西南交通大學(xué)振動力學(xué)I多自由系統(tǒng)的振動演示文稿

西南交通大學(xué)振動力學(xué)I多自由度系統(tǒng)的振動演示文稿2023/6/151《振動力學(xué)》當前第1頁\共有165頁\編于星期二\14點2023年6月15日中國力學(xué)學(xué)會學(xué)術(shù)大會‘2005’22023年6月15日2聲明本課件可供教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)中免費使用。不可用于任何商業(yè)目的。本課件的部分內(nèi)容參閱了上海交通大學(xué)陳國平教授和太原科技大學(xué)楊建偉教授的課件，作者在此向二位教授表示衷心感謝。如該課件無意中損害了二位教授利益，作者在此致歉。本課件以高淑英、沈火明編著的《振動力學(xué)》（中國鐵道出版社，2011年）的前四章為基礎(chǔ)編寫。感謝研究生蔣寶坤、王金梅在文字錄入方面的工作2023/6/152《振動力學(xué)》當前第2頁\共有165頁\編于星期二\14點kcm建模方法1：將車、人等全部作為一個質(zhì)量考慮，并考慮彈性和阻尼要求：對轎車的上下振動進行動力學(xué)建模例子：轎車行駛在路面上會產(chǎn)生上下振動缺點：模型粗糙，沒有考慮人與車、車與車輪、車輪與地面之間的相互影響優(yōu)點：模型簡單分析：人與車、車與車輪、車輪與地面之間的運動存在耦合多自由度系統(tǒng)振動2023/6/153《振動力學(xué)》當前第3頁\共有165頁\編于星期二\14點k2c2m車m人k1c1建模方法2：車、人的質(zhì)量分別考慮，并考慮各自的彈性和阻尼優(yōu)點：模型較為精確，考慮了人與車之間的耦合缺點：沒有考慮車與車輪、車輪與地面之間的相互影響多自由度系統(tǒng)振動2023/6/154《振動力學(xué)》當前第4頁\共有165頁\編于星期二\14點m人k1c1k2c2mk3c3k2c2k3c3m車m輪m輪建模方法3：車、人、車輪的質(zhì)量分別考慮，并考慮各自的彈性和阻尼優(yōu)點：分別考慮了人與車、車與車輪、車輪與地面之間的相互耦合，模型較為精確問題：如何描述各個質(zhì)量之間的相互耦合效應(yīng)？多自由度系統(tǒng)振動2023/6/155《振動力學(xué)》當前第5頁\共有165頁\編于星期二\14點多自由度系統(tǒng)的振動用N個獨立坐標可以完全描述其在空間位置的系統(tǒng)，稱為N自由度系統(tǒng)，N≥2時的系統(tǒng)稱為多自由度系統(tǒng)。多自由度系統(tǒng)和單自由度系統(tǒng)的振動固有性質(zhì)區(qū)別：

1）單自由度系統(tǒng)受初始擾動，系統(tǒng)按固有頻率作簡諧運動；2）多自由度系統(tǒng)有多個固有頻率；多自由度系統(tǒng)按某一固有頻率所作自由振動，稱為主振動，是一種簡諧運動，多自由度系統(tǒng)有多個主振動。系統(tǒng)作某個主振動時，任何瞬時各點位移間具有一定的相對比值，即系統(tǒng)具有確定的振動形態(tài)，稱為主振型（也稱主模態(tài)）。主振型是多自由度系統(tǒng)以及彈性體振動的重要特征。當前第6頁\共有165頁\編于星期二\14點教學(xué)內(nèi)容多自由度系統(tǒng)的振動2023年6月15日《振動力學(xué)》7教學(xué)內(nèi)容兩自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法2023/6/157《振動力學(xué)》當前第7頁\共有165頁\編于星期二\14點教學(xué)內(nèi)容多自由度系統(tǒng)的振動2023年6月15日《振動力學(xué)》8兩自由度系統(tǒng)的振動兩自由度系統(tǒng)的振動方程無阻尼系統(tǒng)的自由振動耦合與主坐標無阻尼系統(tǒng)的強迫振動阻尼對強迫振動的影響2023/6/158《振動力學(xué)》當前第8頁\共有165頁\編于星期二\14點多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度系統(tǒng)的振動兩自由度系統(tǒng)的振動兩自由度系統(tǒng)：用兩個獨立坐標可以完全描述其在空間位置的系統(tǒng)。2023/6/159《振動力學(xué)》當前第9頁\共有165頁\編于星期二\14點多自由度系統(tǒng)的振動研究多自由度系統(tǒng)振動的目的：1）求系統(tǒng)的固有頻率；2）了解系統(tǒng)的主振型。2023/6/15《振動力學(xué)》當前第10頁\共有165頁\編于星期二\14點兩自由度系統(tǒng)的振動方程先看幾個例子例1：雙質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，兩質(zhì)量分別受到激振力不計摩擦和其他形式的阻尼試建立系統(tǒng)的運動微分方程m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/動力學(xué)方程2023/6/1511《振動力學(xué)》當前第11頁\共有165頁\編于星期二\14點解：的原點分別取在的靜平衡位置建立坐標：設(shè)某一瞬時：上分別有位移加速度受力分析：P1(t)k1x1k2(x1-x2)m1P2(t)k2(x1-x2)m2k3x2m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/動力學(xué)方程2023/6/1512《振動力學(xué)》當前第12頁\共有165頁\編于星期二\14點建立方程：矩陣形式：力量綱坐標間的耦合項P1(t)k1x1k2(x1-x2)m1P2(t)k2(x1-x2)m2k3x2多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/動力學(xué)方程2023/6/1513《振動力學(xué)》當前第13頁\共有165頁\編于星期二\14點例2：轉(zhuǎn)動運動兩圓盤轉(zhuǎn)動慣量軸的三個段的扭轉(zhuǎn)剛度試建立系統(tǒng)的運動微分方程外力矩多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/動力學(xué)方程2023/6/1514《振動力學(xué)》當前第14頁\共有165頁\編于星期二\14點解：建立坐標：角位移設(shè)某一瞬時：角加速度受力分析：多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/動力學(xué)方程2023/6/1515《振動力學(xué)》當前第15頁\共有165頁\編于星期二\14點建立方程：矩陣形式：坐標間的耦合項多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/動力學(xué)方程2023/6/1516《振動力學(xué)》當前第16頁\共有165頁\編于星期二\14點兩自由度系統(tǒng)的角振動與直線振動在數(shù)學(xué)描述上相同如同在單自由度系統(tǒng)中做過的那樣，在兩自由度系統(tǒng)中也將質(zhì)量、剛度、位移、加速度及力都理解為廣義的。m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/動力學(xué)方程2023/6/1517《振動力學(xué)》當前第17頁\共有165頁\編于星期二\14點小結(jié)：可統(tǒng)一表示為：例1：例2：作用力方程位移向量加速度向量質(zhì)量矩陣剛度矩陣激勵力向量若系統(tǒng)有n個自由度，則各項皆為

n

維多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/動力學(xué)方程2023/6/1518《振動力學(xué)》當前第18頁\共有165頁\編于星期二\14點2023年6月15日《振動力學(xué)》19剛度矩陣和質(zhì)量矩陣當M、K

確定后，系統(tǒng)動力方程可完全確定M、K

該如何確定？作用力方程：先討論M多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/動力學(xué)方程2023/6/1519《振動力學(xué)》當前第19頁\共有165頁\編于星期二\14點使系統(tǒng)只在第j個坐標上產(chǎn)生單位加速度，而在其他坐標上不產(chǎn)生加速度所施加的一組外力，正是質(zhì)量矩陣M的第j列結(jié)論：質(zhì)量矩陣M中的元素是使系統(tǒng)僅在第j個坐標上產(chǎn)生單位加速度而相應(yīng)于第i個坐標上所需施加的力又分別稱為質(zhì)量影響系數(shù)和剛度影響系數(shù)。根據(jù)它們的物理意義可以直接寫出矩陣M

和K，從而建立作用力方程，這種方法稱為影響系數(shù)方法。多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/動力學(xué)方程2023/6/1520《振動力學(xué)》當前第20頁\共有165頁\編于星期二\14點2023年6月15日《振動力學(xué)》21影響系數(shù)法當M、K

確定后，系統(tǒng)動力方程可完全確定M、K

該如何確定？作用力方程：先討論K加速度為零則：假設(shè)外力是以準靜態(tài)方式施加于系統(tǒng)多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/動力學(xué)方程2023/6/1521《振動力學(xué)》當前第21頁\共有165頁\編于星期二\14點使系統(tǒng)只在第j個坐標上產(chǎn)生單位加速度，而在其他坐標上不產(chǎn)生加速度所施加的一組外力，正是質(zhì)量矩陣M的第j列結(jié)論：質(zhì)量矩陣M中的元素是使系統(tǒng)僅在第j個坐標上產(chǎn)生單位加速度而相應(yīng)于第i個坐標上所需施加的力又分別稱為質(zhì)量影響系數(shù)和剛度影響系數(shù)。根據(jù)它們的物理意義可以直接寫出矩陣M

和K，從而建立作用力方程，這種方法稱為影響系數(shù)方法。多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/動力學(xué)方程2023/6/1522《振動力學(xué)》當前第22頁\共有165頁\編于星期二\14點【例3-3】用剛度影響系數(shù)法，建立圖3-6所示的兩自由度系統(tǒng)的運動微分方程?！窘狻坑昧κ官|(zhì)量塊m1從靜平衡位置移動一單位位移，同時用力制住m2不動。這時對m1沿x1正方向施加的是彈簧k1和k2的彈力之和。因位移為1，因此彈力之和為k1+k2，即k11=k1+k2，這時在質(zhì)量塊m2上施加的力的大小等于k2，方向與x1位移的方向相反，即k21=-k2。多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/動力學(xué)方程2023/6/1523《振動力學(xué)》當前第23頁\共有165頁\編于星期二\14點再用力使質(zhì)量塊m2離開靜平衡位置單位位移，同時用力控制住m1不動，得k22=k2+k3，k12=-k2。

將所得剛度影響系數(shù)代入,有整理得多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/動力學(xué)方程2023/6/15《振動力學(xué)》當前第24頁\共有165頁\編于星期二\14點上式即式(3.1)。此式可用矩陣形式表示或式中,分別是系統(tǒng)位移、加速度列陣，M、K分別是系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。從剛度矩陣可知，剛度影響系數(shù)kij

即為剛度矩陣K中一個元素。多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/動力學(xué)方程25《振動力學(xué)》當前第25頁\共有165頁\編于星期二\14點例：雙混合擺，兩剛體質(zhì)量質(zhì)心繞通過自身質(zhì)心的z軸的轉(zhuǎn)動慣量求：以微小轉(zhuǎn)角為坐標，寫出在x-y平面內(nèi)擺動的作用力方程兩剛體質(zhì)量h1C1C2h2lxy多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/動力學(xué)方程2023/6/1526《振動力學(xué)》當前第26頁\共有165頁\編于星期二\14點受力分析h1C1C2h2lxyxy多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/動力學(xué)方程2023/6/1527《振動力學(xué)》當前第27頁\共有165頁\編于星期二\14點解：先求質(zhì)量影響系數(shù)令有：令有：yh1C1C2h2lx多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/動力學(xué)方程2023/6/1528《振動力學(xué)》當前第28頁\共有165頁\編于星期二\14點令有：令有：質(zhì)量矩陣：多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/動力學(xué)方程2023/6/1529《振動力學(xué)》當前第29頁\共有165頁\編于星期二\14點求剛度影響系數(shù)由于恢復(fù)力是重力，所以實際上是求重力影響系數(shù)令有：令有：yh1C1C2h2lx多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/動力學(xué)方程2023/6/1530《振動力學(xué)》當前第30頁\共有165頁\編于星期二\14點令有：令有：剛度矩陣：多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/動力學(xué)方程2023/6/1531《振動力學(xué)》當前第31頁\共有165頁\編于星期二\14點運動微分方程：yh1C1C2h2lx多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/動力學(xué)方程2023/6/1532《振動力學(xué)》當前第32頁\共有165頁\編于星期二\14點例：求：以微小轉(zhuǎn)角為坐標，寫出微擺動的運動學(xué)方程每桿質(zhì)量m桿長度l水平彈簧剛度k彈簧距離固定端akaO1O2多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/動力學(xué)方程2023/6/1533《振動力學(xué)》當前第33頁\共有165頁\編于星期二\14點解：令：則需要在兩桿上施加力矩分別對兩桿O1、O2

求矩：令：則需要在兩桿上施加力矩分別對兩桿O1、O2

求矩：aO1O2aO1O2多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/動力學(xué)方程2023/6/1534《振動力學(xué)》當前第34頁\共有165頁\編于星期二\14點剛度矩陣：aO1O2aO1O2多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/動力學(xué)方程2023/6/1535《振動力學(xué)》當前第35頁\共有165頁\編于星期二\14點令：則需要在兩桿上施加力矩令：則需要在兩桿上施加力矩質(zhì)量矩陣：aO1O2kaO1O2k多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/動力學(xué)方程2023/6/1536《振動力學(xué)》當前第36頁\共有165頁\編于星期二\14點運動學(xué)方程：kaO1O2多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/動力學(xué)方程2023/6/1537《振動力學(xué)》當前第37頁\共有165頁\編于星期二\14點例：兩自由度系統(tǒng)擺長

l，無質(zhì)量，微擺動求：運動微分方程xm1k1k2多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/動力學(xué)方程2023/6/1538《振動力學(xué)》當前第38頁\共有165頁\編于星期二\14點解：先求解剛度矩陣令：令：m1k1k2m1k1k2多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/動力學(xué)方程2023/6/1539《振動力學(xué)》當前第39頁\共有165頁\編于星期二\14點剛度矩陣：多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/動力學(xué)方程2023/6/1540《振動力學(xué)》當前第40頁\共有165頁\編于星期二\14點求解質(zhì)量矩陣令：令：m1k1k2慣性力m1k1k2慣性力多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/動力學(xué)方程2023/6/1541《振動力學(xué)》當前第41頁\共有165頁\編于星期二\14點質(zhì)量矩陣：xm1k1k2剛度矩陣：運動微分方程：多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/動力學(xué)方程2023/6/1542《振動力學(xué)》當前第42頁\共有165頁\編于星期二\14點位移方程和柔度矩陣對于靜定結(jié)構(gòu)，有時通過柔度矩陣建立位移方程比通過剛度矩陣建立作用力方程來得更方便些。柔度定義為彈性體在單位力作用下產(chǎn)生的變形物理意義及量綱與剛度恰好相反以一個例子說明位移方程的建立x1m1x2m2P1P2無質(zhì)量彈性梁，有若干集中質(zhì)量（質(zhì)量連續(xù)分布的彈性梁的簡化）假設(shè)是常力以準靜態(tài)方式作用在梁上梁只產(chǎn)生位移（即撓度），不產(chǎn)生加速度取質(zhì)量的靜平衡位置為坐標的原點多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/動力學(xué)方程2023/6/1543《振動力學(xué)》當前第43頁\共有165頁\編于星期二\14點m1

位移：m2位移：時（1）時（2）m1

位移：m2位移：同時作用（3）m1

位移：m2位移：f11f21P1=1f12f22P2=1x1m1x2m2P1P2多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/動力學(xué)方程2023/6/1544《振動力學(xué)》當前第44頁\共有165頁\編于星期二\14點同時作用時：矩陣形式：其中：柔度矩陣物理意義：系統(tǒng)僅在第j個坐標受到單位力作用時相應(yīng)于第i

個坐標上產(chǎn)生的位移柔度影響系數(shù)f11f21P1=1f12f22P2=1x1m1x2m2P1P2多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/動力學(xué)方程2023/6/1545《振動力學(xué)》當前第45頁\共有165頁\編于星期二\14點當是動載荷時集中質(zhì)量上有慣性力存在位移方程x1m1x2m2P1P2m1m2P1(t)P2(t)多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/動力學(xué)方程2023/6/1546《振動力學(xué)》當前第46頁\共有165頁\編于星期二\14點位移方程：又可：作用力方程：

若K非奇異柔度矩陣與剛度矩陣的關(guān)系：或：多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/動力學(xué)方程2023/6/1547《振動力學(xué)》當前第47頁\共有165頁\編于星期二\14點對于允許剛體運動產(chǎn)生的系統(tǒng)（即具有剛體自由度的系統(tǒng)），柔度矩陣不存在應(yīng)當注意：位移方程不適用于具有剛體自由度的系統(tǒng)m1m2k1k2m3原因：在任意一個坐標上施加單位力，系統(tǒng)將產(chǎn)生剛體運動而無法計算各個坐標上的位移剛度矩陣K奇異多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/動力學(xué)方程2023/6/1548《振動力學(xué)》當前第48頁\共有165頁\編于星期二\14點例：求圖示兩自由度簡支梁橫向振動的位移方程已知梁的抗彎剛度矩陣為x1x2l/3l/3l/3m1m2P1(t)P2(t)多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/動力學(xué)方程2023/6/1549《振動力學(xué)》當前第49頁\共有165頁\編于星期二\14點由材料力學(xué)知，當B點作用有單位力時，A點的撓度為：柔度影響系數(shù)：柔度矩陣：位移方程：x1x2l/3l/3l/3m1m2P1(t)P2(t)labABP=1多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/動力學(xué)方程2023/6/1550《振動力學(xué)》當前第50頁\共有165頁\編于星期二\14點質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正定性質(zhì)n階方陣A

正定并且等號僅在時才成立是指對于任意的

n維列向量y，總有成立如果時，等號也成立，那么稱矩陣A

是半正定的根據(jù)分析力學(xué)的結(jié)論，對于定常約束系統(tǒng)：動能：勢能：多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/動力學(xué)方程2023/6/1551《振動力學(xué)》當前第51頁\共有165頁\編于星期二\14點質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正定性質(zhì)n階方陣A

正定并且等號僅在時才成立是指對于任意的

n維列向量y，總有成立如果時，等號也成立，那么稱矩陣A

是半正定的動能：除非所以，正定即：多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/動力學(xué)方程2023/6/1552《振動力學(xué)》當前第52頁\共有165頁\編于星期二\14點質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正定性質(zhì)n階方陣A

正定并且等號僅在時才成立是指對于任意的

n維列向量y，總有成立如果時，等號也成立，那么稱矩陣A

是半正定的勢能：對于僅具有穩(wěn)定平衡位置的系統(tǒng)，勢能在平衡位置上取極小值V>0當各個位移不全為零時，K正定K>0對于具有隨遇平衡位置的系統(tǒng)，存在剛體位移對于不全為零的位移存在V

＝0K半正定多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/動力學(xué)方程2023/6/1553《振動力學(xué)》當前第53頁\共有165頁\編于星期二\14點振動問題中主要討論K陣正定的系統(tǒng)及K陣半正定的系統(tǒng)，前者稱為正定振動系統(tǒng)，后者稱為半正定振動系統(tǒng)多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/動力學(xué)方程2023/6/1554《振動力學(xué)》當前第54頁\共有165頁\編于星期二\14點2023年6月15日《振動力學(xué)》55教學(xué)內(nèi)容多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度系統(tǒng)的振動2023年6月15日《振動力學(xué)》55兩自由度系統(tǒng)的振動兩自由度系統(tǒng)的振動方程無阻尼系統(tǒng)的自由振動耦合與主坐標無阻尼系統(tǒng)的強迫振動阻尼對強迫振動的影響2023/6/1555《振動力學(xué)》當前第55頁\共有165頁\編于星期二\14點無阻尼系統(tǒng)的自由振動圖3-2示是一兩自由度無阻尼系統(tǒng)的力學(xué)模型。若x1和x2分別為m1和m2的位移，k1、

k2

、k3分別是連接彈簧剛度，則系統(tǒng)的運動方程為多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/無阻尼自由振動2023/6/1556《振動力學(xué)》當前第56頁\共有165頁\編于星期二\14點或其矩陣形式為設(shè)系統(tǒng)每個質(zhì)量作同一頻率的諧振動且同時通過平衡位置,則式中振幅A1、A2，頻率ω和相位角φ為待定常數(shù)。式（3.4）代入（3.2），有多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/無阻尼自由振動2023/6/1557《振動力學(xué)》當前第57頁\共有165頁\編于星期二\14點于是式（3.5）可簡寫為上述方程中A1，A2要有非零解，其充分必要條件為展開后得多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/無阻尼自由振動2023/6/15《振動力學(xué)》當前第58頁\共有165頁\編于星期二\14點上式稱為系統(tǒng)的頻率方程或特征方程。顯然，方程有兩個特征根，即

ω12和ω22是兩個正實根，它們反映系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)（質(zhì)量和彈簧剛度），稱為振動系統(tǒng)的固有頻率。較低的一個稱為一階固有頻率，簡稱基頻；較高的一個稱為二階固有頗率。多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/無阻尼自由振動2023/6/15《振動力學(xué)》當前第59頁\共有165頁\編于星期二\14點分別將ω12

與ω22代回方程（3.6）。由于方程（3.6）的系數(shù)行列式為零，方程中的兩式彼此不獨立。由方程（3.6）不能求得振幅A1與A2的具體數(shù)值。但可將特征值ω12

與ω22

分別代回方程(3.6)中任一式，可求得對應(yīng)于每一固有頻率的振幅比,以μ1和μ2表示，即可見，雖然振幅的大小與初始條件有關(guān),但系統(tǒng)按任一多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/無阻尼自由振動2023/6/15《振動力學(xué)》當前第60頁\共有165頁\編于星期二\14點固有頻率振動時，其振幅比和固有頻率一樣只決定于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)，同時兩個質(zhì)量任一瞬時的位移比值x2/x1也是確定的，等于振幅比。

振幅比決定了整個系統(tǒng)振動形態(tài)，該振動形態(tài)對應(yīng)的圖形稱為主振型(模態(tài)），稱為第i階振型列陣。與ω1對應(yīng)的振幅比μ1，對應(yīng)的主振型稱為一階主振型（主模態(tài)），與ω2對應(yīng)的振幅比μ2，對應(yīng)的主振型稱為二階主振型。將ω1與ω2代入（3.8），得多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/無阻尼自由振動2023/6/15《振動力學(xué)》當前第61頁\共有165頁\編于星期二\14點可見，當系統(tǒng)以頻率ω1振動時，質(zhì)量塊m1、m2總是按同一方向運動，而當系統(tǒng)以頻率ω2

振動時,則兩質(zhì)量按相反的方向運動。系統(tǒng)以某一階固有頻率按其相應(yīng)的主振型振動，稱為系統(tǒng)的主振動。第一階主振動為第二階主振動為多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/無阻尼自由振動2023/6/15《振動力學(xué)》當前第62頁\共有165頁\編于星期二\14點可見系統(tǒng)的每一階主振動，都是具有確定頻率和振型的簡諧振動。

系統(tǒng)在一般情況下的運動即微分方程組（3.2）的通解是（3.10）和（3.11）兩種主振動的疊加，即

在一般情況下，系統(tǒng)的自由振動是兩種不同頻率的主振動的疊加，其結(jié)果不一定是簡諧振動。多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/無阻尼自由振動2023/6/1563《振動力學(xué)》當前第63頁\共有165頁\編于星期二\14點【例3-1】車輛振動在簡單計算中可簡化為一根剛性桿（車體）支承在彈簧（懸掛彈簧或輪胎）上，作上下垂直振動和繞剛性桿質(zhì)心的前后俯仰振動．如圖3-3。設(shè)剛性桿質(zhì)量為m，兩端彈簧剛度為k1、k2,桿質(zhì)心C與彈簧k1、k2

的距離為l1與l2,桿繞過質(zhì)心并垂直于紙面軸的轉(zhuǎn)動慣量為Jc。求此系統(tǒng)的固有頻率，并分析k2l2>k1l1

時的主振型。多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/無阻尼自由振動2023/6/15《振動力學(xué)》當前第64頁\共有165頁\編于星期二\14點【解】以質(zhì)心垂直位移x(向下為正）及桿繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)角θ(順針向為正)為兩個獨立坐標,x的坐標原點取在靜平衡位置，前后彈簧作用在桿上的彈性力如圖3.3(b)。由剛體平面運動方程得整理得記多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/無阻尼自由振動2023/6/15《振動力學(xué)》當前第65頁\共有165頁\編于星期二\14點得系統(tǒng)的固有頻率為振幅比將是角位移θ與垂直位移x的比值。當k2l2>k1l2

時，b>0，c>0,由式(3.8)可知

第一階主振動時，x與θ同時朝正向或同時朝負向運動，而第二階主振動時，x與θ是反向運動。多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/無阻尼自由振動2023/6/15《振動力學(xué)》當前第66頁\共有165頁\編于星期二\14點實際中，振幅比的絕對值，表明兩種振動如以相同的角位移θ作比較，第一階主振動的質(zhì)心位移遠大于第二階主振動的質(zhì)心位移，也就是第一階主振動以上下垂直振動為主，其振型如圖3-4（a），第二階主振動以桿繞質(zhì)心軸的俯仰振動為主，其主振動如圖3-4(b)。多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/無阻尼自由振動2023/6/1567《振動力學(xué)》當前第67頁\共有165頁\編于星期二\14點2023年6月15日《振動力學(xué)》682023年6月15日《振動力學(xué)》68教學(xué)內(nèi)容2023年6月15日《振動力學(xué)》68兩自由度系統(tǒng)的振動兩自由度系統(tǒng)的振動方程無阻尼系統(tǒng)的自由振動耦合與主坐標無阻尼系統(tǒng)的強迫振動阻尼對強迫振動的影響多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/耦合與主坐標2023/6/1568《振動力學(xué)》當前第68頁\共有165頁\編于星期二\14點耦合與主坐標一般情況下兩自由度系統(tǒng)振動方程如(3.2)，每個方程式中往往都有耦合項。這種坐標x1和x2之間有耦合的情況稱為靜力耦合或彈性耦合。

在例3-1中，若以彈簧支承處的位移x1與x2為獨立坐標來建立振動方程，x1、x2與x、θ關(guān)系如下：

轉(zhuǎn)換后得多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/耦合與主坐標2023/6/15《振動力學(xué)》當前第69頁\共有165頁\編于星期二\14點將上式代入剛體平面運動微分方程有整理得多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/耦合與主坐標2023/6/15《振動力學(xué)》當前第70頁\共有165頁\編于星期二\14點上面的方程中不僅坐標x1和x2有耦合，而且加速度的項也有耦合，這種加速度之間有耦合的情況，稱為動力耦合或慣性耦合。選取坐標使振動方程組中的耦合項全等于零（既無靜力耦合，又無動力耦合），是系統(tǒng)相當于兩個單自由度系統(tǒng)，這時的坐標就稱為主坐標。

選取不同的獨立坐標時，雖然振動方程形式不同，但坐標的轉(zhuǎn)換并不影響固有頻率的計算結(jié)果。多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/耦合與主坐標2023/6/15《振動力學(xué)》當前第71頁\共有165頁\編于星期二\14點在例3-1中，是以x與θ

為兩個獨立坐標。如果k1l1=k2l2,則b=c=0，則式(3.2)中的耦合項均為零，簡化成

相當于兩單自由度系統(tǒng)各自獨立作不同固有頻率的主振動:這時x與θ

就是主坐標。多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/耦合與主坐標2023/6/1572《振動力學(xué)》當前第72頁\共有165頁\編于星期二\14點【例3-2】長為l質(zhì)量為m的兩個相同的單擺。用剛度為k的彈簧相連，如圖3-5(a)。設(shè)彈簧原長為AB，桿重不計，試分析兩擺在圖示平面內(nèi)作微振動時的固有頻率和主振型。【解】取兩擺離開鉛垂平衡的角位移θ1與θ2為獨立坐標，以逆時針方向為正。任一瞬時位置，兩個擺上所受的力如圖3-5(b)。系統(tǒng)作微振動時，其運動微分方程為多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/耦合與主坐標2023/6/15《振動力學(xué)》當前第73頁\共有165頁\編于星期二\14點或此方程組與式(3.1)形式相同，頻率方程為固有頻率為多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/耦合與主坐標2023/6/15《振動力學(xué)》當前第74頁\共有165頁\編于星期二\14點相應(yīng)有將(a)式兩個方程相加和相減后得一組新的方程：取ψ1=θ1+θ2，ψ2=θ1-θ2上列方程可轉(zhuǎn)換為或多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/耦合與主坐標2023/6/15《振動力學(xué)》當前第75頁\共有165頁\編于星期二\14點2023年6月15日《振動力學(xué)》762023年6月15日《振動力學(xué)》762023年6月15日《振動力學(xué)》762023年6月15日《振動力學(xué)》762023年6月15日《振動力學(xué)》76作業(yè)第94頁3.1,3.2多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度系統(tǒng)的振動2023/6/1576《振動力學(xué)》當前第76頁\共有165頁\編于星期二\14點2023年6月15日《振動力學(xué)》772023年6月15日《振動力學(xué)》77教學(xué)內(nèi)容2023年6月15日《振動力學(xué)》77兩自由度系統(tǒng)的振動兩自由度系統(tǒng)的振動方程無阻尼系統(tǒng)的自由振動耦合與主坐標無阻尼系統(tǒng)的強迫振動阻尼對強迫振動的影響多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度系統(tǒng)的振動2023/6/1577《振動力學(xué)》當前第77頁\共有165頁\編于星期二\14點3.無阻尼系統(tǒng)的強迫振動如圖3-7，設(shè)兩質(zhì)量是分別在簡諧激振力F1sinωt和F2sinωt作用下運動。系統(tǒng)強迫振動方程多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/無阻尼強迫振動2023/6/15當前第78頁\共有165頁\編于星期二\14點方程（3.16）寫為由于阻尼的存在，其齊次方程解在一段時間以后就逐漸衰減掉。非齊次的特解則是穩(wěn)態(tài)階段的等幅振動，系統(tǒng)按與激振力相同的頻率ω作強迫振動。設(shè)其解為式中振幅B1、B2為待定常數(shù)，代入式（3.17），有多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/無阻尼強迫振動2023/6/1579《振動力學(xué)》當前第79頁\共有165頁\編于星期二\14點則系數(shù)行列式為式中ω1、ω2為系統(tǒng)的兩個固有頻率。有將B1、B2代回得系統(tǒng)在激振力作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，是與激振力的頻率相同的簡諧振動。其振幅不僅多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/無阻尼強迫振動2023/6/15《振動力學(xué)》當前第80頁\共有165頁\編于星期二\14點取決于激振力的振幅F1與F2，特別與系統(tǒng)的固有頻率和激振頻率之比有較大關(guān)系。當激振頻率ω等于ω1或ω2時，系統(tǒng)振幅無限增大，即為共振。兩自由度系統(tǒng)的強迫振動有兩個共振頗率。

兩質(zhì)量的振幅比為

可見在一定激振力的幅值和頻率下，振幅比是定值，也就是說系統(tǒng)具有一定的振型。當激振頻率等于第一階固有頻率ω1時，振幅比為多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/無阻尼強迫振動2023/6/15《振動力學(xué)》當前第81頁\共有165頁\編于星期二\14點可進一步得表明系統(tǒng)在任一共振頻率下的振型就是相應(yīng)的主振型。其振幅頻率響應(yīng)曲線，同單自由度強迫振動一樣，可用頻率比作橫坐標，振幅作縱坐標畫出。多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/無阻尼強迫振動2023/6/15《振動力學(xué)》當前第82頁\共有165頁\編于星期二\14點【例3-4】在圖3-7系統(tǒng)，已知m1=m,m2=2m,k1=k2=k,k3=2k。在質(zhì)量m1上作用一激振力F1sinωt,而F2=0。(1)求系統(tǒng)的響應(yīng)；（2）計算共振時振幅比；（3）作振幅頻率響應(yīng)曲線。多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/無阻尼強迫振動2023/6/15《振動力學(xué)》當前第83頁\共有165頁\編于星期二\14點【解】由式（3-17）可寫出強迫振動微分方程為其中由方程（a）對應(yīng)的齊次方程求得系統(tǒng)的兩個固有頻率為（1）系統(tǒng)的響應(yīng)多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/無阻尼強迫振動2023/6/15《振動力學(xué)》當前第84頁\共有165頁\編于星期二\14點于是系統(tǒng)的響應(yīng)為（2）共振時的振幅比當多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/無阻尼強迫振動2023/6/1585《振動力學(xué)》當前第85頁\共有165頁\編于星期二\14點（3）幅頻響應(yīng)曲線將振幅改寫為以ω/ω1為橫坐標,B1、B2為縱坐標，分別作出質(zhì)量塊m1與m2

的幅頻響應(yīng)曲線如圖3-8(a),(b)。多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/無阻尼強迫振動2023/6/1586《振動力學(xué)》當前第86頁\共有165頁\編于星期二\14點從上圖可以看到，當時，出現(xiàn)共振，且有兩次共振。每次共振時，兩個質(zhì)量塊的振幅同時達到最大值。當

時兩個質(zhì)量塊運動方向是相同的，而在時兩個質(zhì)量塊運動方向是相反的。當ω>>ω2時兩個質(zhì)量塊的振幅都非常小而趨于零。而當時,B1=0,即在激振頻率

時，第一質(zhì)量靜止不動，這種現(xiàn)象通常稱為反共振。多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/無阻尼強迫振動2023/6/1587《振動力學(xué)》當前第87頁\共有165頁\編于星期二\14點2023年6月15日《振動力學(xué)》882023年6月15日《振動力學(xué)》88教學(xué)內(nèi)容2023年6月15日《振動力學(xué)》88兩自由度系統(tǒng)的振動兩自由度系統(tǒng)的振動方程無阻尼系統(tǒng)的自由振動耦合與主坐標無阻尼系統(tǒng)的強迫振動阻尼對強迫振動的影響多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/阻尼強迫振動2023/6/1588《振動力學(xué)》當前第88頁\共有165頁\編于星期二\14點4.阻尼對強迫振動的影響下面以圖3-9兩自由系統(tǒng)為例說明阻尼對強迫振動的影響。該系統(tǒng)是在動力減振器的兩個質(zhì)量之間加上一個阻尼器而成，稱為阻尼減振器。系統(tǒng)的振動方程為多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/阻尼強迫振動2023/6/15《振動力學(xué)》當前第89頁\共有165頁\編于星期二\14點用復(fù)數(shù)解上述耦合聯(lián)立微分方程。以F1eiωt

表（3.22）第一式右邊的激振力。

兩自由度系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是與激振力同頻率的，但因阻尼響應(yīng)落后于激振力一相位角。設(shè)其解形式：得可解出B1、B2

。多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/阻尼強迫振動2023/6/1590《振動力學(xué)》當前第90頁\共有165頁\編于星期二\14點為討論阻尼對主質(zhì)量m1強迫振動的影響，計算B1。有多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/阻尼強迫振動2023/6/1591《振動力學(xué)》當前第91頁\共有165頁\編于星期二\14點令則無量綱形式可見振幅B1

是4個參數(shù)μ、a、ζ、λ

的函數(shù)。μ、a是已知的，B1/δ為ζ和λ的函數(shù)。多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/阻尼強迫振動2023/6/1592《振動力學(xué)》當前第92頁\共有165頁\編于星期二\14點圖3-10表μ=1/20，a=1的阻尼減振器，在不同的阻尼ζ下，主質(zhì)量振幅的動力放大系數(shù)B1/δ隨頻率比λ=ω/ω01變化的幅頻響應(yīng)曲線。當ζ=0,即為無阻尼強迫振動情況，變?yōu)楫敠?0.895，1.12時為兩個共振頻率多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/阻尼強迫振動2023/6/1593《振動力學(xué)》當前第93頁\共有165頁\編于星期二\14點當ζ=∞，m1和m2間無相對運動，系統(tǒng)變?yōu)閮H一個質(zhì)量m1+m2和躺會k1組成的單自由度系統(tǒng)。共振頻率多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/阻尼強迫振動2023/6/1594《振動力學(xué)》當前第94頁\共有165頁\編于星期二\14點2023年6月15日《振動力學(xué)》95圖3.10為ζ=0.1和ζ=0.32的兩條響應(yīng)曲線，表明阻尼使共振幅顯著減小.且相同阻尼下,頻率高的那個共振振幅降低的程度比頻率低的那個大。

在激振頻率ω<<ω1

或ω>>ω2的范圍內(nèi)，阻尼的影響是很小的，且所有的響應(yīng)曲線都通過S和T兩點。多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/阻尼強迫振動2023/6/1595《振動力學(xué)》當前第95頁\共有165頁\編于星期二\14點2023年6月15日《振動力學(xué)》962023年6月15日《振動力學(xué)》962023年6月15日《振動力學(xué)》962023年6月15日《振動力學(xué)》962023年6月15日《振動力學(xué)》962023年6月15日《振動力學(xué)》96作業(yè)第94頁3.4第94頁3.6多自由度系統(tǒng)的振動/兩自由度振動系統(tǒng)/阻尼強迫振動2023/6/1596《振動力學(xué)》當前第96頁\共有165頁\編于星期二\14點2023年6月15日《振動力學(xué)》97教學(xué)內(nèi)容多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)2023年6月15日《振動力學(xué)》97教學(xué)內(nèi)容兩自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法2023/6/1597《振動力學(xué)》當前第97頁\共有165頁\編于星期二\14點2023年6月15日《振動力學(xué)》982023年6月15日《振動力學(xué)》982023年6月15日《振動力學(xué)》98教學(xué)內(nèi)容多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/振動方程2023年6月15日《振動力學(xué)》98多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動方程無阻尼系統(tǒng)的自由振動主坐標與正則坐標無阻尼系統(tǒng)的多初始條件的響應(yīng)多自由度系統(tǒng)中的阻尼系統(tǒng)對激勵的響應(yīng)2023/6/1598《振動力學(xué)》當前第98頁\共有165頁\編于星期二\14點多自由度系統(tǒng)振動方程

牛頓定律影響系數(shù)法拉格朗日法多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/振動方程2023/6/1599《振動力學(xué)》當前第99頁\共有165頁\編于星期二\14點如圖3-11（a），一個由n個質(zhì)量,n個彈簧和n個阻尼器組成的鏈式平動系統(tǒng)，第i個質(zhì)量受力如圖3-11（b）由牛頓定律，得第i個質(zhì)量塊的運動方程多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/振動方程2023/6/15100《振動力學(xué)》當前第100頁\共有165頁\編于星期二\14點矩陣形式為：其中

多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/振動方程2023/6/15101《振動力學(xué)》當前第101頁\共有165頁\編于星期二\14點2023年6月15日《振動力學(xué)》102振動方程的一些規(guī)律：（1）各質(zhì)量塊靜平衡位置作坐標原點，質(zhì)量陣為對角陣。（2）剛度陣的第i個主對角元為（即連接質(zhì)量塊mi的彈簧剛度之和），剛度陣的非主對角元kij

為（即連接質(zhì)量塊mi和mj的彈簧剛度之和）。（3）阻尼陣和剛度陣規(guī)律相同。對于多自由度系統(tǒng),可直接用上述“觀察”法給出多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/振動方程2023/6/15102《振動力學(xué)》當前第102頁\共有165頁\編于星期二\14點【例3-5】試寫圖3-12示系統(tǒng)的振動方程。【解】多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/振動方程2023/6/15103《振動力學(xué)》當前第103頁\共有165頁\編于星期二\14點2023年6月15日《振動力學(xué)》1042023年6月15日《振動力學(xué)》1042023年6月15日《振動力學(xué)》1042023年6月15日《振動力學(xué)》104教學(xué)內(nèi)容多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/無阻尼自由振動2023年6月15日《振動力學(xué)》104多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動方程無阻尼系統(tǒng)的自由振動主坐標與正則坐標無阻尼系統(tǒng)的多初始條件的響應(yīng)多自由度系統(tǒng)中的阻尼系統(tǒng)對激勵的響應(yīng)2023/6/15104《振動力學(xué)》當前第104頁\共有165頁\編于星期二\14點2023年6月15日《振動力學(xué)》105無阻尼系統(tǒng)的自由振動無阻尼情況下，多自由度系統(tǒng)自由振動方程為

寫為一般情況，則有(3.29)設(shè)（3.29）解為，則多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/無阻尼自由振動2023/6/15105《振動力學(xué)》當前第105頁\共有165頁\編于星期二\14點2023年6月15日《振動力學(xué)》106或式中，稱為系統(tǒng)的特征矩陣。其系數(shù)矩陣的行列式稱為特征行列式。方程稱為系統(tǒng)的特征方程或頻率方程。由固有頻率多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/無阻尼自由振動2023/6/15106《振動力學(xué)》當前第106頁\共有165頁\編于星期二\14點展開（3-32）得ω2的n次代數(shù)方程解（3.33），得ω2的n個根（即特征值）；其算術(shù)平方根ω1,ω2,...,ωn

為系統(tǒng)的固有頻率。對正定系統(tǒng)，n個固有頻率通常互不相等(注意意義）；將ωj代入（3.31），不能求出各振幅值，但可得方程組：多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/無阻尼自由振動2023/6/15107《振動力學(xué)》當前第107頁\共有165頁\編于星期二\14點求解A1,A2,…,An-1

，得各Ai值(i=1,2,…,n-1)與An比值，得對應(yīng)于固有頻率ωj的n個振幅值A(chǔ)1(j),A2(j),…,An(j)

間的比例關(guān)系，稱為振幅比。

表明系統(tǒng)按第j階固有頻率ωj作簡諧振動時，各振幅值A(chǔ)1(j),A2(j),…,An(j)

間具有確定的相對比值，或者說多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/無阻尼自由振動2023/6/15108當前第108頁\共有165頁\編于星期二\14點系統(tǒng)有一定的振動形態(tài)，該振動形態(tài)對應(yīng)的圖形稱為主振型（主模態(tài)）。將各ωi及Ai(j)(i,j=1,2,…,n)代回(3.30)，得n組特解，將這n組特解相加，得系統(tǒng)自由振動的一般解:

(3.35)包含2n個待定常數(shù),除φ1,φ2

,…,φn

外，還有n個振幅值，如可取為An(1),An(2),…,An(n)

。2n個待定常數(shù)由系統(tǒng)初始條件決定。多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/無阻尼自由振動2023/6/15《振動力學(xué)》當前第109頁\共有165頁\編于星期二\14點在某一特殊的初始條件下，使待定常數(shù)中僅An(1)≠0，而其他An(2)=An(3)=…=An(n)=0因而與An(j)(j=2,3,…,n)成正比的Ai(2)=Ai(3)=…=Ai(n)=0(i=1,2,…,n-1),則（3.35）所表示的運動方程只保留第一項，即：多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/無阻尼自由振動2023/6/15《振動力學(xué)》當前第110頁\共有165頁\編于星期二\14點表明：（1）系統(tǒng)中各質(zhì)量塊以相同頻率ω1和相位φ1作簡諧

運動；（2）各質(zhì)量塊任一瞬時滿足

可見，完全描述了系統(tǒng)振動形態(tài)，稱一階主振型列陣，對應(yīng)的圖形稱為一階主振型。由描述的系統(tǒng)運動，稱為一階主振動多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/無阻尼自由振動2023/6/15111《振動力學(xué)》當前第111頁\共有165頁\編于星期二\14點同樣有二階、三階、…n階主振型和二階、三階、…n階主振動。以A(j)的n個幅值A(chǔ)1(j),A2(j),…,An(j)為元素組成列陣A(j),稱為第j階主振型列陣，即n自由度系統(tǒng)，有n個固有頻率、n個主振型。多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/無阻尼自由振動2023/6/15112《振動力學(xué)》當前第112頁\共有165頁\編于星期二\14點[例3.6]在下圖所示的三自由度系統(tǒng)中，設(shè)求此系統(tǒng)的固有頻率和主振型。多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/無阻尼自由振動2023/6/15《振動力學(xué)》當前第113頁\共有165頁\編于星期二\14點【解】取質(zhì)量塊偏離平衡位置的位移為廣義坐標，系統(tǒng)質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K為系統(tǒng)自由振動微分方程為令其解為多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/無阻尼自由振動2023/6/15114《振動力學(xué)》當前第114頁\共有165頁\編于星期二\14點得特征方程為整理有求得多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/無阻尼自由振動2023/6/15115《振動力學(xué)》當前第115頁\共有165頁\編于星期二\14點將代入（a）中第一、二式，并取，可得再將代入（a）中第一、二式，并取

可得3個主振型列陣各主振型如圖3.13（b）（c）（d）。（注意節(jié)點概念）多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/無阻尼自由振動2023/6/15116《振動力學(xué)》當前第116頁\共有165頁\編于星期二\14點2023年6月15日《振動力學(xué)》1172023年6月15日《振動力學(xué)》1172023年6月15日《振動力學(xué)》1172023年6月15日《振動力學(xué)》1172023年6月15日《振動力學(xué)》117教學(xué)內(nèi)容多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/主坐標與正則坐標2023年6月15日《振動力學(xué)》117多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動方程無阻尼系統(tǒng)的自由振動主坐標與正則坐標無阻尼系統(tǒng)的多初始條件的響應(yīng)多自由度系統(tǒng)中的阻尼系統(tǒng)對激勵的響應(yīng)2023/6/15117《振動力學(xué)》當前第117頁\共有165頁\編于星期二\14點2.主坐標和正則坐標（1）主振型的正交性n自由度的系統(tǒng)具有n個固有頻率及n組主振型

,兩組主振型之間關(guān)系如何？？固有頻率ωi及ωj的主振型A(i)及A(j)滿足：多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/主坐標與正則坐標2023/6/15118《振動力學(xué)》當前第118頁\共有165頁\編于星期二\14點式（3.38）左,（3.39）兩端轉(zhuǎn)置后右乘得（3.40）-（3.41）得當有代入（3.40）得多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/主坐標與正則坐標2023/6/15119《振動力學(xué)》當前第119頁\共有165頁\編于星期二\14點表明：不同固有頻率的兩主振型，關(guān)于質(zhì)量陣M正交，也關(guān)于剛度陣正交，統(tǒng)稱主振型的正交性。

式（3.38）左乘得因質(zhì)量陣正定，設(shè)

為一正數(shù)，稱為第i階主質(zhì)量。對正定系統(tǒng)，剛度陣K正定，令多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/主坐標與正則坐標2023/6/15120《振動力學(xué)》當前第120頁\共有165頁\編于星期二\14點多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/主坐標與正則坐標也為一正數(shù)，稱為第i階主剛度。由式（3.44）得即第i階特征值等于第i階主剛度與第i階主質(zhì)量之比。關(guān)于正交性總結(jié)如下：2023/6/15121《振動力學(xué)》當前第121頁\共有165頁\編于星期二\14點（2）振型矩陣及正則振型矩陣將各階主振型列陣，依序排成構(gòu)成一個階矩陣

，稱為振型矩陣（模態(tài)矩陣）則

為對角陣，稱為主質(zhì)量陣多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/主坐標與正則坐標2023/6/15122《振動力學(xué)》當前第122頁\共有165頁\編于星期二\14點同樣,

也是對角陣，稱為主剛度陣多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/主坐標與正則坐標2023/6/15123《振動力學(xué)》當前第123頁\共有165頁\編于星期二\14點對每一階主振動，定義滿足下列條件的主振型，用列陣表示，使稱為第i階正則振型（振型列陣）。則由正交性有多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/主坐標與正則坐標2023/6/15124《振動力學(xué)》當前第124頁\共有165頁\編于星期二\14點將各階正則振型列陣依次排列，構(gòu)成的振型矩陣，稱為正則振型陣（正則模態(tài)陣）。這時的主質(zhì)量陣、主剛度陣稱為正則質(zhì)量矩陣MN，正則剛度陣KN,顯然多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/主坐標與正則坐標2023/6/15125《振動力學(xué)》當前第125頁\共有165頁\編于星期二\14點可見：第i階正則剛度等于第i階固有頻率的平方；多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/主坐標與正則坐標2023/6/15126《振動力學(xué)》當前第126頁\共有165頁\編于星期二\14點【例3.7】由例3.6的結(jié)果，求振型矩陣及與它對應(yīng)的主質(zhì)量陣、主剛度陣，并求正則振型陣及正則剛度陣?！窘狻坷?.6中已求出各階主振型為振型矩陣為多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/主坐標與正則坐標2023/6/15127《振動力學(xué)》當前第127頁\共有165頁\編于星期二\14點主質(zhì)量矩陣

主剛度矩陣多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/主坐標與正則坐標2023/6/15128《振動力學(xué)》當前第128頁\共有165頁\編于星期二\14點由得各正則振型列陣：

正則振型陣為多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/主坐標與正則坐標2023/6/15129《振動力學(xué)》當前第129頁\共有165頁\編于星期二\14點正則剛度陣

多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/主坐標與正則坐標2023/6/15130《振動力學(xué)》當前第130頁\共有165頁\編于星期二\14點（3）主坐標和正則坐標n自由度系統(tǒng)自由振動方程為通常M、K非對角矩陣，上式為耦合方程。用振型陣AP

,可使M、K變成對角形式的主質(zhì)量陣Mp和主剛度陣Kp。用振型矩陣AP，將原坐標x變成一組新坐標xp

,即定義則有多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/主坐標與正則坐標2023/6/15《振動力學(xué)》當前第131頁\共有165頁\編于星期二\14點兩邊同左乘ATP,

因主質(zhì)量陣Mp和主剛度陣Kp都是對角矩陣，則有（3.61）所描述的系統(tǒng)各方程互不耦合。新坐標xp稱為主坐標，（3.59）稱為主坐標變換式(坐標的模態(tài)變換）?？梢?，（3.61）中每一方程可單自由度系統(tǒng)的方法求解。

將（3.59）兩邊左乘ATPM得多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/主坐標與正則坐標2023/6/15132《振動力學(xué)》當前第132頁\共有165頁\編于星期二\14點正則振型是一組特定主振型，也可用正則振型陣AN進行坐標變換，即令坐標列陣xN各元素稱為正則坐標，（3.63）稱為正則變換式。得可見，用正則坐標描述系統(tǒng)振動，可使方程形式更簡單。根據(jù)式（3.62），正則坐標xN的表達式多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/主坐標與正則坐標2023/6/15133《振動力學(xué)》當前第133頁\共有165頁\編于星期二\14點2023年6月15日《振動力學(xué)》1342023年6月15日《振動力學(xué)》1342023年6月15日《振動力學(xué)》1342023年6月15日《振動力學(xué)》1342023年6月15日《振動力學(xué)》1342023年6月15日《振動力學(xué)》1342023年6月15日《振動力學(xué)》134作業(yè)第94頁3.9第94頁3.11多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/主坐標與正則坐標2023/6/15134《振動力學(xué)》當前第134頁\共有165頁\編于星期二\14點2023年6月15日《振動力學(xué)》1352023年6月15日《振動力學(xué)》1352023年6月15日《振動力學(xué)》1352023年6月15日《振動力學(xué)》1352023年6月15日《振動力學(xué)》1352023年6月15日《振動力學(xué)》135教學(xué)內(nèi)容多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/初始條件響應(yīng)2023年6月15日《振動力學(xué)》135多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動方程無阻尼系統(tǒng)的自由振動主坐標與正則坐標無阻尼系統(tǒng)的對初始條件的響應(yīng)多自由度系統(tǒng)中的阻尼系統(tǒng)對激勵的響應(yīng)2023/6/15135《振動力學(xué)》當前第135頁\共有165頁\編于星期二\14點

3.無阻尼系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)對n自由度系統(tǒng)，選廣義坐標，設(shè)t=0時，該廣義坐標下的位移與速度初值為和。

用振型疊加法求系統(tǒng)對此初始條件的響應(yīng)。在求出系統(tǒng)固有頻率和主振型、正則振型后，用（3.63）進行坐標變換，得正則坐標表示的自由振動方程（3.64）。對正定系統(tǒng)，由（3.64）得正則坐標下的一般解多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/初始條件響應(yīng)2023/6/15136《振動力學(xué)》當前第136頁\共有165頁\編于星期二\14點正則坐標（位移）及正則速度初值計算如下：由（3.66）計算出各XNi后，再由得系統(tǒng)響應(yīng)。多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/初始條件響應(yīng)2023/6/15137《振動力學(xué)》當前第137頁\共有165頁\編于星期二\14點

或可見，系統(tǒng)響應(yīng)是由各階振型按一定比例疊加得到的。多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/初始條件響應(yīng)2023/6/15138《振動力學(xué)》當前第138頁\共有165頁\編于星期二\14點

【例3.8】在圖3.14的系統(tǒng)中，令初始條件為.求系統(tǒng)的響應(yīng)?！窘狻肯到y(tǒng)振動方程為多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/初始條件響應(yīng)2023/6/15139《振動力學(xué)》當前第139頁\共有165頁\編于星期二\14點設(shè)（a）的解為將（b）代入（a），得特征矩陣為多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/初始條件響應(yīng)2023/6/15140《振動力學(xué)》當前第140頁\共有165頁\編于星期二\14點特征方程為解得相應(yīng)地有將3特征值分別代入（c），并對第一個元標準化，即令，得3個振型列陣為多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/初始條件響應(yīng)2023/6/15141《振動力學(xué)》當前第141頁\共有165頁\編于星期二\14點

振型陣為主質(zhì)量陣為多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/初始條件響應(yīng)2023/6/15142《振動力學(xué)》當前第142頁\共有165頁\編于星期二\14點由得各正則振型列陣為正則振型陣為多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/初始條件響應(yīng)2023/6/15143《振動力學(xué)》當前第143頁\共有165頁\編于星期二\14點正則坐標（位移）及正則速度初值為由多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/初始條件響應(yīng)2023/6/15144《振動力學(xué)》當前第144頁\共有165頁\編于星期二\14點用原坐標表示的響應(yīng)為多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/初始條件響應(yīng)2023/6/15145《振動力學(xué)》當前第145頁\共有165頁\編于星期二\14點2023年6月15日《振動力學(xué)》1462023年6月15日《振動力學(xué)》1462023年6月15日《振動力學(xué)》1462023年6月15日《振動力學(xué)》1462023年6月15日《振動力學(xué)》1462023年6月15日《振動力學(xué)》1462023年6月15日《振動力學(xué)》1462023年6月15日《振動力學(xué)》146作業(yè)第95頁3.12多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/初始條件響應(yīng)2023/6/15146《振動力學(xué)》當前第146頁\共有165頁\編于星期二\14點2023年6月15日《振動力學(xué)》1472023年6月15日《振動力學(xué)》1472023年6月15日《振動力學(xué)》1472023年6月15日《振動力學(xué)》1472023年6月15日《振動力學(xué)》1472023年6月15日《振動力學(xué)》147教學(xué)內(nèi)容多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/阻尼影響2023年6月15日《振動力學(xué)》147多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動方程無阻尼系統(tǒng)的自由振動主坐標與正則坐標無阻尼系統(tǒng)的多初始條件的響應(yīng)多自由度系統(tǒng)中的阻尼系統(tǒng)對激勵的響應(yīng)2023/6/15147《振動力學(xué)》當前第147頁\共有165頁\編于星期二\14點多自由度系統(tǒng)的振動/多自由度振動系統(tǒng)/阻尼影響4.多自由度系統(tǒng)中的阻尼振動中，常將阻尼力簡化為黏性阻尼力，其多自由度系統(tǒng)振動方程C是阻尼陣，為正定或半正定對稱陣，P是激勵力列陣。引入正則坐標xN得兩邊左乘ANT得2023/6/15148《振動力學(xué)》當前第148頁\共有165頁\編于星期二\1