線代復(fù)習(xí)線性代數(shù)期末試卷bcfecab5cfd

用Mathematica求解線性代數(shù)基本問題一、構(gòu)造矩陣1、輸入和構(gòu)造矩陣矩陣是一個數(shù)表，在Mathematica中構(gòu)造并輸入一個已知矩陣就相當于構(gòu)造一個表。例如，鍵入tt={a,b,c}在Mathematica中就構(gòu)造了一個名為tt的3維向量{a,b,c}；鍵入

t0={{1，2，3}，{4，5，6}}則得到一個名為t0的2行3列的矩陣。2、也可利用工具欄或菜單輸入矩陣點擊工具欄上的矩陣輸入的工具，就會得到一個

二行二列的矩陣輸入框，若不是二行二列的矩陣，可通過按Ctrl+Enter鍵增加一行，按Ctrl+,鍵增加

一列，用鼠標選定一行（或一列），按Del鍵可刪除一行(或一列）。通過這樣的操作，就可輸入任意一個矩陣。下面的圖演示了這個過程。示例矩陣的輸出默認是數(shù)表形式，也可利用MatrixForm命令將其輸出為矩陣想形式。如果要訪問一個矩陣的某一個元素，比如

t0的第一行第二列元素，用t0[[1,2]]就代表該元素。示例3、利用系統(tǒng)函數(shù)生成矩陣Mathematica提供了很多生成向量和矩陣的命令，簡述如下表所示。命令功能Table[f,{i,n}]用f生成包含n個元素的向量Array[a,n]生成一個{a[1],a[2],…,a[n]}的向量Range[n]生成一個{1,2,…,n}的向量Range[m,n]生成一個{m,m+1,…,n}的向量Range[m,n,d]生成一個{m,m+d,…,n}的向量Length[list]計算向量的長度命令功能Table[f,{i,m},{j,n}]生成一個m×n矩陣Array[a,{m,n}]生成一個m×n矩陣,元素為a(i,j)DiagonalMatrix[list]對角矩陣，以list為對角線元素IdentityMatrix[n]生成一個n×n單位矩陣Part[list,i]

或list[[i]]提取矩陣的第i行Part[list,i,j]或list[[i,j]]提取矩陣的第i行第j列元素Dimensions[list]矩陣的階數(shù)示例示例（續(xù)）二、矩陣的基本運算矩陣運算是線性代數(shù)的基本內(nèi)容。常規(guī)的矩陣運算有矩陣的加減法、數(shù)乘、乘法、行列式，轉(zhuǎn)置和逆矩陣等。在Mathematica中只要一個運算符或調(diào)用一個函數(shù)即可完成上述運算下表給出了矩陣加法和乘法的一般形式矩陣基本運算說明A+cA為矩陣，c為標量，c與A中每個元素相加A+BA,B為同類型矩陣或向量,A與B的對應(yīng)元素相加c

AA為矩陣，c為標量,c與A中每個元素相乘A.B矩陣A與B相乘，要求A的列數(shù)等于B的行數(shù)u.v向量u與v的內(nèi)積（行向量乘列向量）Outer[Times,u,v]列向量u乘行向量vCross[u,v]向量u與v的外積(對三維向量而言，即為向量積)示例示例（續(xù)）二、矩陣的運算下表列出矩陣的其他一些運算矩陣運算函數(shù)說明Det[A]計算方陣A的行列式Transpose[A]表示A的轉(zhuǎn)置矩陣Inverse[A]表示A的逆矩陣Minors[A，k]給出A的所有k階子式，返回結(jié)果為一個表Tr[A]計算A的跡(4.0版)MatrixPower[A,

n]表示AnRowReduce[A]給出用行初等變換將矩陣A化為規(guī)范的階梯形矩陣。顯然，此運算可求出矩陣

A的秩。此函數(shù)也可歸屬解方程組函數(shù)示例示例示例示例?求下列矩陣的秩及行向量組的一個極大無

關(guān)組，并將其余行向量表成它的線性組合：Mathematica沒有直接求矩陣秩的函數(shù)，但我們可以通過RowReduce函數(shù)求出行最簡形，從而求出矩陣的秩。注意由于是求行向量組的極大無關(guān)組，所以應(yīng)求AT的出行最簡形。-13

2

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1

2

2 1

0

2

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5

-1

0

3

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1

0

4示例三、求解線性系統(tǒng)對于線性方程組Ax=b，若方程組有惟一解，由用Solve函數(shù)即可求解。但更好的方法是用NullSpace函數(shù)和LinearSolve函數(shù)。首先用NullSpace函數(shù)求出Ax=0的基礎(chǔ)解系，再用LinearSolve函數(shù)求出Ax=b的一個解（如果存在的話），由此就可求出

Ax=b的通解。示例示例（續(xù)）四、特征值與特征向量下表列出求特征值與特征向量的函數(shù)矩陣運算函數(shù)說明Eigenvalues[A]計算A的特征值(準確形式，結(jié)果為一個表)Eigenvectors[A]計算A的特征向量(準確形式，結(jié)果為一個表)Eigensystem

[A]給出A的{{特征值},{特征向量}}的一個表Eigenvalues[N[A]]計算A的特征值(數(shù)值解，結(jié)果為一個表)Eigenvectors[N[A]]計算A的特征向量(數(shù)值解，結(jié)果為一個表)示例示例（續(xù)）五、向量正交化運算在Mathematica的LinearAlgebra`Orthogonalization`程序包中有對向量單位化和對一組向量正交化的函數(shù)。下面僅列出施密特正交化函數(shù)。向量正交化運算函數(shù)說明GramSchmidt[{v1,v2,…，}]將向量組v1,v2,…單位正交化示例例試求一個正