2023年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)總動員系列專題25一元二次方程

PAGE1PAGE1考點(diǎn)二十五：一元二次方程聚焦考點(diǎn)☆溫習(xí)理解一、一元二次方程及有關(guān)概念1.一元二次方程：只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程.2.一般形式:ax2+bx+c=0(其中a、b、c為常數(shù)，a≠0)，其中ax2、bx、c分別叫做二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，a、b分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù).3.一元二次方程必須具備三個條件：(1)必須是整式方程；(2)必須只含有1個未知數(shù)；(3)所含未知數(shù)的最高次數(shù)是2.【溫馨提示】在一元二次方程的一般形式中要注意a≠0.因?yàn)楫?dāng)a=0時，不含有二次項(xiàng)，即不是一元二次方程.4.一元二次方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.二、一元二次方程的解法：解一元二次方程的基本思想——轉(zhuǎn)化，即把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程來求解.直接開平方法；配方法；公式法；因式分解法.三、一元二次方程的根的判別式對于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)：(1)b2－4ac＞0?(2)b2－4ac＝0?(3)b2－4ac＜0?四、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩根分別為x1，x2，則有x1＋x2＝，x1x2＝．五、一元二次方程的應(yīng)用1.列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟和列一元一次方程（組）解應(yīng)用題的步驟相同，即審、設(shè)、列、解、驗(yàn)答五步.2.列一元二次方程解應(yīng)用題中，經(jīng)濟(jì)類和面積類問題是?？碱愋?，解決這些問題應(yīng)掌握以下內(nèi)容：(1)增長率等量關(guān)系:A.增長率＝×100%；B.設(shè)a為原來量，m為平均增長率,n為增長次數(shù)，b為增長后的量，則a(1+m)n=b;當(dāng)m為平均下降率，n為下降次數(shù)，b為下降后的量時，則有a(1-m)n=b.(2)利潤等量關(guān)系:A.利潤＝售價-成本；B.利潤率＝利潤成本×100%.(3)面積問題名師點(diǎn)睛☆典例分類考點(diǎn)典例一、解一元二次方程【例1】（2023.重慶市A卷，第8題，4分）一元二次方程的根是（）A.B.C.D.【答案】D.【解析】試題分析：此題考察一元二次方程的解法，觀察發(fā)現(xiàn)可以采用提公因式法來解答此題.原方程可化為：，因此或，所以.故選：D.考點(diǎn)：一元二次方程的解法——因式分解法——提公因式法.【點(diǎn)睛】一元二次方程有四種解法:因式分解法、直接開平方法、配方法和公式法.（1）若一元二次方程缺少常數(shù)項(xiàng),且方程的右邊為0,可考慮用因式分解法求解;（2）若一元二次方程缺少一次項(xiàng),可考慮用因式分解法或直接開平方法求解;（3）若一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1,且一次項(xiàng)的系數(shù)是偶數(shù)時或常數(shù)項(xiàng)非常大時,可考慮用配方法求解;（4）若用以上三種方法都不容易求解時,可考慮用公式法求解.【舉一反三】解方程:x2＋4x－1＝0【答案】x1=-2+，x2=-2-．考點(diǎn)：解一元二次方程-配方法．考點(diǎn)典例二、配方法【例2】用配方法把代數(shù)式3x－2x2－2化為a(x＋m)2＋n的形式，并說明不論x取何值，這個代數(shù)式的值總是負(fù)數(shù)．并求出當(dāng)x取何值時，這個代數(shù)式的值最大．【答案】證明見解析；，-.【解析】試題分析：先利用配方法得到3x-2x2-2=-2（x-）2-，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到-2（x-）2-＜0，即不論x取何值，3x-2x2-2的值總是負(fù)數(shù)，易得當(dāng)x=時，這個代數(shù)式的值最大．試題解析：3x-2x2-2=-2x2+3x-2=-2（x2-x）-2=-2（x2-x+-）-2=-2（x-）2-，∵（x-）2≥0，∴-2（x-）2≤0，∴-2（x-）2-＜0，∴不論x取何值，3x-2x2-2的值總是負(fù)數(shù)，且當(dāng)x=時，這個代數(shù)式的值最大，最大值為-．考點(diǎn)：配方法的應(yīng)用；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方．【點(diǎn)睛】(1)代數(shù)式的配方是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它既是恒等變形的重要手段，又是研究相等關(guān)系，討論不等關(guān)系的常用方法．在配方前，先將二次項(xiàng)系數(shù)－2提出來，使括號中的二次項(xiàng)系數(shù)化為1，然后通過配方分離出一個完全平方式．(2)注意與方程的配方的區(qū)別．【舉一反三】（山東濱州第5題，3分）用配方法解一元二次方程時，下列變形正確的為()A.B.C.D.【答案】D考點(diǎn)：配方法解一元二次方程考點(diǎn)典例三、一元二次方程根的判別式【例3】（2023.重慶市B卷，第8題，4分）已知一元二次方程，則該方程根的情況是()A．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個相等的實(shí)數(shù)根 C．兩個根都是自然數(shù) D．無實(shí)數(shù)根【答案】A【解析】試題分析：當(dāng)△=0時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時，方程沒有實(shí)數(shù)解.根據(jù)題意可得：△=－4×2×3=25－24=1＞0，則方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.考點(diǎn)：一元二次方程根的判別式.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根的判別式△=b2-4ac．當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．【舉一反三】1.（2023.山東濱州第3題，3分）一元二次方程的根的情況是()A.沒有實(shí)數(shù)根 B.只有一個實(shí)數(shù)根 C.有兩個相等的實(shí)數(shù)根 D.有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 【答案】C考點(diǎn)：一元二次方程的根的判別式2.(2023·湖北荊門，7題，3分)若關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】試題分析：∵關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，∴△=，∴．故選A．考點(diǎn)：根的判別式．考點(diǎn)典例四、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系【例4】（山東棗莊，第8題，3分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+n=0的兩個實(shí)數(shù)根分別為x=－2，x=4.則m+n的值是A.－10B.10C.－6D.2【答案】B【解析】試題分析：由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得-2+4=-m,-2×4=n，解得m=-2,n=-8,所以m+n=-10.故選B．考點(diǎn)：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程兩個為x1，x2，則x1+x2=-，x1?x2=【舉一反三】1.(2023·湖北荊門，15題，3分)已知關(guān)于x的一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根為，，若，則m的值為．【答案】﹣1或﹣3．【解析】考點(diǎn)：1．根與系數(shù)的關(guān)系；2．根的判別式．2.(2023.山東日照，第15題，4分)如果m，n是兩個不相等的實(shí)數(shù)，且滿足m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代數(shù)式2n2﹣mn+2m+2023=．【答案】2026【解析】試題分析：解：由題意可知：m，n是兩個不相等的實(shí)數(shù)，且滿足m2﹣m=3，n2﹣n=3，所以m，n是x2﹣x﹣3=0的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知：m+n=1，mn=﹣3，又n2=n+3，則2n2﹣mn+2m+2023=2（n+3）﹣mn+2m+2023=2n+6﹣mn+2m+2023=2（m+n）﹣mn+2021=2×1﹣（﹣3）+2021=2+3+2021=2026．故答案為：2026．考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系．考點(diǎn)典例五、一元二次方程的應(yīng)用【例5】某種花卉每盆的盈利與每盆的株數(shù)有一定的關(guān)系，每盆植3株時，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利減少0.5元，要使每盆的盈利達(dá)到15元，每盆應(yīng)多植多少株？設(shè)每盆多植x株，則可以列出的方程是()A.（3+x）（4-0.5x）=15B.（x+3）（4+0.5x）=15C.（x+4）（3-0.5x）=15D.（x+1）（4-0.5x）=15【答案】A．【解析】試題分析：根據(jù)已知假設(shè)每盆花苗增加x株，則每盆花苗有（x+3）株，得出平均單株盈利為（4-0.5x）元，由題意得（x+3）（4-0.5x）=15即可．試題解析：解：設(shè)每盆應(yīng)該多植x株，由題意得（3+x）（4-0.5x）=15，故選：A．考點(diǎn)：由實(shí)際問題抽象出一元二次方程．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)每盆花苗株數(shù)×平均單株盈利=總盈利得出方程是解題關(guān)鍵．【舉一反三】1.(2023.安徽省，第6題，4分)我省2023年的快遞業(yè)務(wù)量為1.4億件，受益于電子商務(wù)發(fā)展和法治環(huán)境改善等多重因素，快遞業(yè)務(wù)迅猛發(fā)展，2023年增速位居全國第一．若2023年的快遞業(yè)務(wù)量達(dá)到4.5億件，設(shè)2023年與2023年這兩年的平均增長率為x，則下列方程正確的是（）A．1.4(1＋x)＝4.5B．1.4(1＋2x)＝4.5C．1.4(1＋x)2＝4.5D．1.4(1＋x)＋1.4(1＋x)2＝4.5【答案】C.【解析】試題分析：設(shè)2023年與2023年這兩年的平均增長率為x，則2023年的業(yè)務(wù)量為1.4（1+x）億件，2023年的業(yè)務(wù)量為1.4（1+x）2億件，又因2023年的快遞業(yè)務(wù)量達(dá)到4.5億件，所以可列方程為1.4（1+x）2=4.5，故答案選C.考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用.2.（2023.山東濟(jì)南，第12題,3分）將一塊正方形鐵皮的四角各剪去一個邊長為3cm的小正方形，做成一個無蓋的盒子，已知盒子的容積為300，則原鐵皮的邊長為（） A． 10cm B． 13cm C． 14cm D． 16cm【答案】D考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用．課時作業(yè)☆能力提升一、選擇題1.（2023·遼寧丹東）若x=1是一元二次方程的一個根，那么.【答案】-3.【解析】試題分析：∵x=1是一元二次方程的一個根，∴將x=1代入此方程得：1+2+a=0,∴a=-3.考點(diǎn)：一元二次方程根的意義.2.（2023達(dá)州）方程有兩個實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍（）A．B．且C．D．且【答案】B．【解析】試題分析：根據(jù)題意得：，解得且．故選B．考點(diǎn)：1．根的判別式；2．一元二次方程的定義．3.(2023.寧夏，第5題，3分)關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（）A.≥B.≤C.≥D.≤【答案】D.【解析】試題分析：由關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根可得△≥0，即1-4m≥0，解得≤，故答案選D.考點(diǎn)：一元二次方程根的判別式.4.(2023.北京市，第14題，3分)關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，寫出一組滿足條件的實(shí)數(shù)a，b的值a＝____，b＝____.【答案】(滿足b2＝a，a≠0即可，答案不唯一)考點(diǎn)：一元二次方程根的判別式5.(2023.上海市，第10題，4分)如果關(guān)于的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，那么的取值范圍是________．【答案】【解析】試題分析：由于方程沒有實(shí)數(shù)根，故，解得.考點(diǎn)：根的判別式.6．（2023南充）關(guān)于x的一元二次方程有兩個整數(shù)根且乘積為正，關(guān)于y的一元二次方程同樣也有兩個整數(shù)根且乘積為正．給出四個結(jié)論：①這兩個方程的根都是負(fù)根；②；③．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．0個B．1個C．2個D．3個【答案】C．考點(diǎn)：1．根與系數(shù)的關(guān)系；2．根的判別式．7.（2023廣安）一個等腰三角形的兩條邊長分別是方程的兩根，則該等腰三角形的周長是（）A．12B．9C．13D．12或9【答案】A．【解析】試題分析：∵，∴，，，①等腰三角形的三邊是2，2，5，∵2+2＜5，∴不符合三角形三邊關(guān)系定理，此時不符合題意；②等腰三角形的三邊是2，5，5，此時符合三角形三邊關(guān)系定理，三角形的周長是2+5+5=12；即等腰三角形的周長是12．故選A．考點(diǎn)：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三邊關(guān)系；3．等腰三角形的性質(zhì)．9.（2023巴中）某種品牌運(yùn)動服經(jīng)過兩次降價，每件件零售價由560元降為315元，已知兩次降價的百分率相同，求每次降價的百分率．設(shè)每次降價的百分率為x，下面所列的方程中正確的是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】試題分析：設(shè)每次降價的百分率為x，由題意得：，故選B．考點(diǎn)：1．由實(shí)際問題抽象出一元二次方程；2．增長率問題．二、填空題10.(2023·遼寧葫蘆島）（3分）已知k、b是一元二次方程的兩個根，且k＞b，則函數(shù)的圖象不經(jīng)過（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】B．【解析】試題分析：∵k、b是一元二次方程的兩個根，且k＞b，∴，，∴函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限，故選B．考點(diǎn)：1．一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；2．解一元二次方程-因式分解法．二．填空題11．(2023·遼寧葫蘆島）（3分）若一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是．【答案】m＜．【解析】試題分析：∵一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，∴△=16﹣4（m﹣1）×（﹣5）＜0，且m﹣1≠0，∴m＜．故答案為：m＜．考點(diǎn)：1．根的判別式；2．一元二次方程的定義．12.（2023·黑龍江省黑河市、齊齊哈爾市、大興安嶺）△ABC的兩邊長分別為2和3，第三邊的長是方程的根，則△ABC的周長是．【答案】8．考點(diǎn)：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三邊關(guān)系．13.(山東萊蕪第15題，3分)某公司在年的盈利額為萬元，預(yù)計年的盈利額將達(dá)到萬元，若每年比上一年盈利額增長的百分率相同，那么該公司在年的盈利額為________萬元．【答案】220【解析】試題分析：根據(jù)題意可設(shè)每年比上一年盈利額增長的百分率為x，所以有，解得（舍去），所以該公司在2023年的盈利額為萬元.考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用（增長率問題）14.（2023·黑龍江綏化）若關(guān)于x的一元二次方程ax+2x-1=0無解，則a的取值范圍是____________.【答案】a＜-1【解析】試題分析：當(dāng)時，一元二次方程無解，解得a＜-1，且，所以a的取值范圍是a＜-1.考點(diǎn)：一元二次方程.15.（2023達(dá)州）新世紀(jì)百貨大樓“寶樂”牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了迎接“六一”兒童節(jié)，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施．經(jīng)調(diào)査，如果每件童裝降價1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天銷售這種童裝盈利1200元，則每件童裝應(yīng)降價多少元？設(shè)每件童裝應(yīng)降價x元，可列方程為．【答案】（40﹣x）（20+2x）=1200．【解析】試題分析：設(shè)每件童裝應(yīng)降價x元，可列方程為：（40﹣x）（20+2x）=1200．故答案為：（40﹣x）（20+2x）=1200．考點(diǎn)：1．由實(shí)際問題抽象出一元二次方程；2．銷售問題．16.（2023內(nèi)江）已知關(guān)于x的方程的兩根分別是，，且滿足，則k的值是．【答案】2．【解析】試題分析：∵關(guān)于x的方程的兩根分別是，，∴，，，解得：k=2，故答案為：2．考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系．17.（2023瀘州）設(shè)、是一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根，則的值為．【答案】27．【解析】試題分析：∵、是一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根，∴，，∴==25+2=27，故答案為：27．考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系．三、解答題18.（2023·遼寧大連）解方程【答案】考點(diǎn)：解一元二次方程.19．（2023·湖北鄂州，20題，8分）關(guān)于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有兩個不等實(shí)根.（1）（4分）求實(shí)數(shù)k的取值范圍．（2）（4分）若方程兩實(shí)根滿足｜x1｜+｜x2｜=x1·x2求k的值．【答案】（1）k﹥；（2）2.【解析】試題分析：(1)方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,故Δ＞0，解不等式即可求出k的取值范圍；（2）由題意設(shè)方程x2+（2k+1）x+k2+1=0兩根為x1，x2，利用根與系數(shù)的關(guān)系，代入求值即可.試題解析：（1）∵原方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根∴Δ=2－2+1)=4k2+4k+1－4k2－4=4k－3﹥0解得：k﹥(2)∵k﹥∴x1+x2=－(2k+1)＜0又∵x1·x2=k2+1﹥0∴x1＜0，x2＜0