《大學(xué)物理學(xué)》第15章 量子物理

第十五章量子物理§15-1黑體輻射和普朗克能量子假設(shè)15-1-1黑體輻射熱輻射：物體內(nèi)的分子、原子受到熱激發(fā)而產(chǎn)生電磁輻射的現(xiàn)象。任何物體在任何溫度下都會產(chǎn)生熱輻射單色輻出度（Mλ

）：從物體表面單位面積上發(fā)射出的波長介于

與

之間的輻射功率與的比值。輻出度（M

）：物體表面單位面積發(fā)射的包含各種波長在內(nèi)的輻射功率。吸收率：吸收能量與入射總能量的比值。單色吸收率：

波長在范圍內(nèi)的吸收率。單位：單位：黑體：能夠完全吸收外來輻射而沒有反射的物體?；鶢柣舴蚨桑涸谙嗤瑴囟认?，單色輻出度與單色吸收率的比值對于所有物體都相同，是一個只取決于溫度T和波長λ的函數(shù)。在熱平衡條件下，黑體輻射的實驗?zāi)茏V曲線：斯忒藩-玻耳茲曼定律：斯忒藩-玻耳茲曼常量：維恩位移定律：能譜分布曲線的峰值對應(yīng)的波長m與溫度T的乘積為一常數(shù)。維恩常量:維恩公式：瑞利-金斯公式：4012356789維恩線瑞利-金斯線15-1-2普朗克公式普朗克能量子假設(shè)普朗克經(jīng)驗公式：4012356789普朗克常量：討論：（1）在長波段情況下（瑞利-金斯公式）（2）在短波段情況下（維恩公式）普朗克的能量子假設(shè)：對于頻率為

的諧振子，其輻射能量是不連續(xù)的，只能取某一最小能量的整數(shù)倍。n稱為量子數(shù)

稱為能量子愛因斯坦評價：“這一發(fā)現(xiàn)成為20世紀(jì)整個物理研究的基礎(chǔ)，從那時起，幾乎完全決定了物理學(xué)的發(fā)展?！崩?

（1）溫度為20℃的物體，它的輻射能中輻出度的峰值所對應(yīng)的波長是多少？（2）若使一物體單色輻出度的峰值所對應(yīng)的波長在紅色譜線范圍內(nèi)，其溫度應(yīng)為多少？（3）上兩小題中，總輻射能的比值為多少？解（1）（2）取=650nm

（3）光電效應(yīng)：當(dāng)一束光照射在金屬表面上時，金屬表面會有電子逸出的現(xiàn)象?！?5-2光電效應(yīng)愛因斯坦光量子理論15-2-1光電效應(yīng)逸出的電子稱為光電子。回路中形成電流稱為光電流。光電效應(yīng)實驗的結(jié)果：（1）存在截止頻率（又稱紅限）。

當(dāng)入射光的頻率大于截止頻率時，才能產(chǎn)生光電效應(yīng)；反之，無論入射光的強度多大，都不能產(chǎn)生光電效應(yīng)。不同材料的截止頻率不同。（2）在入射光頻率不變時，飽和光電流隨入射光強度I增加而增大；

當(dāng)加速電壓為零時，光電流并不為零。存在遏止電壓。（3）遏止電壓與入射光強度無關(guān)，但與入射光的頻率成正比。（4）光電效應(yīng)具有瞬時響應(yīng)特性(t<10-9s)。且這種瞬間響應(yīng)與入射光的強度無關(guān)。

遏止電壓反映了光電子的最大初動能。15-2-2愛因斯坦光量子理論

愛因斯坦在普朗克能量子假設(shè)的基礎(chǔ)上進一步提出了光子假設(shè)。光子：愛因斯坦光電效應(yīng)方程：逸出功（W）：電子用于克服金屬表面勢壘的束縛而做的功。愛因斯坦對光電效應(yīng)的實驗解釋：（1）入射光的強度I取決于單位時間內(nèi)垂直通過單位面積的光子數(shù)n

。

入射光較強時，含有的光子數(shù)較多，所以獲得能量而逸出的電子數(shù)也多，飽和電流自然也就大。（2）當(dāng)時，電子無法獲得足夠能量脫離金屬表面，因此存在紅限。（4）入射光中光子的能量被金屬表面的電子一次吸收，因此具有瞬時性。（3）根據(jù)遏止電壓與入射光的頻率成正比，比例系數(shù)與材料的性質(zhì)無關(guān)。15-2-3光的波粒二象性光具有波粒二象性

光在傳播過程中顯著地表現(xiàn)出它的波動性；光在與物質(zhì)相互作用時，更多地表現(xiàn)為粒子性。光子能量：光子的質(zhì)量：光子的動量：

例2

鉀的光電效應(yīng)紅限為0=6.210-7m，求（1）電子的逸出功；（2）在波長為3.010-7m的紫外線照射下，遏止電壓為多少？（3）電子的初速度為多少？解：例3

有一金屬鉀薄片，距弱光源3米。此光源的功率為1W，計算在單位時間內(nèi)打在金屬單位面積上的光子數(shù)。設(shè)=589nm。解：§15-3康普頓效應(yīng)康普頓效應(yīng)：當(dāng)X射線被物質(zhì)散射時，散射光中不僅有與入射光相同的波長成分，更有波長大于入射光波長的成分。15-3-1康普頓散射的實驗規(guī)律（1）對于原子量較小的散射物質(zhì)，康普頓散射較強，反之較弱。（2）波長的改變量-0隨散射角θ的增加而增加。（3）對不同的散射物質(zhì)，只要在同一個散射角下，波長的改變量-0都相同。15-3-2康普頓效應(yīng)的量子解釋X射線散射的簡化模型：單個光子與單個靜止的自由電子發(fā)生彈性碰撞。x-能量守恒：動量守恒：x-y又康普頓散射公式：康普頓波長：（1）波長的改變量與散射角θ有關(guān)，散射角θ

越大，

也越大。（2）波長的改變量與入射光的波長無關(guān)。結(jié)論：問題：為什么在可見光的散射實驗中我們沒有看到康普頓效應(yīng)呢？

例4

在康普頓效應(yīng)中，入射光的波長為3×10-3nm，反沖電子的速度為光速的60%，求散射光的波長和散射角。解例5

波長為0

=0.020nm的

X射線與自由電子發(fā)生碰撞，若從與入射角成90°角的方向觀察散射線。求：（1）散射線的波長；（2）反沖電子的動能；

（3）反沖電子的動量。解：§15-4氫原子光譜和玻爾理論15-4-1氫原子光譜656.3486.1434.0410.2巴耳末公式：計算值：實驗值：波數(shù)：(n>m)結(jié)論：譜線的波數(shù)可以表示為兩個光譜項之差。光譜項：里德伯表達(dá)式：里德伯常量的近代測量值：萊曼系（紫外線）帕邢系（紅外線）布拉開系（紅外線）普豐德系（紅外線）巴耳末系（可見光）15-4-2原子的經(jīng)典模型1.湯姆孫的面包夾葡萄干模型

整個原子呈膠凍狀的球體，正電荷均勻分布于球體上，而電子鑲嵌在原子球內(nèi)，在各自的平衡位置附近做簡諧振動，并發(fā)射同頻率的電磁波。------粒子散射實驗2.盧瑟福的核式原子模型：原子由原子核和核外電子構(gòu)成，原子核帶正電荷，占據(jù)整個原子的極小一部分空間，而電子帶負(fù)電，繞著原子核轉(zhuǎn)動，如同行星繞太陽轉(zhuǎn)動一樣。15-4-3玻爾的氫原子理論玻爾的三條基本假設(shè)：（1）原子中的電子只能在一些分裂的軌道上運行，在每一個軌道上運動電子處于穩(wěn)定的能量狀態(tài)。（2）當(dāng)電子從一個能態(tài)軌道向另一個能態(tài)軌道躍遷時，要發(fā)射或吸收光子。（3）電子在原子中的穩(wěn)定軌道滿足角動量L等于的整數(shù)倍條件。+-設(shè)電子質(zhì)量為m，帶電荷量e。力學(xué)方程：量子化條件：電子軌道半徑：玻爾半徑：電子在第n個軌道上的能量：將“量子化條件”和“玻爾半徑”代入能量式，得：軌道能量：基態(tài)能量：各能級值：各能態(tài)：基態(tài)：n=1；第一激發(fā)態(tài)：n=2；第二激發(fā)態(tài)：n=3；……萊曼系巴耳末系帕邢系布拉開系普豐德系-13.58-3.39-1.51-0.85-0.540En/eV12354氫原子能級圖與里德伯表達(dá)式比較：電子從高能級向低能級躍遷時放出光子的波數(shù)：理論值與實驗值符合得非常好！例6

如用能量為12.6eV的電子轟擊氫原子，將產(chǎn)生那些譜線？解：取n=3可能的軌道躍遷：31，32，21§15-5粒子的波動性15-5-1德布羅意波1923年，德布羅意第一次提出了實物粒子具有波動性觀點，以后人們把這種波稱為“德布羅意波”又稱為“物質(zhì)波”

實物粒子和光子一樣，也具有波粒二象性。如果用能量E和動量p來表征實物粒子的粒子性，則可用頻率和波長來表示實物粒子的波動性。德布羅意關(guān)系式：玻爾量子化條件的駐波解釋：15-5-2物質(zhì)波的實驗驗證戴維孫、革末實驗鎳晶體電子槍電子束散射線電子探測器0°15°30°45°60°75°°90°°50°實驗結(jié)果：加速電壓：散射角：電子束強度極大入射電子束散射電子束晶體表面

如果實驗結(jié)果是由于電子衍射產(chǎn)生的，則應(yīng)滿足關(guān)系式：鎳單晶原子間距：取，k=1設(shè)電子在加速電壓作用下的動量為p，質(zhì)量為m。電子的德布羅意波長：結(jié)論：電子的德布羅意波長的理論計算值與實驗值相吻合。湯姆孫電子衍射實驗電子束金箔屏電子槍600eV的電子束穿過鋁箔形成的電子衍射花樣。例7

計算25℃時，慢中子的德布羅意波長。解§15-6德布羅意波的統(tǒng)計詮釋

不確定關(guān)系15-6-1德布羅意波的統(tǒng)計詮釋1926年，德國物理學(xué)家玻恩提出了德布羅意波的統(tǒng)計詮釋：實物粒子的波是一種概率波，波的強度反映了空間某處發(fā)現(xiàn)粒子的可能性（概率）大小。

右圖為電子的雙縫衍射照片15-6-2不確定關(guān)系電子的單縫衍射電子坐標(biāo)的不確定量：電子動量的不確定量：≥不確定原理（不確定關(guān)系）：微觀粒子的坐標(biāo)和動量不可能同時進行準(zhǔn)確測定。不確定關(guān)系式：≥

能量和時間的不確定關(guān)系：≥

例8

根據(jù)玻爾的氫原子模型，電子處于基態(tài)時的運動軌道半徑為。請問，根據(jù)海森伯的不確定原理，這一模型現(xiàn)實嗎？解：

假設(shè)≥沿半徑方向動量的不確定量為§15-7波函數(shù)薛定諤方程15-7-1波函數(shù)波函數(shù)（）：量子力學(xué)中用以描述粒子運動狀態(tài)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。自由粒子：不受外力場的作用，其動量和能量都不變的粒子。自由粒子的波函數(shù)：波函數(shù)的復(fù)指數(shù)形式：式中的E和p分別為自由粒子的能量和動量。概率密度：單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的概率。粒子在空間體元中出現(xiàn)的概率：波函數(shù)的歸一化條件：波函數(shù)所要求的標(biāo)準(zhǔn)條件：

單值、連續(xù)、有限、歸一化態(tài)疊加原理：假設(shè)是粒子體系的n個可能狀態(tài)，那么，它們的線性組合態(tài)也是一種可能的狀態(tài)。15-7-2薛定諤方程的一般形式建立自由粒子的薛定諤方程：自由粒子能量與動量關(guān)系：因為一維自由粒子的薛定諤方程：粒子在勢場中運動，則有勢場中的一維薛定諤方程：勢場中的三維薛定諤方程：稱為梯度算符稱為拉普拉斯算符15-7-3一維定態(tài)不含時薛定諤方程如果勢場只是坐標(biāo)的函數(shù)，而與時間無關(guān)。則分離變量后可得解得（c為積分常量）（E為一個確定的能量值）結(jié)論：若勢場與時間無關(guān)，則粒子具有確定的能量值。定態(tài)：能量不隨時間變化的狀態(tài)。一維定態(tài)薛定諤方程：稱為一維定態(tài)波函數(shù)

概率密度：結(jié)論：定態(tài)粒子在空間的概率分布不隨時間改變?！?5-8一維定態(tài)問題15-8-1一維無限深勢阱勢函數(shù)為定態(tài)薛定諤方程：x≤0，x≥a0<x<a令方程解邊界條件：邊界條件：

因為阱壁無限高，所以有（x≤0，x≥a）結(jié)論：在無限深勢阱中，粒子的能量只能取分立值。基態(tài)能級的能量：激發(fā)態(tài)能級的能量：歸一化條件：得波函數(shù)：概率密度：結(jié)論：在n很大時，能量趨于連續(xù)，這就是經(jīng)典物理的圖像。15-8-2一維勢壘隧道效應(yīng)隧道效應(yīng)：粒子穿透勢壘的現(xiàn)象。勢壘一維方勢壘問題：勢函數(shù)ⅠⅢⅡ一維定態(tài)薛定諤方程：設(shè)粒子質(zhì)量為m，能量為E（E<E0）

（1），，令方程解（Ⅰ）（Ⅲ）

令方程解由波函數(shù)連續(xù)性條件在邊界連續(xù)

（2）

0

≤x≤a，ⅡⅢⅠ表示粒子在勢壘右側(cè)出現(xiàn)的概率密度。

表示粒子在勢壘左側(cè)出現(xiàn)的概率密度。結(jié)論：粒子在勢壘內(nèi)部和外部都有出現(xiàn)的可能。設(shè)透射系數(shù)：粒子穿透勢壘的概率。例9

能量為30eV的電子遇到一個高為40eV的勢壘，試估算電子穿過勢壘的概率。⑴勢壘寬度為1.0nm；⑵勢壘寬度為0.1nm。解：（1）（2）估算時可以忽略G：幾乎就不能穿透勢壘！電子穿透勢壘的概率很大，接近于4%。15-8-3掃描隧道顯微鏡探針樣品表面15-8-4一維簡諧振子一維簡諧振子的經(jīng)典模型一維簡諧振子的勢函數(shù)：其中m——振子質(zhì)量，——固有頻率，x——位移

微觀領(lǐng)域中分子的振動、晶格的振動、，都可以近似地用簡諧振子模型來描述。相應(yīng)的定態(tài)薛定諤方程為：基態(tài)波函數(shù)解：其他激發(fā)態(tài)波函數(shù)均包含因子：滿足方程的簡諧振子能量：基態(tài)能量：激發(fā)態(tài)能量：相鄰能級的間距：零點能高能態(tài)（n→∞）的概率分布過度到經(jīng)典概率分布?！?5-9氫原子結(jié)構(gòu)15-9-1氫原子的薛定諤方程氫原子體系的勢函數(shù)：氫原子的定態(tài)薛定諤方程：分離變量法求出方程解：結(jié)論：方程的解可以表示成三個各自具有一個獨立變量的函數(shù)的乘積。討論：討論的依據(jù)：①波函數(shù)單值、有限、連續(xù)

②邊界條件

是一個包含和指數(shù)項的多項式。（1）在較遠(yuǎn)處（r較大）:結(jié)論：是一個關(guān)于變量r的多項式與一個指數(shù)函數(shù)（為正數(shù)）的乘積。和必須滿足周期性條件

（2）波函數(shù)有限（3）15-9-2角動量量子化三個量子數(shù)能量的本征值：1.n

——主量子數(shù)表征能量量子化

能量是量子化的；當(dāng)n

時，En連續(xù)值。2.l——軌道量子數(shù)表征角動量量子化即軌道角動量

大小的可能取值：結(jié)論：第n能級，可以有n個不同的角動量L值。處于l=0,1,2,3,

狀態(tài)的電子分別稱為

s,p,d,f,

電子。軌道角動量的z分量：結(jié)論：對于給定的l值，ml可以有（2l+1）個取值?！帕孔訑?shù)

3.表征軌道角動量的取向15-9-3氫原子中電子的概率分布在氫原子中的空間體積dV內(nèi)發(fā)現(xiàn)電子的概率徑向概率分布：當(dāng)n=1時，l

max=0，峰值位置：r=r1

當(dāng)n=2時，l

max=1，峰值位置：r=4r1

當(dāng)n=3時，

l

max=2，峰值位置：

r=9r1

玻爾預(yù)言氫原子軌道半徑：結(jié)論：量子力學(xué)認(rèn)為電子在玻爾軌道上的那些點出現(xiàn)的概率最大，但是也有可能出現(xiàn)在別處。§15-10電子的磁矩原子的殼層結(jié)構(gòu)無外磁場有外磁場塞曼效應(yīng)：在磁場中一些光譜線會發(fā)生分裂的現(xiàn)象。15-10-1電子的軌道磁矩電子環(huán)電流：軌道磁矩：電子的角動量：軌道磁矩矢量式：旋磁比：玻爾的量子化條件：玻爾磁子：電子磁矩與磁場的相互作用能：電子軌道磁矩沿z軸的分量式結(jié)論：能量E與磁量子數(shù)ml

有關(guān)。

在外磁場作用下，原來的一個能級將分裂成（2l+1）個能級。15-10-2電子的自旋

銀原子束經(jīng)過非均勻磁場后分裂成兩束，在照相底片上留下兩條感光條紋。斯特恩—蓋拉赫實驗按照經(jīng)典電磁學(xué)理論如果磁矩的空間取向呈量子化奇數(shù)條紋費浦斯和泰勒實驗:基態(tài)的氫原子（l=0）實驗結(jié)果：氫原子束分裂為兩束。1925年，烏倫貝克和哥德斯密特曾經(jīng)提出：電子除了具有軌道角動量外還具有內(nèi)稟角動量。這是由于電子繞自身軸旋轉(zhuǎn)所引起的，故稱為自旋角動量，簡稱自旋。自旋量子數(shù)：s

電子自旋角動量：自旋角動量在外磁場方的分量：稱為自旋磁量子數(shù)

自旋磁矩的z分量：因為結(jié)論：自旋電子在空間只有兩種可能的取向。費米子：玻色子：與的關(guān)系：15-10-3原子的殼層結(jié)構(gòu)四個量子數(shù)：⑴主量子數(shù)n（n=1，2，3，…）用于確定原子中電子能量的主要部分；⑵軌道量子數(shù)（l

，l=0，1，2，

…，n-1），用于確定電子的軌道角動量；⑶磁量子數(shù)ml，（ml=0，±1，±2，…，±l），用于確定軌道角動量的空間取向。⑷自旋量子數(shù)ms，（ms=±1/2），用于確定自旋角動量的空間取向。泡利不相容原理：

在一個原子中不可能有兩個或兩個以上的電子處于相同的狀態(tài)，即不可能具有相同的四個量子數(shù)。給定的主量子數(shù)n

：軌道量子數(shù)l取值：0，1，2，…，n-1，共n個；磁量子數(shù)ml取值：0，±1,±2,…,±l,共2l+1個；自旋量子數(shù)ms

取值：1/2，-1/2，共2個。n：原子的殼層結(jié)構(gòu)模型：n1234567KLMNOPQ主殼層次殼層l0123456spdfghin=1，l=0ml=0ms=1/2，-1/2K殼層——s次殼層：兩個電子n=2，l=0ml=0ms=1/2，-1/2L殼層——s次殼層：兩個電子n=2，l=1ml=-1，0，1，ms=1/2，-1/2L殼層——p次殼層：六個電子L殼層共有八個電子。

0123456Znspdfghi1,K2──────22,L26─────83,M2610────184,N261014───325,O26101418──506,P2610141822─727,Q26101418222698原子殼層和次殼層上最多可能容納的電子數(shù)

ln能量最小原理：在原子處于正常狀態(tài)下，每個電子趨于占據(jù)最低的能級。能級：

主量子數(shù)n越大，能級越高。

當(dāng)n一定時，軌道量子數(shù)l越大，能級越高。能級判斷法則：值較大者相應(yīng)的能級較高。例：4s態(tài)3d態(tài)

結(jié)論：電子首先占據(jù)4s態(tài)，再占據(jù)3d態(tài)。氫原子（Z=1）氦原子（Z=2）鋰原子（Z=3）鈹原子（Z=4）硼原子（Z=5）碳、氮、氧、氟和氖氖原子（Z=10）第一周期第二周期氖：電子正好填滿K和L殼層，因此最穩(wěn)定。例10