分析數(shù)學(xué)中的若干問題

分析數(shù)學(xué)中的若干問題第一頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日一.分析數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程：1.初創(chuàng)

現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)的發(fā)展應(yīng)該起源于微積分的發(fā)明和極限理論的建立。即使僅僅是對(duì)“數(shù)“的理論的完善也歸功于極限論的建立。

經(jīng)過16世紀(jì)中葉到17世紀(jì)初的醞釀，牛頓（1642——1727）和萊布尼茨（1646——1716）終于在17世紀(jì)下半葉創(chuàng)立了微積分。第二頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日在此之前，通過略去高次項(xiàng)（即忽略高階無窮小量）。帕斯卡，費(fèi)馬，沃利斯，巴羅等著名學(xué)者使微積分學(xué)產(chǎn)生萌芽。

牛頓的流數(shù)術(shù)（微積分）是他一生三大發(fā)明之一。第三頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日流數(shù)術(shù)：第四頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日第五頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日“已知量之間的關(guān)系，求他的流數(shù)；以及反過來”——牛頓的微分和積分的觀點(diǎn)——互逆運(yùn)算：微積分學(xué)基本定理。(1736年發(fā)表)萊布尼茲：考察切線，第一次引入了符號(hào)，沿用至今。第六頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日

1734年貝克萊嘲笑“無窮小量是‘已死量的幽靈’，因?yàn)槭琴M(fèi)馬略去的無窮小量，還是牛頓的，一直到萊布尼茨的,又是又不是，招之即來，揮之即去，“鬼使神差”。達(dá)朗貝爾——將微積分的基礎(chǔ)歸結(jié)為極限。但沒創(chuàng)造完整體系。

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歐拉利用這種不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奈⒎e分創(chuàng)立了微分方程，無窮級(jí)數(shù)，變分學(xué)諸多學(xué)科并解決了大量天文，物理，力學(xué)問題，著有《無窮小分析引論》。拉格朗日，拉普拉斯，勒讓德，傅立葉在分析學(xué)方面都作出了巨大貢獻(xiàn)。

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但至此，微積分學(xué)的基礎(chǔ)還沒有找到合適的解決辦法。所以，法國(guó)哲學(xué)家伏爾泰稱微積分為“精確計(jì)算和度量的一個(gè)其存在性是無從想象的東西的藝術(shù)?！钡诰彭摚擦唔?，編輯于2023年，星期日柯西《分析教程》：“若代表某變量的一串?dāng)?shù)值無限地趨向于某一數(shù)值，其差可以任意小，則該固定值稱為這一串?dāng)?shù)的極限”，他將分析學(xué)奠定在極限概念之上，但仍然使用“無限趨向”，“要多小就有多小”一類不嚴(yán)格的語言。魏爾斯特拉斯（1815-1897）將柯西的思想“算術(shù)化”，出現(xiàn)了至今通用的語言。語言——柯西準(zhǔn)則——構(gòu)成微積分的基礎(chǔ)“極限論”的基礎(chǔ)。2.微積分的基礎(chǔ)第十頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日3.實(shí)數(shù)理論

在十九世紀(jì)分析學(xué)發(fā)展的同時(shí)，人類也完善了實(shí)數(shù)理論。柯西首先認(rèn)識(shí)到“無理數(shù)是有理數(shù)迫近的極限”（即：實(shí)數(shù)域是有理數(shù)域的完備化）。但極限又要用到實(shí)數(shù)，這形成了一個(gè)循環(huán)論證。梅萊，海涅，康托把無理數(shù)看成柯西列。戴德金采用對(duì)有理數(shù)分割的辦法，建立了不依賴于極限論的實(shí)數(shù)理論。第十一頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日勒貝格（1875-1941）——?jiǎng)?chuàng)立可列可加測(cè)度的積分論，形成實(shí)變函數(shù)論。以實(shí)分析為基礎(chǔ)的概率論和隨機(jī)過程，稱為現(xiàn)代分析。復(fù)變函數(shù)論的發(fā)展，形成復(fù)分析。以函數(shù)空間為背景的泛函和算子理論——泛函分析。此外還有傅立葉分析等。4.20世紀(jì)分析學(xué)的發(fā)展第十二頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日

20世紀(jì)分析學(xué)的另一特征是用拓?fù)鋵W(xué)和代數(shù)學(xué)，處理高維空間中的曲面和曲線以及多變量函數(shù)的整體性質(zhì)，形成流形上的分析。流形上的分析結(jié)合了微分幾何學(xué)—偏微分方程—多復(fù)變函數(shù)論，成為當(dāng)代數(shù)學(xué)的主流方向。外微分形式—反函數(shù)理論，成為當(dāng)代分析學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)。第十三頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日

同時(shí)，20世紀(jì)分析學(xué)的發(fā)展，使非線性分析成為最活躍的數(shù)學(xué)分支之一，其基礎(chǔ)理論是算子理論。泛函分析使分析學(xué)躍上新的高度。希爾伯特空間—巴拿赫空間—廣義函數(shù)論成為常識(shí)?，F(xiàn)在我們知道，無窮小量不再是一個(gè)量，而是一個(gè)變化的過程。第十四頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日

從上面可以看到，分析數(shù)學(xué)的發(fā)展經(jīng)歷了近3百年漫長(zhǎng)的歷史。數(shù)學(xué)成為現(xiàn)代科學(xué)的基礎(chǔ)，已經(jīng)成為人類的共識(shí)。二.從“數(shù)“到”泛函分析“的知識(shí)體系第十五頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日數(shù)（自然數(shù)—整數(shù)—有理數(shù)—實(shí)數(shù)—復(fù)數(shù)）變量函數(shù)（描述變量之間的變化關(guān)系）極限函數(shù)的分析性質(zhì)，實(shí)數(shù)理論的建立（有限維歐式空間上的定義的函數(shù)）實(shí)分析（Lebesgue積分理論函數(shù)空間的研究（Hilbert空間，Banach空間——無限維空間）函數(shù)空間上定義的函數(shù)，即泛函或算子第十六頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日

派生：微分幾何學(xué)，復(fù)變函數(shù)，微分方程等；現(xiàn)代：流形—流形上的分析學(xué)。第十七頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日三、用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看已學(xué)過數(shù)學(xué)知識(shí)從上面的發(fā)現(xiàn)過程看來，可以歸結(jié)為：第十八頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日第一階段：變量取的是“數(shù)“，函數(shù)就是通常所說的函數(shù)第二階段：變量取的是“函數(shù)空間中的元素”函數(shù)變成了泛函。所以，總是首先對(duì)變量所在的“空間”研究清楚，才能研究定義在這個(gè)“空間”上的“函數(shù)”。

變量所在的“空間”，除了其代數(shù)運(yùn)算與代數(shù)性質(zhì)（群，環(huán)，域）外，對(duì)于研究在他上面定義的分析性質(zhì)來說，“空間”的分析性質(zhì)是十分重要的。第十九頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日

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小學(xué)就開始學(xué)習(xí)“距離空間”。如，直線上點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離。中學(xué)時(shí)學(xué)習(xí)的作為兩個(gè)點(diǎn)(x1,y1)和(x2,y2)之間的距離。其實(shí)，現(xiàn)在我們知道，還可以采用很多方法定義距離。第二十一頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日2.在空間上定義拓?fù)洹x收斂性第二十二頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日第二十三頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日

一般說來，中有界閉集合一定是緊的，這就是數(shù)學(xué)分析中所說的致密性定理。

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但是，到了無限維空間，例如一般的Banach空間，其中的有界集就不一定有收斂子列。常見的例子是，有界的連續(xù)函數(shù)列不一定有一致收斂的子列，還要加上諸如“等度連續(xù)性“條件（Arzela--Ascoli）.第二十五頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日5.現(xiàn)在我們看看“函數(shù)空間”1°在上連續(xù)的函數(shù)的全體構(gòu)成一個(gè)集合。按照通常的加法和數(shù)乘，構(gòu)成一個(gè)線性空間，把里面的元素視為點(diǎn)。第二十六頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日第二十七頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日第二十八頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日第二十九頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日1?Dirichlet函數(shù)不是黎曼可積的，但是它是Lebesgue可積的.2?積分與極限交換順序的問題6.另三個(gè)典型的例子可以看到人類認(rèn)識(shí)的發(fā)展：第三十頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日第三十一頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日3?在通常意義和Lebesgue意義下都無法解釋的“函數(shù)”第三十二頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日第三十三頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日四、幾個(gè)問題a.極值問題——從函數(shù)極值到短程線問題第三十四頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日半正定——極小半負(fù)定——極大第三十五頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日泛函的極值：短程線，障礙問題第三十六頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日（1）捷線問題：初速為0的質(zhì)點(diǎn)，僅受重力作用，沿光滑曲線由定點(diǎn)A滑行到定點(diǎn)B（B低于A但不在同一條垂直于地面的直線上），為使滑行時(shí)間最短，問滑行的曲線是怎樣的？AyBx第三十七頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日分析：第三十八頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日第三十九頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日AyBx第四十頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日(2)短程線眾所周知，連接平面上兩點(diǎn)A、B的最短線為直線。那么，我們來考慮如下有趣的問題：要在山坡上修建一條最短的公路連接兩個(gè)居民點(diǎn)A、B，問如何選線？分析：設(shè)山坡的曲面方程為F(x,y,z)=0,設(shè)連接A、B的曲線為：y=y(x)z=z(x)第四十一頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日則A、B間曲線

的弧長(zhǎng)是所以，要在約束條件F(x,y,z)=0之下，求泛函的最小值第四十二頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日（3）等周問題：平面上一切有定長(zhǎng)的簡(jiǎn)單閉曲線中，確定一條圍成最大面積的曲線。設(shè)曲線方程為

是定長(zhǎng)，則面為，

求A在約束條件之下求最小值————等周問題。第四十三頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日歷史上用平面幾何和不等式的辦法曾經(jīng)證明了下面的等周定理，為了證明它，人類花了兩千多年（1）在具有給定周長(zhǎng)的所有平面圖形中，圓的面積最大。

（2）在所有給定面積的平面圖形中，圓的周長(zhǎng)最小。

（1’）在具有給定表面積的所有立體圖形中，球的體積最大。

（2’）在具有給定體積的所有立體圖形中，球的表面積最小。等周定理：其他還有三角形的等周定理，多邊形的等周定理。第四十四頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日（4）繞過障礙拉緊橡皮筋帶兩端A、B，繞過平板W光滑邊緣，則弧長(zhǎng)為但是要保證其中是W的邊界方程。第四十五頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日第四十六頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日（5）球面上的短程線（6）不動(dòng)點(diǎn)定理－從一維到高維－求解非線性問題i.設(shè)在上連續(xù)，且，則存在,使得即：連續(xù)且將映到自身，那么在中有不動(dòng)點(diǎn)，此為Schauder不動(dòng)點(diǎn)。第四十七頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日ii.壓縮映象原理如果函數(shù)定義在上，且存在使得那么存在唯一的使得iii.高維如果一個(gè)連續(xù)映射φ把一個(gè)閉單位球映到自己，那么這個(gè)閉單位球內(nèi)有這個(gè)映射的不動(dòng)點(diǎn)。還有類似的壓縮映射原理第四十八頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日iv.無限維在Banach空間上，有Schauder不動(dòng)點(diǎn)原理，Brower不動(dòng)點(diǎn)原理，Leray－Schauder不動(dòng)點(diǎn)原理。它們是求解非線性問題的有力工具。第四十九頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日五、總結(jié)——可供選擇的題目1、變分問題

3、函數(shù)方程常見解法4、隱函數(shù)定理及其應(yīng)用2、不動(dòng)點(diǎn)定理及其應(yīng)用第五十頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日5、中學(xué)如何講授微積分（在沒有的情況下）6、中學(xué)數(shù)學(xué)問題中的微分方程7、從分析角度談數(shù)系8、球面上三角形的計(jì)算問題第五十一頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日9、函數(shù)的迭代11、無窮大量對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)意義（有界、無界、漸近線等）12、不等式的證明——從離散到積分形式（函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、積分、凹凸性）10、復(fù)數(shù)方法解決中數(shù)問題13、用拓?fù)涞挠^點(diǎn)看函數(shù)的連續(xù)性和一致連續(xù)性第五十二頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日六、現(xiàn)在，把上面提到的有些問題作一些解釋1、關(guān)于函數(shù)方程第五十三頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日第五十四頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日第五十五頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日其他函數(shù)方程：①②③第五十六頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日其他方程如：待定系數(shù)法、極限、冪級(jí)數(shù)法第五十七頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日微積分法還可用于

可以從已知函數(shù)所滿足的關(guān)系式反過來思考，再討論一些函數(shù)方程。參考文獻(xiàn)：王向東等著，函數(shù)方程及其應(yīng)用，上?？萍嘉墨I(xiàn)出版社，2003第五十八頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日2、函數(shù)的迭代與不動(dòng)點(diǎn)設(shè)連續(xù)函數(shù)f:R→R，復(fù)合函數(shù)f(f(x))記作f2(x)≡f(f(x)),類似的定義f(f(f(x)))=f3(x),…,f(f(…f(x)…))=fn(x),稱為函數(shù)的迭代。視n次迭代fn為R中的一個(gè)映射。第五十九頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日若存在x∈R，使fn(x)=x，則稱x是映射fn的不動(dòng)點(diǎn)。fn的不動(dòng)點(diǎn)的集合記作Fix(fn)可以考察：n→∞，極限是什么（對(duì)具體函數(shù)或給f一定的條件）?也可以考察，在哪些條件下，fn有不動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)ix(fn)有什么性質(zhì)？第六十頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期日3、用不動(dòng)點(diǎn)解非線性問題或用迭代法求解非線性問題例：設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且a≤f(x)≤b，

x

∈[a,b]，求證存在x0∈[a,b]，使x