2023年北京市高考數(shù)學(xué)(文科)試題及答案詳解

2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試【解析】?道微綜合題，它涉及到的知識(shí)包括：線性規(guī)劃，圓的概念和面積公式，幾何概型。

數(shù)學(xué)〔文〕〔北京卷〕題目中表示的區(qū)域如右圖正方形所示，而動(dòng)點(diǎn)D可以存在的位置為正方型面積減去四

分之一圓的面積局部，因此所求概率是士士,答案：D

本試卷共5頁(yè)，150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上4

作答無(wú)效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.執(zhí)行如下圖的程序框圖，輸出的S值為

第一局部(選擇題共40分)(A)2(B)4(C)8(D)16

-、選擇題共8小題，每題5分，共40分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求

的一項(xiàng)?！窘馕觥靠疾槌绦蚩驁D，涉及到判斷循環(huán)結(jié)束的時(shí)刻，以及簡(jiǎn)單

1.集合A={xeR|3x+2>0},8={xeR|(x+l)(x-3)>0),那么AB=整數(shù)指數(shù)嘉的計(jì)算。當(dāng)k=3時(shí)，循環(huán)結(jié)束，此時(shí)輸出的S為8,

29答案：C

(A)(-oo,-l)⑻(-1,--)?(-j.3)⑻(…

5.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

【解析】和往年一樣，依然是集合(交集)運(yùn)算，本次考察的是一次和二次不等式的解法。

(A)0⑻1(C)2(D)3

2

利用一次、二次不等式的解法A={x|x>-§},3={x|xvT或v>3}并畫(huà)出數(shù)軸圖易得

【解析】外表上考查的是零點(diǎn)問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上是函數(shù)圖象問(wèn)題(單調(diào)性)的變種，該題所涉及

答案：D

到的圖像為事函數(shù)和指數(shù)函數(shù)混合運(yùn)算后的零點(diǎn)，即令/(x)=0o根據(jù)此題可得

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)獨(dú)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為

3+z

。，在平面直角坐標(biāo)系中分別畫(huà)出事函數(shù)/(幻=厘和指數(shù)函數(shù)/(尢)=1)'的圖

(A)(1,3)(B)(3,1)(C)(-1,3)(D)(3,-1)

像，可得交點(diǎn)只有一個(gè)，所以零點(diǎn)只有一個(gè)，答案：Bo

【解析】考查的是復(fù)數(shù)除法的化簡(jiǎn)運(yùn)算以及復(fù)平面，實(shí)部虛部的概念。

6.{為}為等比數(shù)列，下面結(jié)論中正確的是

因?yàn)榫W(wǎng)=1+3"實(shí)部為1,虛部為3,對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)為(1,3)答案：A

3+i(A)4+%之2生(B)4~+魅之2④

(O假設(shè)4=%，那么4=%⑴)假設(shè)%>4，那么〃4>。2

【解析】考查的是等比數(shù)列的根本概念，其中還涉及到了均值不

等式的知識(shí)，如果對(duì)于等比數(shù)列根本概念(公比的符號(hào)問(wèn)題)理

解不清，也容易錯(cuò)選。當(dāng)然此題最好選擇排除法來(lái)做，當(dāng)

q<0,g<0時(shí)，比方7,2,-4……,所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)

夕=一1時(shí)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)夕<一1時(shí)，比方1,-2,4,-8……，與D選項(xiàng)矛盾，而B(niǎo)選

9.直線y=x被圓爐+(y-2>=4截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)________。

JLA

項(xiàng)。；+d之2"荷=2域因此描述均值定理的B選項(xiàng)為正確答案，答案：Bo

7.某三棱錐的三視圖如下圖，該三棱錐的外表積是【解析】涉及到的是直線和圓的知識(shí)，由于北京的考卷多年沒(méi)有涉及直線和

圓，對(duì)于考生來(lái)說(shuō)，可能有些陌生，直線和圓相交求弦長(zhǎng)，利用直角三角形/IV

(A)28+675(B)30+6石

解題,也并非難題。將題目所給的直線和圓圖形化得到如右圖所示的情況，\

(C)56+126(D)60+126

半弦長(zhǎng)y,圓心到直線的距離d,以及圓半徑r構(gòu)成了一個(gè)直角三角形。但r

是因?yàn)榇祟}特殊，直線y=x與圓心所在y軸成夾角45,因此r=,所以

【解析】考查的是三棱錐的三視圖問(wèn)題，只不過(guò)與往年不同的是這題/N

所求不是棱錐或棱柱的體積而是外表積，因此對(duì)于學(xué)生計(jì)算根本功以2JM/\\

及空間想象的雙能力都存在著綜合性的考查。從所給的三視圖可以得/V4R/弦長(zhǎng)/=2上.答案：2立

到該幾何體為三棱錐(也已說(shuō)明)，如右圖所示。圖中藍(lán)色數(shù)字所表示的/\\

>10.{%}為等差數(shù)列，S,為其前"項(xiàng)和，假設(shè)《=；,52=%,那么%=,

為直接從題目所給三視圖中讀出的長(zhǎng)度，黑色數(shù)字代表通過(guò)勾股定理的計(jì)

算得到的邊長(zhǎng)。此題所求外表積應(yīng)為三棱錐四個(gè)面的面積之和。利用垂直\/

45,=-------------------------

關(guān)系和三角形面積公式，可得：10,10,10,6非o因此該幾何體外表

【解析】考查的是等差數(shù)列的根本計(jì)算，技術(shù)難度并不高，通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的常規(guī)考法。

積30+66,答案：B

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因?yàn)?+4+d=4+2d,且所以d=5,所以答案：a2=1,Sn-~^―

8.某棵果樹(shù)前〃年的總產(chǎn)量5〃與九之間的關(guān)系如下圖，從目..

11.在A48C中，假設(shè)a=3,b=0ZA=-,那么NC的大小為_(kāi)_____。

前記錄的結(jié)果看，前機(jī)年的年平均產(chǎn)量最高，機(jī)的值為.?3

【解析】考查的是解三角形，所用方法并不唯一，對(duì)于正弦定理和余弦定理此二者會(huì)其一

(A)5(B)7(C)9(D)11.

都可以得到最后的答案。在AA3C中，利用正弦定理‘一二"—,可得/3=工，所

【解析】知識(shí)點(diǎn)考查很靈活，要根據(jù)圖像識(shí)別看出變化趨勢(shì)，-sinAsinB6

利用變化速度可以用導(dǎo)數(shù)來(lái)解，但圖像不連續(xù)，所以只能是4*…67jrTT

以。再利用三角形內(nèi)角和4+3+。=4，可得NC=-o答案：一

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廣義上的，因此對(duì)數(shù)學(xué)的理解很大程度上限制了考生的分?jǐn)?shù)。當(dāng)然此題假設(shè)利用數(shù)學(xué)估計(jì)過(guò)

12.函數(shù)/(x)=lgx,假設(shè)/(岫)=1,那么/52)+/(加)=。

于復(fù)雜，最好從感覺(jué)出發(fā)。由于目的是使平均產(chǎn)量最高，就需要隨著n增大，變化超過(guò)平

【解析】對(duì)數(shù)函數(shù)題，要求學(xué)生會(huì)利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，同時(shí)也要求學(xué)生對(duì)于根底

均值的參加，隨著n增大，變化缺乏平均值的舍去。由圖可知6,7,8,9這幾年增長(zhǎng)最快，

的對(duì)數(shù)運(yùn)算敏感；答案：2

超過(guò)平均值，所以應(yīng)該參加，因此，答案：C

第二局部(非選擇題共110分)13.正方形A8CO的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)七是邊上的動(dòng)點(diǎn)，那么DE-CB的值為：

二、填空題共6小題，每題5分，共30分。

17.(本小題共13分)

DEDC的最大值為。

近年來(lái)，某市為了促進(jìn)生活垃圾的分類(lèi)處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其

【解析】平面向量問(wèn)題，考查學(xué)生對(duì)于平面向量點(diǎn)乘知識(shí)的理解，其中包含動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，考他垃圾三類(lèi)，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱，為調(diào)查居民生活垃圾分類(lèi)投放情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取

查學(xué)生對(duì)于最值時(shí)刻的圖形感官；答案：1：1了該市三類(lèi)垃圾箱中總計(jì)1000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下(單位：噸)：

“廚余垃圾"箱“可回收物〃箱“其他垃圾〃箱

14./(x)=m(x-2ni)(x+m+3),g(x)=2X-2?假設(shè)X/xER,f(x)v0或g(x)v0,

廚余垃圾400100100

那么tn的取值范圍是。

可回收物3024030

【解析】考查學(xué)生函數(shù)的綜合能力，涉及到二次函數(shù)的圖像開(kāi)口，根大小，涉及到指數(shù)型函其他垃圾202060

數(shù)的平移的單調(diào)性，還涉及到簡(jiǎn)易邏輯中的“或"連接，形式上是小型題，考確實(shí)是大思路,(I)試估計(jì)廚余垃圾投放正確的概率；

分類(lèi)討論是這個(gè)題的重點(diǎn)。答案：(-4,0)

(II)試估計(jì)生活垃圾投放錯(cuò)誤的概率；

三、解答題共6小題，共80分，解容許寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。(III)假設(shè)廚余垃圾在“廚余垃圾〃箱、“可回收物〃箱、''其他垃圾"箱的投放量分別為

15.(本小題共13分)a,b,c.其中a>0,a+b+c=6Q0.當(dāng)數(shù)據(jù)a,b,c的方差s2最大時(shí)，寫(xiě)出a,"c的值(結(jié)

(sinx-cosx)sin2x

函數(shù)/")=

sinx論不要求證明)，并求此時(shí)一的值。

(I)求/(x)的定義域及最小正周期;2222

(注：5=-[(X,-X)+(X,-X)+-+(Xn-X)],其中1為數(shù)據(jù)…,X”的平均數(shù))

n

(II)求/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間。18.(本小題共13分)

16.〔本小題共14分)函數(shù)/(x)=ax2+l(a>0),g(x)=x3+bx。

如圖1,在用AABC中，ZC=90,分別為(I)假設(shè)曲線y=/(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(diǎn)交點(diǎn)處具有公共切線,求。力的值；

的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為線段CO上的一點(diǎn)，將A/M應(yīng)沿(II)當(dāng)。=3g=-9時(shí),假設(shè)函數(shù)f(x)+g(x)在區(qū)間伙,2]上的最大值為28,求&的取

折起到&4QE的位置，使如圖2。值范圍。

19.(本小題共14分)

(I