中考數(shù)學(xué)專題二次函數(shù)與相似三角形存在性問題復(fù)習(xí)練習(xí)

相似三角形存在性（一）在坐標(biāo)系中確定點(diǎn)，使得由該點(diǎn)及其他點(diǎn)構(gòu)成的三角形與其他三角形相似，即為湘似三角形存在性問題”.【相似判定】判定1：三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形是相似三角形；判定2：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形是相似三角形；判定3：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的三角形是相似三角形.以上也是坐標(biāo)系中相似三角形存在性問題的方法來(lái)源，根據(jù)題目給的已知條件選擇恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，解決問題.【題型分析】通常相似的兩三角形有一個(gè)是已知的，而另一三角形中有1或2個(gè)動(dòng)點(diǎn)，即可分為“單動(dòng)點(diǎn)”類、“雙動(dòng)點(diǎn)”兩類問題.【思路總結(jié)】根據(jù)相似三角形的做題經(jīng)驗(yàn)，可以發(fā)現(xiàn)，判定1基本是不會(huì)用的，這里也一樣不怎么用，對(duì)比判定2、3可以發(fā)現(xiàn)，都有角相等！所以，要證相似的兩個(gè)三角形必然有相等角，關(guān)鍵點(diǎn)也是先找到一組相等角.然后再找：思路1：兩相等角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例；思路2：還存在另一組角相等.事實(shí)上，坐標(biāo)系中在已知點(diǎn)的情況下，線段長(zhǎng)度比角的大小更容易表示，因此選擇方法可優(yōu)先考慮思路1.一、如何得到相等角？二、如何構(gòu)造兩邊成比例或者得到第二組角？搞定這兩個(gè)問題就可以了例題1如圖，拋物線y=ax2+bx+c與軸交于點(diǎn)A(-1,0),點(diǎn)B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C,且y=ax2+bx+c過點(diǎn)D(2,-3).點(diǎn)Q是拋物線上的動(dòng)點(diǎn).(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2,直線OQ與線段BC相交于點(diǎn)E,當(dāng)AOBE與^ABC相似時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).圖1 圖23)拋物線fy=/-2,r-3:(2)思路『考慮到和△用?￡有一組公共角，公共角必是對(duì)應(yīng)角.//△。的兩邊出九4「與二5茯的兩邊加心￡￡成比例即可，故可得:&E_BA或BE_BC而一菽次而一后*解得砧=26或BE=2點(diǎn)，故E點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-2)或停-3.當(dāng)^點(diǎn)坐標(biāo)為(L-2)時(shí)，直線f旭解析式為尸=-2工，聯(lián)立力程：—=上"—2h—3,解得：*三y/3rXy—~y/31此時(shí)旦點(diǎn)坐標(biāo)為(在-2碼或卜后2萬(wàn))；當(dāng)上點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，直線(?￡解析式為k-我，聯(lián)立方程：-3x=x2-2x-3,解得1*=1+,x2=——^『練卜一所述，。點(diǎn)坐標(biāo)為("-2碼或(-#2赤)或「士普，上袈或^-1-7133+3何(22,'說(shuō)明；過程應(yīng)詳細(xì)分類討論兩種情況，分別求出結(jié)果.例題2如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x-i與拋物線y=-x2+bx+c交于A、B兩點(diǎn)，其中A(m,0)、B(4,n),該拋物線與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于另一點(diǎn)D.(1)求m、n的值及該拋物線的解析式；(2)如圖2,連接BD、CD,在線段CD上是否存在點(diǎn)Q,使得以A、D、Q為頂點(diǎn)的三角形與^ABD相似，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

t分析】拋物線解析式為y二一/十&t分析】拋物線解析式為y二一/十&—5：(21思路：平行得相等角，構(gòu)造兩邊成比例由題意得D(5,0),故直線CD解析式為：y=x-5,)^CDA=^BAD,考慮到點(diǎn)0在線段3)上r.DAAS十DAAD??——-——或——=——，DQADDQAB解得：口0=逑或刃=36，3，故。點(diǎn)坐標(biāo)為［或(2,-3).:1)tn=]r△u4O0M■■△BH。1),例題3如圖，已知拋物線y=ax2-2x+c經(jīng)過^ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，其中點(diǎn)A(0,點(diǎn)B(9,10),AC〃x1),(1)求這條拋物線的解析式;(2)求tanZABC的值；(3)若點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)E是直線AC上一點(diǎn)，當(dāng)4《0￡與^ABC相似時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)【分析】CI】y=l丁-2x+lj3（2）tanXABC-g;l3）思路：平行得相等角，構(gòu)造兩邊成比例若點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn),則八點(diǎn)坐標(biāo)為（3,-2）,，直線CD解析式為:廠5又直線/用解析式為；y=/9,故8//血：.ZBAC^ZACD,8成8成比例】CEA&CEAC解得工CE=9或2,故￡點(diǎn)坐標(biāo)為J%1）或故點(diǎn)6在點(diǎn)（;左側(cè)，考慮/笈@。的兩邊4爪AC與CE.CDAC-CDAB——=——或^―二——例題4如圖，以D為頂點(diǎn)的拋物線y=-X2+bx+C交X軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,直線BC的表達(dá)式為y=-x+3.（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）在x軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與ABCD相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【分析】口）拋物踐解析式士y=-i*+Zy4-3：12》思躇：計(jì)算三角函數(shù)值得相等角易求R（3,0）、C（0,3\門口，4）,tanZBDC=3T又月點(diǎn)坐標(biāo)為（-1.0〕,可得值（1/0以「=3,故N6OG/0/U由題意得工CD=^2r即=2有，AC=麻,若色?!。。與△/?△?相似，則必有點(diǎn)。在H點(diǎn)右邊,口ACAQ—ACAQ且——--或——DBDCDCDB（此處可轉(zhuǎn)化對(duì)應(yīng)邊成比例為同?一三角形中角兩邊比例相同，即考慮到器=3.可得生=3或空」）AQAQ3解得；Tg=】Q或42-1故。點(diǎn)坐標(biāo)為（9,0〕或（0，0L已知拋物戰(zhàn)y=於‘與，釉分別交于/(-3,03B口，0)兩點(diǎn)r與,軸交F點(diǎn)U(11求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)：⑵點(diǎn)F是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).①如圖1.設(shè)"=蘭，當(dāng)立為何值時(shí)，CF=-AD^AD 2②如圖3以乩尸、。為頂點(diǎn)的三角形是否與△48。相似？若相似，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo);若不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由.圖I 圖2 備用圖(1)做物線；y=-x2-2x+i,點(diǎn)D坐標(biāo)為—%(2)①考慮到是直角三角形，故當(dāng)F點(diǎn)是/D中點(diǎn)時(shí)，有此時(shí)上的值為:士②思路：計(jì)算二角函數(shù)值得相等角在△月M9UL/CM產(chǎn)是定用，且/。4F=/CUC+/CJD在△月自。中，^ACB=ZACO+ZBCO.XZOJC=45t=￡ACO,lanZC^￡>=1=tanZOC/?):；ZOAF=ZACB.f此處也可通過三:角函數(shù)值的計(jì)算，la/tZOAF=2,lnnZACB=2,.r.ZOAF=ZACB)繼續(xù)考慮兩邊對(duì)應(yīng)成比例：/。月產(chǎn)的兩邊/。、總產(chǎn)與4rH的兩邊◎、匚6成比例，AOCAAOCBAF~CBAF~CA解得：/F=而或月F=上叵一

如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線y=-1x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C,對(duì)稱軸為x=1的拋物線過B、C兩點(diǎn)，且交x軸于另一點(diǎn)A,連接AC（1）直接寫出點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)和拋物線的解析式；（2）拋物線上是否存在一點(diǎn)Q（點(diǎn)C除外），使以點(diǎn)Q、A、B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.［分析］口)/(.4,0),B(6,0)、C(Ct3).拋物稅：產(chǎn)」/+L+3；K4(2)當(dāng)點(diǎn)。在.撤物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)、則對(duì)「△480而言，無(wú)一定知.這是本題最大的雅點(diǎn)①當(dāng)點(diǎn)0在苒軸上方時(shí),根據(jù)對(duì)稱性易得：當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱抽尸1對(duì)稱時(shí),△HHQ與△月6r相似，此時(shí)。點(diǎn)坐標(biāo)為(2,箝；②當(dāng)點(diǎn)0在k軸下方時(shí).不妨先考慮上川小。.情況一：ZAliQ=/：AIi(\則”=；，直線也解析式；片3聯(lián)立方“程：!工―3=+1￡十3t超和：頷=—8,與=6【舍2 K4故。點(diǎn)坐標(biāo)為＜8-7，此時(shí)日「=3君* 10，月。=7后，根據(jù)線段長(zhǎng)度可知//8Q與/』灰’的兩邊并不成比例.故［重，舍掉情況二：若NnR餐/EWU過點(diǎn)3作1c平行線，與拋物線交點(diǎn)即為。點(diǎn).易得直線旗?解析式：y=-x--^4 21gII聯(lián)立方程；二片——=——/+—#+3,解得；=-10,三=6《舍力4 2X4放。點(diǎn)坐標(biāo)為MO>-12），此時(shí)nr=$,皿=】o,相2=n