動(dòng)量定理守恒定律

§2-3

動(dòng)量定理 動(dòng)量守恒定律一、動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量

P

=

mv討論：1）動(dòng)量是描寫(xiě)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量，是狀態(tài)的單值函數(shù)；2）動(dòng)量是矢量；3）動(dòng)量有相對(duì)性（因?yàn)樗俣扰c參照系有關(guān)）。當(dāng)力在一段時(shí)間內(nèi)對(duì)物體持續(xù)作用時(shí)，需要討論力的時(shí)間累積效應(yīng)。二、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理重寫(xiě)牛頓第二定律的微分形式dt考慮一過(guò)程，時(shí)間從t1-t2，兩端積分F

=

dp上式左邊定義為力F

從t1

時(shí)刻到t2

時(shí)刻的沖量：1t

t2

I

=

F

d

t于是得到積分形式動(dòng)量定理：質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受到的合外力的沖量，等于該質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量。動(dòng)量沖量狀態(tài)量過(guò)程量動(dòng)量定理是過(guò)程量和狀態(tài)量增量的關(guān)系。tt12

Fdt

=

p2

-

p1I

=

p

=

mv2tt1

I

=

Fdt方方向，而是沖量

的所有元沖量向一般不是某一瞬量的合矢時(shí)力

的的方向。討論1)沖量的方向：p1p2pDp由動(dòng)量定

理可知：沖量的方向與動(dòng)量增量方向相F

d

t同。即

I的方向與

D的方向相同。I帆船逆風(fēng)行駛就是例證。船帆a航向風(fēng)v0v0vDvF

'

F

'

=

-F風(fēng)從與船航向成a角方向吹來(lái)，設(shè)風(fēng)的初速v0，由于帆的作用，風(fēng)的方向一致，風(fēng)給帆的作用力方向改變，大小幾乎不變，根據(jù)動(dòng)Dv量定理，風(fēng)受帆的作用力

F與F

'在船航行方向的分量推動(dòng)船前進(jìn)。v2)在直角坐標(biāo)系中將矢量方程改為標(biāo)量方程ttx1xx

2

x21F

d

t

=

mv

-

mvI

=tt2y1

y2

yyF

d

t

=

mv

-

mvI

=11zFz

d

t

=

mv2

z

-

mvtt2zI

=1動(dòng)量定理是牛頓第二定律的積分形式，因此其使用范圍是慣性系。動(dòng)量定理在處理變質(zhì)量問(wèn)題時(shí)很方便。5)動(dòng)量定理在打擊或碰撞問(wèn)題中用來(lái)求平均沖力。t2t1t-FF打擊或碰撞，沖力F的方向保持不變，曲線與t

軸所包圍的面積就是

t1

到

t2

這段時(shí)間內(nèi)力的沖量的大小，根據(jù)改變動(dòng)量的等效性，得到平均沖力。將積分用平均沖力代替DtDP平均沖力：F

=

Fdt

=

F

Dtt2t1例汽車以恒定速度u相對(duì)于地面平動(dòng)，車內(nèi)水平桌面上有一小球，小球的速度由v1

v2變

為

，以地面和車分別為參考系寫(xiě)出動(dòng)量定理。umv1v2以車為參考系，小球動(dòng)量的改變以地面為參考系，小球動(dòng)量的改變*例1

質(zhì)量為

m

的小球在水平面內(nèi)作速率為v

的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，試求小球在經(jīng)過(guò)四分之一圓周的過(guò)程中，所受到的沖量。解：由動(dòng)量定理，所受沖量I

=

Dp=

p2

-

p1I

的大小為：

A0B1pp2p1ap2Dpx1

2p

=

p4a

=

-

3

πI

=

p2

+

p2

=

2mv1

2I

的方向：例2列車在平直鐵軌上裝煤,列車空載時(shí)質(zhì)量為m0,煤炭以速率v1豎直流入車廂,每秒流入質(zhì)量為a。假設(shè)列車與軌道間的摩擦系數(shù)為m,列車相對(duì)于地面的運(yùn)動(dòng)速度v2保持不變,求機(jī)車的牽引力F。解：車和煤為系統(tǒng),如圖建立坐標(biāo)系。tfi

t+dt

時(shí)刻，dm

=adtv1v

2xy豎直方向水平方向1vv

2xNy*例3一顆子彈在槍筒里前進(jìn)時(shí)所受的合力大小為t

(SI)34

·105F

=

400

-子彈從槍口射出時(shí)的速率為300m/s，假設(shè)子彈離開(kāi)槍口時(shí)合力剛好為零，則（1）子彈走完槍筒全長(zhǎng)所用的時(shí)間t解(1)4

·105F

=0

即400

-\

t

=

0.003(s)t

=

03t

(SI)34

·105F

=

400

-I

0.6-3m

=

=

=

2·10

(kg)

=

2(g)v

300=

0.6(N

s)（3）子彈的質(zhì)量mI

=

m

v

-

04

·10520t

=0.003Fdt

=

(400t

-t

)6tI

=（2）子彈在槍筒中所受力的沖量I本周作業(yè)：1-13、1-16、1-21.求此質(zhì)點(diǎn)從靜止開(kāi)始在2s內(nèi)所受合外力的沖量和質(zhì)點(diǎn)在2s末的動(dòng)量。解：由沖量定義有例4

一質(zhì)點(diǎn)受合外力作用，外力為(SI)根據(jù)動(dòng)量定理大小方向1.質(zhì)點(diǎn)系：三、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理在質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的基礎(chǔ)上，討論兩個(gè)或兩個(gè)以上物體組成的系統(tǒng)的動(dòng)量定理，導(dǎo)出動(dòng)量守恒定律。(以由兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系為例)內(nèi)力:系統(tǒng)內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力;特點(diǎn):成對(duì)出現(xiàn)；大小相等方向相反;結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力之和為零.

fij

=

0i質(zhì)點(diǎn)系的重要結(jié)論之一m2m1由有相互作用的質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)。

F1F2f12f212.系統(tǒng)動(dòng)量定理將動(dòng)量定理分別用于這兩個(gè)物體得：F121112p10=

p1

-tt(F

+

f

)dt

212

21p20(F

+

ftt外力:系統(tǒng)外部對(duì)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)的作用力.對(duì)m1對(duì)m2將上兩式相加，根據(jù)牛頓第三定律：f12

+

f

21

=

0

m2m2)dt

=

-

Fp2f1

12f21t21(F1

+

F2

)dt

=

(

p1

+

p2

)

-

(

p10

+

p20

)t

系統(tǒng)所受合外力的沖量等于系統(tǒng)總動(dòng)量的增量，稱為系統(tǒng)動(dòng)量定理。思考：什么力可改變質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量?什么力可以改變系統(tǒng)的總動(dòng)量?用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理處理問(wèn)題的方便之處在那里？可得:將上式推廣到多個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)將系統(tǒng)內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)受

力之和寫(xiě)成Fi

+

fi對(duì)mi

使用動(dòng)量定理：Fi表示第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受外力之和;fi

表示第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受內(nèi)力之和;t

2t1

t1t

2

Fidt

+

fidt

=

pi

-

pi

0對(duì)所有質(zhì)點(diǎn)求和：t2t2i

t1

t1

i

(

Fi

dt

+

fi

dt

)

=

(Pi

-

Pi

0

)t2t2

Fi

dt

+

fi

dt

=

(Pi

-

Pi

0

)i

it1

t1i

——外力沖量之和ittif

dt21ittiF

dt21——內(nèi)力沖量之和化簡(jiǎn)上式：由于每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的受力時(shí)間dt

相同，所以：t2t2i

t1

t1

iFidt

=(Fi

)dt

將所有的外力共點(diǎn)力相加F外=

Fiit2t1

t1it2

Fidt

=

F外dt再看內(nèi)力沖量之和同樣，由于每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的受力時(shí)間dt

相同，所以：t2t1

fi

dtit2t2

fidt

=(

fi

)dt

i

t1

t1

i因?yàn)閮?nèi)力之和為零：

fi

=

0i內(nèi)力的沖量之和為零t2所以有：

fidt

=0t1i----質(zhì)點(diǎn)系的重要結(jié)論之二ii

i0ii0miυii

i0

P

=

mυP

=Pi

=P

=最后簡(jiǎn)寫(xiě)右邊，令：質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理為（積分形式）t2t2i

iit1

t1

Fi

dt

+

fidt

=

(Pi

-

Pi

0

)

1t2if

dt

=

0ti221

1ttittiF

dtF

dt

=左邊

外1t2t

F外dt

=P

-P0四、動(dòng)量守恒定律系統(tǒng)動(dòng)量原理當(dāng)上式稱為動(dòng)量守恒定律。結(jié)論：當(dāng)系統(tǒng)不受外力或合外力為零時(shí)，系統(tǒng)總動(dòng)量在運(yùn)動(dòng)中保持不變，內(nèi)力的作用僅僅改變總動(dòng)量在各物體之間的分配。動(dòng)量守恒定律是物理學(xué)中又一條重要而又具有普遍性的定律。210tt

F dt

=

P

-

P外=恒量

Fi

=

0

時(shí)，

則有

P

=P0i

i近似地認(rèn)為系統(tǒng)動(dòng)量守恒.例如在碰撞,打擊,爆炸等問(wèn)題中.當(dāng)

Fi

<<

fi

時(shí)，可略去外力的作用,

Fi=

0討論：1）系統(tǒng)的動(dòng)量守恒是指系統(tǒng)的總動(dòng)量不變，系統(tǒng)內(nèi)任一物體的動(dòng)量是可變的,各物體的動(dòng)量必相對(duì)于同一慣性參考系.2）系統(tǒng)動(dòng)量守恒條件：合外力為零若某一方向合外力為零,則此方向動(dòng)量守恒.當(dāng)

Fx＝0

時(shí)，有

px

=

px03）如果合外力在某一方向上的分量為零，則系統(tǒng)在該方向的分量也是守恒的。當(dāng)

Fy＝0

時(shí)，有

py

=

py04）動(dòng)量守恒定律是一條最基本、最普遍的定律，無(wú)論宏觀還是微觀領(lǐng)域都可以使用。5）用守恒定律作題，注意分析過(guò)程、系統(tǒng)和條件。*例5

兩個(gè)相互作用的物體A和B，無(wú)摩擦地在一條水平直線上運(yùn)動(dòng)。A的動(dòng)量表達(dá)式pA

=

pA0

-

bt

,pA0和b為常量。（1）開(kāi)始時(shí)B靜止，求B的動(dòng)量；思考：在系統(tǒng)的動(dòng)量變化中內(nèi)力起什么作用？有人說(shuō)：因?yàn)閮?nèi)力不能改變系統(tǒng)的總動(dòng)量，所以不論系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)有無(wú)內(nèi)力作用，只要外力相同，則各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況就相同。這話對(duì)嗎？pB

=

pA

-

pA0

=

bt（2）開(kāi)始時(shí)B的動(dòng)量為-pA0

，求B的動(dòng)量pA0

+(-

pA0

)

=

pA

+

pBpB

=

-

pA

=

-

p0

+

bt解：把A、B作為系統(tǒng)，系統(tǒng)在水平方向受合外力為零，故該方向動(dòng)量守恒pA0

+

pB

0

=

pA

+

pB*例6

如圖所示,設(shè)炮車以仰角q

發(fā)射一炮彈，炮車和炮彈的質(zhì)量分別為M和m，炮彈相對(duì)于炮車的出口速度為v，求炮車的反沖速度V。炮車與地面間解：把炮車和炮彈看成一個(gè)系統(tǒng)。發(fā)炮前系統(tǒng)在豎q的摩擦力不計(jì)。vMG直方向上的外力有重力

和地面支持力N水平分量為根據(jù)水平方向動(dòng)量守恒定理有炮彈相對(duì)地面的速度為炮車的反沖速度為討論：系統(tǒng)動(dòng)量是否守恒?u