函數(shù)的周期性和對(duì)稱性

函數(shù)的周期性和對(duì)稱性第一頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期日(1)若關(guān)于直線對(duì)稱一、函數(shù)的對(duì)稱性若函數(shù)上任意一點(diǎn)關(guān)于某直線（或某點(diǎn)）的對(duì)稱點(diǎn)仍在上，就稱關(guān)于某直線（或某點(diǎn)）對(duì)稱，這種對(duì)稱性稱為自對(duì)稱。(2)若關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱兩個(gè)恒等式的形式均不唯一，要記住本質(zhì)構(gòu)造.第二頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期日定理：若函數(shù)滿足，那么函數(shù)以為對(duì)稱軸。cor.若函數(shù)滿足，那么函數(shù)以為對(duì)稱軸。即：YXOABX=a第三頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期日定理：若函數(shù)滿足，那么函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱。cor.若函數(shù)滿足，那么函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱。即：YXOAB(a,0)第四頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期日2)若,則函數(shù)關(guān)于______________對(duì)稱;注：1.當(dāng)時(shí),函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱2.當(dāng)時(shí),函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱偶函數(shù)----特殊的軸對(duì)稱函數(shù)奇函數(shù)----特殊的點(diǎn)對(duì)稱函數(shù)一般地,1)若,則函數(shù)關(guān)于

對(duì)稱.第五頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期日y=f(x)對(duì)稱源性質(zhì)點(diǎn)(0,0)y軸y=xx=m點(diǎn)(m,n)f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)f(x)=f-1(x)f(x)=f(2m-x)f(x)=2n-f(2m-x)Ex:若函數(shù)12第六頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期日關(guān)于x=0對(duì)稱例1：已知的圖象,畫出和的圖象，并指出兩者的關(guān)系。(-1,0)(1,0)若函數(shù)上任意一點(diǎn)關(guān)于某直線（或某點(diǎn)）的對(duì)稱點(diǎn)在上，就稱和關(guān)于某直線（或某點(diǎn)）對(duì)稱，這種對(duì)稱性稱為互對(duì)稱。第七頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期日一般地,函數(shù)和關(guān)于_______對(duì)稱.記憶：令x+a=-x+b，可求得對(duì)稱軸.變化前對(duì)稱源變化后y=f(x)點(diǎn)(0,0)x軸y軸y=xy=-x直線x=m直線y=n點(diǎn)(m,n)y=-f(-x)y=-f(x)y=f(-x)y=f-1(x)y=-f-1(-x)y=f(2m-x)y=2n-f(x)y=2n-f(2m-x)第八頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期日例3：設(shè)的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，求的解析式。例2:將函數(shù)右移2個(gè)單位得到圖像C1，有C1和C2的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求C2的函數(shù)解析式。利用對(duì)稱性求解析式（一）、互對(duì)稱問題常用軌跡代入法求解析式第九頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期日例4：設(shè)圖象關(guān)于直線對(duì)稱,在上，求當(dāng)時(shí)的解析式。例5：設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，它的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，已知時(shí),函數(shù)求當(dāng)時(shí)的解析式(二)、自對(duì)稱問題常聯(lián)系恒等式進(jìn)行x的變換第十頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期日關(guān)于直線對(duì)稱關(guān)于直線對(duì)稱關(guān)于對(duì)稱關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱常見函數(shù)的對(duì)稱性一個(gè)函數(shù)本身的對(duì)稱性稱為自對(duì)稱,分成關(guān)于某直線對(duì)稱或某點(diǎn)對(duì)稱.原點(diǎn)第十一頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期日二、函數(shù)的周期性理解（1）.是否所有周期函數(shù)都有最小正周期？1.定義:對(duì)于函數(shù)，若存在非零常數(shù)T，使得恒成立，則稱為周期函數(shù)，T是函數(shù)的一個(gè)周期。若所有周期中存在一個(gè)最小正數(shù)，則稱它是函數(shù)的最小正周期。(2).若T是的一個(gè)周期，則kT（k是非零整數(shù)）均是的周期嗎？(3)周期函數(shù)的定義域D可以為閉區(qū)間嗎？T=(a-b)思考：若,函數(shù)具有什么性質(zhì)？第十二頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期日第十三頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期日注：除了定義式是充要條件外，其余均為充分非必要條件2、常見的判斷周期的恒等式(可用遞推法證明)

第十四頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期日3.函數(shù)的對(duì)稱性與周期性的幾個(gè)常見性質(zhì)。性質(zhì)1.若函數(shù)以為對(duì)稱軸，那么此函數(shù)是周期函數(shù)，周期T=X=aX=b第十五頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期日性質(zhì)2.若函數(shù)以為對(duì)稱點(diǎn)，那么此函數(shù)是周期函數(shù)，周期T=假定(a,0)(b,0)第十六頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期日性質(zhì)3.若函數(shù)以為對(duì)稱點(diǎn)，以為對(duì)稱軸，那么此函數(shù)是周期函數(shù)，周期T=假定X=b(a,0)XYO第十七頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期日第十八頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期日第十九頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期日第二十頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期日第二十一頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期日第二十二頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期日第二十三頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期日第二十四頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期日第二十五頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期日第二十六頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期日練習(xí)1:定義在R上的函數(shù)滿足且方程有1001個(gè)根，則這1001個(gè)根的和？4:如果那么3：如果那么2:函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則第二十七頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期日5:(1)定義在R上偶函數(shù)滿足則方程在區(qū)間上至少有()個(gè)根。(2)將上題中的“偶函數(shù)”改成“奇函數(shù)”，其余條件不變，則在區(qū)間至少有()個(gè)根。6：定義在R上函數(shù)滿足條件:①不是常值函數(shù)；②③則下列命題中正確的是()A.是周期函數(shù)B.關(guān)于對(duì)稱C.關(guān)于y軸對(duì)稱D.關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱重要結(jié)論：若奇，且周期為T，則必有注：可用模擬圖，直觀明了第二十八頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期日思考：若周期為，又關(guān)于對(duì)稱，能否推出是偶函數(shù)？若能，能否嚴(yán)格證明？練習(xí):1.若為定義在R上的奇函數(shù)，且關(guān)于直線對(duì)稱，問：是否為周期函數(shù)？若是，求出它的一個(gè)周期。2.若為定義在R上偶函數(shù)且滿足問：是否關(guān)于直線對(duì)稱？若是，請(qǐng)給出證明。3：設(shè)奇函數(shù)，且當(dāng)則第二十九頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期日第三十頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期日5：設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，它的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，已知時(shí),函