1.4.2 充要條件-高中數(shù)學人教A版必修一 課件（共22張PPT）

第一章

集合與常用邏輯用語1.4

充分條件與必要條件1.4.2

充要條件學習目標：(1)了解“充分條件”、“必要條件”及“充要條件”．(2)通過對條件與結(jié)論的研究與判斷，培養(yǎng)思維能力.重點：對“充分條件”、“必要條件”及“充要條件”的理解．?難點：“充分條件”、“必要條件”、“充要條件”的判定．思考：下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題與它們的逆命題都是真命題？（1）若兩個三角形的兩角和其中一角所對的邊分別相等，則這兩個三角形全等；（2）若兩個三角形全等，則這兩個三角形的周長相等；（3）若一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則；（4）若是空集，則A與B均是空集.上述命題中的（1），（4）和它們的逆命題都是真命題；命題（2）是真命題，但它的逆命題是假命題；命題（3）是假命題，但它的逆命題是真命題.如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有，又有，就記作：此時，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們說p是q的充分必要條件，簡稱為充要條件.顯然，如果p是q的充要條件，那么q也是p的的充要條件.充分不必要條件必要不充分條件既不充分也不必要條件充要條件從邏輯推理關(guān)系看充分條件、必要條件:（1）A

B且B

A，則A是B的（2）A

B且B

A，則A是B的（3）A

B且B

A，則A是B的（4）A

B且B

A，則A是B的例1.下列各題中，哪些p是q的充要條件？（1）p：四邊形是正方形，q：四邊形的對角線互相垂直且平分；解：（1）因為對角線互相垂直且平分的四邊形不一定是正方形，所以qp，從而p不是q的充要條件.例1.下列各題中，哪些p是q的充要條件？（2）p：兩個三角形相似，q：兩個三角形的三邊成比例；解：（2）因為若p則q是相似三角形的性質(zhì)定理，若q則p是相似三角形的判定定理，所以它們均為真命題，所以pq，從而p是q的充要條件.例1.下列各題中，哪些p是q的充要條件？解：（3）因為xy>0時，

x>0,y>0不一定成立，所以pq，從而p不是q的充要條件.（3）p：xy>0

，q：x>0,y>0；例1.下列各題中，哪些p是q的充要條件？（4）p：是一元二次方程的一個根，q：.解：（4）因為若p則q，若q則p均為真命題，所以pq，從而p是q的充要條件.練習：用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空：

(1)“(x-2)(x-3)=0”是“x=2”的＿＿＿＿＿＿條件.(2)“同位角相等”是“兩直線平行”的＿＿＿條件.(3)“x=3”是“x2=9”的＿＿＿＿＿＿條件.(4)“四邊形的對角線相等”是“四邊形為平行四邊形”的＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿條件.充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要例2.

已知:⊙O的半徑為r,圓心O到直線l的距離為d.求證:d=r是直線l與⊙O相切的充要條件.PQO證明：如圖，作于點P，則OP=d.若d=r，則點P在⊙上.在直線上任取一點Q(異于點P)，連接OQ.(1)充分性(p

q)：所以，除點P外直線上的點都在⊙的外部，即直線與⊙僅有一個公共點P.所以直線與⊙相切.在

中，OQ>OP=r.若直線與⊙相切，不妨設(shè)切點為P，則,d=OP=r.(2)必要性(qp)：所以，d=r是直線l與⊙O相切的充要條件.1:下列命題中,p是q的充分條件的是_____________.①p:a+b=0,q:a2+b2=0;②p:x>5,q:x>3;③p:四邊形是矩形;q:四邊形對角線相等;課堂鞏固練習②③解析:①∵a+b=0?a2+b2=0,即p?q,∴p不是q的充分條件.②∵x>5?x>3,即p?q,∴p是q的充分條件.③∵四邊形是矩形?對角線相等,即p?q,∴p是q的充分條件.2.指出下列條件中,p是q的什么條件,q是p的什么條件.(1)p:∠C=90°;q:三角形ABC是直角三角形;(2)p:A∩B=A;q:AB.解:(1)∵∠C=90°?△ABC為直角三角形.∴p?q.∵△ABC是直角三角形,也可能∠B=90°,∴q

p.∵p是q的充分不必要條件,q是p的必要不充分條件.(2)∵A∩B=A?A?B,∴p

q.又AB?A∩B=A,∴q?p.∴p是q的必要不充分條件,q是p的充分不必要條件.3.已知a,b是實數(shù),求證:a4-b4-2b2=1成立的充分條件是a2-b2=1.該條件是否是必要條件?證明你的結(jié)論.證明:若a2-b2=1,則a4-b4-2b2=(a2+b2)(a2-b2)-2b2=a2+b2-2b2=a2-b2=1.∴a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的充分條件.a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的必要條件,證明如下:若a4-b4-2b2=1,則a4-b4-2b2-1=0,即a4-(b2+1)2=0,∴(a2+b2+1)(a2-b2-1)=0.∵a2+b2+1≠0,∴a2-b2=1.∴a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的必要條件.課堂小結(jié)1.充要條件：既有，又有，則：p是q的充要條件.充分不必要條件必要不充分條件既不充分也不必要條件充要條件2.從