平行線的?？冀?jīng)典題型

七年級(jí)（下）數(shù)學(xué)提高講義第二講平行線常考經(jīng)典題型例1、翻折如圖，把一張長(zhǎng)方形紙帶沿著直線GF折疊，∠CGF=30°，則∠1的度數(shù)是．【練習(xí)】如圖，生活中將一個(gè)寬度相等的紙條按圖所示折疊一下，如果∠2=100°，那么∠1的度數(shù)為．例2、旋轉(zhuǎn)一副三角尺按如圖的位置擺放（頂點(diǎn)C與F重合，邊CA與邊FE疊合，頂點(diǎn)B、C、D在一條直線上）．將三角尺DEF繞著點(diǎn)F按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)n°后（0＜n＜180），如果EF∥AB，那么n的值是．【練習(xí)】將一副直角三角尺ABC和CDE按如圖方式放置，其中直角頂點(diǎn)C重合，∠D=45°，∠A=30°．將三角形CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，若DE∥BC，則直線AB與直線CE的較大的夾角∠1的大小為度．例3、平行線的性質(zhì)已知，直線AB∥DC，點(diǎn)P為平面上一點(diǎn)，連接AP與CP．（1）如圖1，點(diǎn)P在直線AB、CD之間，當(dāng)∠BAP=60°，∠DCP=20°時(shí)，求∠APC．（2）如圖2，點(diǎn)P在直線AB、CD之間，∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點(diǎn)K，寫(xiě)出∠AKC與∠APC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）如圖3，點(diǎn)P落在CD外，∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點(diǎn)K，∠AKC與∠APC有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．【練習(xí)】1.如圖，已知AB∥CD，CE、BE的交點(diǎn)為E，現(xiàn)作如下操作：第一次操作，分別作∠ABE和∠DCE的平分線，交點(diǎn)為E1，第二次操作，分別作∠ABE1和∠DCE1的平分線，交點(diǎn)為E2，第三次操作，分別作∠ABE2和∠DCE2的平分線，交點(diǎn)為E3，…，第n次操作，分別作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分線，交點(diǎn)為En．若∠En=1度，那∠BEC等于度2．如圖，兩直線AB、CD平行，則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=．4.數(shù)學(xué)思考：（1）如圖1，已知AB∥CD，探究下面圖形中∠APC和∠PAB、∠PCD的關(guān)系，并證明你的結(jié)論。推廣延伸：（2）①如圖2，已知AA1∥BA1，請(qǐng)你猜想∠A1，∠B1，∠B2，∠A2、∠A3的關(guān)系，并證明你的猜想；②如圖3，已知AA1∥BAn，直接寫(xiě)出∠A1，∠B1，∠B2，∠A2、…∠Bn﹣1、∠An的關(guān)系拓展應(yīng)用：（3）①如圖4所示，若AB∥EF，用含α，β，γ的式子表示x，應(yīng)為()A.180°+α+β﹣γB.180°﹣α﹣γ+βC．β+γ﹣αD．α+β+γ②如圖5，AB∥CD，且∠AFE=40°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，請(qǐng)你根據(jù)上述結(jié)論直接寫(xiě)出∠GHM的度數(shù)是．例4、平移如圖1所示，已知BC∥OA，∠B=∠A=120°（1）說(shuō)明OB∥AC成立的理由．（2）如圖2所示，若點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，且∠FOC=∠AOC，OE平分∠BOF，求∠EOC的度數(shù)．（3）在（2）的條件下，若左右平移AC，如圖3所示，那么∠OCB：∠OFB的比值是否隨之發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求出這個(gè)比值．（4）在（3）的條件下，當(dāng)∠OEB=∠OCA時(shí)，求∠OCA的度數(shù)．【練習(xí)】如圖，已知AM∥BN，∠A=60°．點(diǎn)P是射線AM上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，分別交射線AM于點(diǎn)C，D．（1）求∠CBD的度數(shù)；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠APB與∠ADB之間的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若不變化，請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；若變化，請(qǐng)寫(xiě)出變化規(guī)律．（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使∠ACB=∠ABD時(shí)，∠ABC的度數(shù)是．例5、作圖—應(yīng)用作圖題（1）如圖1，一個(gè)牧童從P點(diǎn)出發(fā)，趕著羊群去河邊喝水，則應(yīng)當(dāng)怎樣選擇飲水路線，才能使羊群走的路程最短？請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出最短路線．（2）如圖2，在一條河的兩岸有A，B兩個(gè)村莊，現(xiàn)在要在河上建一座小橋，橋的方向與河岸方向垂直，橋在圖中用一條線段CD表示．試問(wèn)：橋CD建在何處，才能使A到B的路程最短呢？請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出橋CD的位置．【練習(xí)】如圖，平面上有直線a及直線a外的三點(diǎn)A、B、P．（1）過(guò)點(diǎn)P畫(huà)一條直線m，使得m∥a；（2）過(guò)B作BH⊥直線m，并延長(zhǎng)BH至B′，使得BB′為直線a、m之間的距離；（3）若直線a、m表示一條河的兩岸，現(xiàn)要在這條河上建一座橋（橋與河岸垂直），使得從村莊A經(jīng)橋過(guò)河到村莊B的路程最短，試問(wèn)橋應(yīng)建在何處？畫(huà)出示意圖．【鞏固練習(xí)】一、選擇題1．如圖，AB∥DE，∠ABC的角平分線BP和∠CDE的角平分線DK的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P且∠P﹣2∠C=57°，則∠C等于（）A．24° B．34° C．26° D．22°第1題圖第2題圖2．如圖，AB∥CD，∠ABK的角平分線BE的反向延長(zhǎng)線和∠DCK的角平分線CF的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，∠K﹣∠H=27°，則∠K=（）A．76° B．78° C．80° D．82°3．在同一平面內(nèi)，有8條互不重合的直線，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此類(lèi)推，則l1和l8的位置關(guān)系是（）A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．無(wú)法確定4．如圖，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，M，N分別是BA，CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，∠EAM和∠EDN的平分線交于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC=180°；③DE平分∠ADC；④∠F為定值。其中結(jié)論正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．如圖所示，AB∥CD，則∠A+∠E+∠F+∠C等于（）A．180° B．360° C．540° D．720°二、填空題6．平面上不重合的四條直線，可能產(chǎn)生交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)．7．如圖所示，AB∥EF，∠B=35°，∠E=25°，則∠C+∠D的值為．第7題圖第8題圖第9題圖8．如圖所示，AB∥CD，∠E=35°，∠C=20°，則∠EAB的度數(shù)為．9．如圖，AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D=192°，∠B﹣∠D=24°，則∠GEF=．10．已知D是△ABC的邊BC所在直線上的一點(diǎn)，與B，C不重合，過(guò)D分別作DF∥AC交AB所在直接于F，DE∥AB交AC所在直線于E．若∠A=80°，則∠FDE的度數(shù)是．11．學(xué)習(xí)了平行線后，小敏想出了過(guò)已知直線外一點(diǎn)畫(huà)這條直線的平行線的新方法，她是通過(guò)折一張半透明的紙得到的，如圖所示，由操作過(guò)程可知小敏畫(huà)平行線的依據(jù)可以是．（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上）①如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩條直線平行；②同位角相等，兩直線平行；③內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；④同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．12．把一張對(duì)邊互相平行的紙條折成如圖那樣，EF是折痕，若∠EFB=32°，則∠D′FD的度數(shù)為．13．如圖（1）所示為長(zhǎng)方形紙帶，將紙帶沿EF折疊成圖（2），再沿BF折疊成圖（3），繼續(xù)沿EF折疊成圖（4），按此操作，最后一次折疊后恰好完全蓋住∠EFG；整個(gè)過(guò)程共折疊了9次，問(wèn)圖（1）中∠DEF的度數(shù)是．三、解答題14.按要求解答下列問(wèn)題：（1）分別按下列要求作出經(jīng)過(guò)平移后的圖形①把三角形ABC向右平移3格．②把第①題所得圖形向上平移4格．（2）經(jīng)（1）中二次平移后所得的圖形，能通過(guò)三角形ABC一次平移得到嗎？如果你認(rèn)為可以，描述這個(gè)平移過(guò)程．（3）如圖：直線l1，l2表示一條河的兩岸，且l1∥l2，現(xiàn)要在河上建一座橋．橋建在何處才能使從村莊A經(jīng)過(guò)河到村莊B的路程最短？畫(huà)出示意圖，并用平移的原理說(shuō)明理由15．如圖1，MN∥PQ，直線AD與MN、PQ分別交于點(diǎn)A、D，點(diǎn)B在直線PQ上，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AD，垂足為點(diǎn)G．（1）求證：∠MAG+∠PBG=90°；（2）若點(diǎn)C在線段AD上（不與A、D、G重合），連接BC，∠MAG和∠PBC的平分線交于點(diǎn)H，請(qǐng)?jiān)趫D2中補(bǔ)全圖形，猜想并證明∠CBG與∠AHB的數(shù)量關(guān)系；（3）若直線AD的位置如圖3所示，（2）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠CBG與∠AHB的數(shù)量關(guān)系．15．已知，∠AOB=90°，點(diǎn)C在射線OA上，CD∥OE．（1）如圖1，若∠OCD=120°，求∠BOE的度數(shù)；（2）把“∠AOB=90°”改為“∠AOB=120°”，射線OE沿射線OB平移，得O′E，其他條件不變，（如圖2所示），探究∠OCD、∠BO′E的數(shù)量關(guān)系；（3）在（2）的條件下，作PO′⊥OB垂足為O′，與∠OCD的平分線CP交于點(diǎn)P，若∠BO′E=α，請(qǐng)用含α的式子表示∠CPO′（請(qǐng)直接寫(xiě)出答案）．16．如圖1，AB∥CD，E是AB、CD之間的一點(diǎn)．（1）判定∠BAE，∠CDE與∠AED之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）如圖2，若∠BAE、∠CDE的兩條平分線交于點(diǎn)F．直接寫(xiě)出∠AFD與∠AED之間的數(shù)量關(guān)系；（3）將圖2中的射線DC沿DE翻折交AF于點(diǎn)G得圖