2023年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考：旋轉(zhuǎn)綜合壓軸題

2023年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考專題：旋轉(zhuǎn)綜合壓軸題

1.定義：既相等又垂直的兩條線段稱為“等垂線段”，如圖1,在中，ZA=90。，

AB=AC,點(diǎn)。、E分別在邊48、AC上，AD=AE,連接DC,點(diǎn)M、P、N

分別為￡>E、DC.8c的中點(diǎn)，且連接PM、PN.

(1)觀察猜想

線段PM與PN填(“是”或“不是”)“等垂線段”.

(2)VADE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置,連接BD,CE,試判斷PM與PN

是否為“等垂線段”，并說明理由.

(3)拓展延伸

把VA￡>E繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若DE=2,BC=4,請(qǐng)直接寫出PM與PN的積

的最大值.

2.如圖乙，43c和VAOE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形,ZfiAC=ZZME=90°,

點(diǎn)P為射線80,CE的交點(diǎn).

E

BCBC

圖甲圖乙

AA

BCBC

備用圖備用圖

(1)如圖甲，將VADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)C、D、E在同一條直線上時(shí)，連接30、BE,求

證：BD=CE；

(2)若AB=6,45=3,把V4DE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)：

①當(dāng)NC4￡=90°時(shí)，求尸8的長(zhǎng)；

②若M為線段8C中點(diǎn)，直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中線段ZW長(zhǎng)的最大值.

3.綜合與實(shí)踐

九年級(jí)(1)班同學(xué)在數(shù)學(xué)老師的指導(dǎo)下，以“三角形的旋轉(zhuǎn)''為主題，開展數(shù)學(xué)活動(dòng).

操作探究：

(1)如圖1,ABC為等邊三角形，將43c繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180。，得到VADE,連接8E,

則NCBE=若尸是BE的中點(diǎn)，連接4尸，則4尸與￡>E的數(shù)量關(guān)系是.

遷移探究：

(2)如圖2,(1)中的其他條件不變，當(dāng).A8C繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。，得到VAOE,

求出此時(shí)Z.EBC的度數(shù)及AF與DE的數(shù)量關(guān)系.

拓展應(yīng)用：

(3)如圖3,在RtZXABC中，AB=AC=2,ZBAC=90°,將一ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，得

到VADE,連接8E,尸是8E的中點(diǎn)，連接介■.當(dāng)NE8C=15。時(shí)，求AF的長(zhǎng).

圖1

4.在等腰△ADC和等腰BEC中，ZADC=NBEC=90°,BC<CD.將8EC繞點(diǎn)C

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接AB.點(diǎn)。為線段AB的中點(diǎn)，連接。O,EO

試卷第2頁(yè)，共10頁(yè)

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)到CO邊上時(shí)，線段。。與E。的數(shù)量和位置關(guān)系是.

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到AC邊上時(shí)，(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，寫出證明過程，

若不成立，請(qǐng)說明理由

(3)若BC=2,CD=n，在BEC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)乙4。5=60。時(shí)，求

線段。。的長(zhǎng)

5.如圖，A3C和△OCE都是等腰直角三角形,ZACB=ZDCE=90°.

(1)猜想：如圖1,點(diǎn)E在8C上，點(diǎn)。在AC上，線段BE與AD的數(shù)量關(guān)系是,

位置關(guān)系是;

(2)探究：把△￡>(7￡繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，連接A￡>,BE,(1)中的結(jié)論還成立

嗎?說明理由；

(3)拓展：把△￡>(“繞點(diǎn)C在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AC=3,CE=2,當(dāng)A,E,。三點(diǎn)

在同一直線上時(shí)，則AE的長(zhǎng)是.

6.如圖1,在RrABC中，ZACB=90°,NABC=60。，8c=2,點(diǎn)A、B1分別為邊AC,

BC的中點(diǎn)，連接4鳥，將一A^C繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0。4。4360°).

(1)如圖1,當(dāng)。=0。時(shí)，易知4A和的位置關(guān)系為線段AA和的

數(shù)量關(guān)系為;

(2)將A/。繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2所示位置時(shí)，(1)中AA和的關(guān)系是否仍

然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；

⑶當(dāng)ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中.

①面積的最大值為；

②當(dāng)4、BrA三點(diǎn)共線時(shí)，線段AA的長(zhǎng)為.

7.在銳角,ABC中，AB=4,BC=5,ZACB=45。，將ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋

轉(zhuǎn)，得到

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)G在線段C4的延長(zhǎng)線上時(shí)，NCCH的度數(shù)為。；

(2)如圖2,連接A4,CC,.若的面積為4,求△CBG的面積；

(3)如圖3,點(diǎn)E為線段A8中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，在一ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方

向旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)尸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是直接寫出線段長(zhǎng)度的最大值與最小值.

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8.在等腰RtABC中，AB=AC,ZBAC=90°.

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,D,E是等腰RtABC斜邊BC上兩動(dòng)點(diǎn)，且2D4E=45。，將.ABE繞點(diǎn)A

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后，得到AFC,連接。尸.

①求證：BE=CF；

②試判斷BE、DE、8三條線段之間的關(guān)系，并說明理由.

(2汝口圖2,點(diǎn)。是等腰Rt48c斜邊8c所在直線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接AD,以點(diǎn)A為直

角頂點(diǎn)順時(shí)針作等腰當(dāng)比)=3,5c=9時(shí)，直接寫出OE的長(zhǎng).

9.(1)如圖1,在正方形AC0E中，點(diǎn)F,G分別在邊AE,AC上，若NFDG=45。,

則尸G,EF,CG之間的數(shù)量關(guān)系為：—；(提示：以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將ADCG順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。)

解決問題：

(2)如圖2,若把(1)中的正方形改為等腰直角三角形，ZADC=90°,E,F是底

邊AC上任意兩點(diǎn)，且滿足ZEDF=45。，試探究AE,EF,尸C之間的關(guān)系；

拓展應(yīng)用：

(3)如圖3,若把(1)中的正方形改為菱形ACDE,ZE=60°,菱形的邊長(zhǎng)為8,G,

F分別為邊AC,AE上任意兩點(diǎn)，且滿足/FDG=60。，請(qǐng)直接寫出四邊形OE4G的面

積.

10.如圖1,正方形ABC。對(duì)角線AC、3D交于點(diǎn)。，E、F分別為正方形ABCD邊AB、

A￡＞上的點(diǎn)，EFJ.AC交于點(diǎn)、M,且ME=MF,N為BF中點(diǎn)、.

(1)請(qǐng)直接寫出ON與OM的數(shù)量關(guān)系

(2)若將AAEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2所示位置時(shí)，(1)中的結(jié)論是否成立，若成立請(qǐng)證明；

若不成立，請(qǐng)說明理由；

(3)若48=8,E為A3中點(diǎn)，繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，直接寫出點(diǎn)M與點(diǎn)C的最大

距離.

11.在中，AB=AC,NABC=30。，點(diǎn)。是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是邊8上

的動(dòng)點(diǎn)，連接A尸并延長(zhǎng)至點(diǎn)￡,交BC于G,連接BE,ZAFC=60°,且

ZE+ZBDF=180°,

(1)如圖1,若BC=4下,BE=2,求AE的長(zhǎng);

(2)如圖2,若。是48的中點(diǎn)，連接￡)￡、BF,求證：DF+EF=y/3BF;

(3)如圖3,在(2)問的條件下,將△8DE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)中的三角形記為△。出片,

取的中點(diǎn)為M,連接CM.當(dāng)CM取最大時(shí)，將△ADR沿直線CM翻折，得到

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△2，’直接寫出霧的值.

12.把兩個(gè)等腰直角三角形；MC和VADE按圖1所示的位置擺放，將VADE繞點(diǎn)A按

逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，如圖2,連接B。，EC,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為。(0°＜口＜360。).

(1)如圖1,80與EC的數(shù)量關(guān)系是,8￡＞與BC的位置關(guān)系是

(2)如圖2,(1)中80與EC的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否仍然成立，若成立，請(qǐng)證明；若

不成立，請(qǐng)說明理由；

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)。在線段8E上時(shí)，求證：BELCE；

(4)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角。=(填度數(shù))時(shí)，△m￡)的面積最大.

13.【提出問題】在一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，李老師給出了一道題.如圖①，點(diǎn)戶是等邊

A5C內(nèi)的一點(diǎn)，連接P4、PB、PC.當(dāng)口=3,PB=4,PC=5時(shí)，求/AP8的度

數(shù).

【解決問題】小明在解決此題時(shí)，將點(diǎn)尸繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。得到點(diǎn)。，連接D4、

DP、DB,并結(jié)合已知條件證得△A3￡＞g△C8P.

請(qǐng)利用小明的作法及結(jié)論求NAP8的度數(shù).

【方法應(yīng)用】如圖②，點(diǎn)尸是正方形A8C3內(nèi)一點(diǎn)，連接R4、PB、PC.若PA=6a，

PB=2a,PC=?a,則ZAPB=°.

D

圖②

14.如圖①，將一個(gè)直角三角形紙片ABC放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（-2,0）,點(diǎn)

8(6,0),點(diǎn)C在第一象限，ZACB=90°,ZC4B=30°.

⑴求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）以點(diǎn)B為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)三角形ABC,得到三角形BOE,點(diǎn)A,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別

為D,E.如圖②，當(dāng)上〃AB時(shí)，BO與>軸交于點(diǎn)F,求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（3）以點(diǎn)B為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)三角形ABC,得到三角形即'E,點(diǎn)A,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別

為以E'.在（2）的條件下，點(diǎn)F不變，記戶為線段切的中點(diǎn)，。為線段的中

點(diǎn)，求尸。的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）.

15.在等腰ABC中，ZABC=90°,AB=BC,將斜邊AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度

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得到線段A。，交BC于點(diǎn)G,過點(diǎn)C作CFLAD于點(diǎn)反

(1)如圖1,當(dāng)旋轉(zhuǎn)22.5。時(shí)，若BG=1,求AC的長(zhǎng)；

(2)如圖2,當(dāng)旋轉(zhuǎn)30。時(shí)，連接8。，恰好使BD//AC,延長(zhǎng)CF交BD于點(diǎn)E,連接EG,

求證：AG=CE+EG；

⑶如圖3,點(diǎn)M是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，在線段上存在一點(diǎn)N,使M5+N4+NC的值最

小時(shí)，若NA=2,請(qǐng)直接寫出C/VM的面積.

16.如圖，在三角形ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)產(chǎn)為。內(nèi)一點(diǎn)，連接”,

BP,CP,將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AP，連接PP'，CP'.

(1)用等式表示CP'與8P的數(shù)量關(guān)系，并證明；

⑵當(dāng)N3PC=135°時(shí)，

①直接寫出NP'CP的度數(shù)為；

②若M為BC的中點(diǎn)，連接請(qǐng)用等式表示PM與AP的數(shù)量關(guān)系，并證明.

17.在平面直角坐標(biāo)系中，矩形Q4BC,。為原點(diǎn)，A(3,0),B(3,4),C(0,4),將△O8C

繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)O,C旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為O',C'.

⑴如圖(1),當(dāng)NC8C'=30。時(shí)，求C'的坐標(biāo)；

(2)如圖(2),當(dāng)點(diǎn)。'恰好落在x軸上時(shí)，OC'與A3交于點(diǎn)￡>.

①此時(shí)08與。。是否相等，說明理由;

②求點(diǎn)。的坐標(biāo);

(3)求AOC'面積的最大值.(直接寫出答案即可)

18.在RtaABC中，Z4CB=90°,ZABC=30°,AC=2,將.ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)一定的角度a得到點(diǎn)A,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是Q,E,連接AO.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E恰好在A8上時(shí)，求—ADE的大??；

⑵如圖2,若a=60。，點(diǎn)F是A3的中點(diǎn)，判斷四邊形CEDF的形狀，并證明你的結(jié)論.

(3)如圖3,若點(diǎn)尸為中點(diǎn)，①求證：C、E、尸三點(diǎn)共線.②求CF的最大值.

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參考答案:

1.⑴是

⑵是

⑶2

2

18—6#>

2.⑵①5或5；②3+3近.

3.(1)90；AF=-DE

2

(2)15。；AF^—DE

2