；

②當(dāng)40時(shí)，方程表示以(-a,0)為圓心，半徑為⑷的圓，標(biāo)準(zhǔn)方程為(1+。)2+產(chǎn)=次.

10.求過三點(diǎn)力。5)4(1,-2),。(-3,-4)的圓的方程.

解|設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0.

因?yàn)辄c(diǎn)A,B,C在圓上，把它們的坐標(biāo)依次代入上面的方程,整理得到關(guān)于D,E,F的三元一

'5E+F+25=0,(D=6,

次方程組D-2E+F+5=0,解這個(gè)方程組，得卜=-2,

3D+4F-F-25=0,{F=-15.

于是得到所求圓的方程為x2+y2+6x-2y-15=0.

二、能力提升

1.已知直線3x+4y-24=0與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)及坐標(biāo)原點(diǎn)都在一個(gè)圓上，則該圓的半徑為

()

A.3B.4C.5D.6

ggc

2.當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線(a-l)x-y+a+l=0恒過定點(diǎn)C,則以。為圓心泮徑為遙

的圓的方程為()

A.x2+y2-2x+4y=0B.x2+^2+2x+4y=0

CJC2+y2+2x-4y=0D.x2+y2-2x-4y=0

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函令片0q=1,得方程組｛：；；；：/'

解得憂亡'

所以定點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-1,2).

則圓C的方程為(x+l)2+(y-2)2=5,

即x2+y2+2x-4y=0.

ggc

★3.若直線/:ax+如+1=0始終平分圓M-jc2+y2+4x+2y+1=0的周長，則(a-2)2+(b-2)2的最

小值為()

A.V5B.5C.2V5D.10

解析:!由題意得直線/過圓心

則-2a-6+l=0,即b=-2a+\.

所以(a-2)2+S-2)2=(a-2)2+(-2a+1-2)2=542+525,

所以(公2)2+(人2)2的最小值為5.

ggB

4.已知點(diǎn)/(1,2)在圓x2+y2+2r+3y+/M=0內(nèi)，則m的取值范圍是.

gg由題意知或+^+2xl+3x2+m<°，解得加</3.

------12,+3-4m>0,

答案:卜8,-13)

5.若使圓^+y1+2x+ay-a-n=^a為實(shí)數(shù))的面積最小，則a=.

|解析由已知得圓的半徑:

r=+a2-4(-a-12)=^V4+a2+4a+48=+2>+48,

所以當(dāng)a=-2時(shí),min=1V48=2V3,

即此時(shí)圓的面積最小.

福-2

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6.點(diǎn)P是圓C:x2+y2_4x+2yJ1=0上的任一點(diǎn)的中點(diǎn)是M試求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.

函設(shè)M(x,y),由已知得圓心C(2,-l),則P(2x-2,2y+l).

又點(diǎn)P在圓C:x2+y2-4x+2y-l1=0上，

所以動(dòng)點(diǎn)M■的軌跡方程為

(2x-2)2+(2y+1)2-4(2x-2)+2(2j+1)-11=0,

即x2+y2-4x+2y+1=0.

★7.一個(gè)等腰三角形底邊上的高等于5,底邊兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-4,0)和(4,0),求它的外

接圓的方程.

回由題意知等腰三?角形頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(0,±5).

當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,5)時(shí)，設(shè)三角形外接圓的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0,

(25+5E+F=0,(D=°,

則16-4D+F=0,解之，得

(16+4D+F=0,(F=品

所以外接圓的方程是x2