湖南省長沙市興聯(lián)學(xué)校2022年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

湖南省長沙市興聯(lián)學(xué)校2022年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)f(x)＝log2x，等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＞0，公比q＝2，若f(a2a4a6a8a10)＝25，則f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2012)＝（

）A．1006×2010

B．1006×2011C．1005×2011

D．1006×2012參考答案：B略2.不等式

的解集是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A3.下面是一段演繹推理：如果直線平行于平面，則這條直線平行于平面內(nèi)的所有直線；已知直線平面，直線平面；所以直線直線，在這個推理中（

）A．大前提正確，結(jié)論錯誤 B．小前提與結(jié)論都是錯誤的C．大、小前提正確，只有結(jié)論錯誤 D．大前提錯誤，結(jié)論錯誤參考答案：D4.在數(shù)列中，，，則的值為

參考答案：115.設(shè)是雙曲線的左右焦點(diǎn)。若在雙曲線上，且,則的長為（

）

參考答案：C略6.已知x，為虛數(shù)單位，且的值為（） A．2 B．4 C．-2 D．0參考答案：B略7.記,那么

（

）（A）（B）

（C）（D）參考答案：B略8.如圖所示，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著方法共有（）種．A．72 B．60 C．48 D．24參考答案：A【考點(diǎn)】D8：排列、組合的實(shí)際應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意，分2種情況討論：若選3種顏色時，就是②④同色，③⑤同色；若4種顏色全用，只能②④或③⑤用一種顏色，其它不相同；求出每種情況的著色方法數(shù)目，由加法原理求解即可．【解答】解：由題意，分2種情況討論：（1）、選用3種顏色時，必須是②④同色，③⑤同色，與①進(jìn)行全排列，涂色方法有C43?A33=24種（2）、4色全用時涂色方法：是②④同色或③⑤同色，有2種情況，涂色方法有C21?A44=48種所以不同的著色方法共有48+24=72種；故選：A．9.已知x可以在區(qū)間[－t，4t](t＞0)上任意取值，則x∈[－t，t]的概率是(

).A．

B．

C．

D．參考答案：B10.已知橢圓的離心率為.雙曲線的漸近線與橢

有四個交點(diǎn),以這四個交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積為16,則橢圓的方程為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知橢圓x2+ky2=3k（k＞0）的一個焦點(diǎn)與拋物線y2=12x的焦點(diǎn)重合，則該橢圓的離心率是．參考答案：【考點(diǎn)】圓錐曲線的共同特征；橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】計算題．【分析】先將橢圓方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由“一個焦點(diǎn)與拋物線y2=12x的焦點(diǎn)重合”得到焦點(diǎn)的x軸上，從而確定a2，b2，再由“c2=a2﹣b2”建立k的方程求解，最后求得該橢圓的離心率．【解答】解：拋物線y2=12x的焦點(diǎn)（3，0）方程可化為．∵焦點(diǎn)（3，0）在x軸上，∴a2=3k，b2=3，又∵c2=a2﹣b2=9，∴a2=12，解得：k=4．=故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)，在研究和應(yīng)用性質(zhì)時必須將方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程再解題．12.設(shè)直線x=t與函數(shù)f（x）=x2，g（x）=lnx的圖象分別交于點(diǎn)M，N，則當(dāng)|MN|達(dá)到最小時t的值為

．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義．【分析】根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)y=f（x）﹣g（x），利用導(dǎo)數(shù)求此函數(shù)的最小值，確定對應(yīng)的自變量x的值，即可得到結(jié)論．【解答】解：設(shè)函數(shù)y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx（x＞0），則y′=2x﹣=，令y′=0得，x=或x=舍去，所以當(dāng)時，y′＜0，函數(shù)在（0，）上為單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)時，y′＞0，函數(shù)在（，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，所以當(dāng)x=時，函數(shù)取得唯一的極小值，即最小值為：=，則所求t的值為，故答案為：．13.若在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取一個數(shù)，在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取一個數(shù)，則使方程有兩個不相等的實(shí)根的概率為

．參考答案：14.已知直線與圓相切，則的值為

.參考答案：略15.已知函數(shù)f(x)對于任意實(shí)數(shù)x都有，且當(dāng)時，，若實(shí)數(shù)a滿足，則a的取值范圍是______．參考答案：【分析】先證明函數(shù)在[0,+∞)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，再利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)解不等式||＜1得解.【詳解】由題得，當(dāng)x≥0時，，因?yàn)閤≥0，所以，所以函數(shù)在[0,+∞上單調(diào)遞增，因?yàn)椋院瘮?shù)是偶函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋詜|＜1，所以-1＜＜1，所以.故答案：【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，考查對數(shù)不等式的解法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.16.已知復(fù)數(shù)表示z的共軛復(fù)數(shù)，則=____________.參考答案：7+i.略17.文星灣大橋的兩邊各裝有10只路燈，路燈公司為了節(jié)約用電，計劃每天22:00后兩邊分別關(guān)掉3只路燈，為了不影響照明，要求關(guān)掉的燈不能相鄰，那么每一邊的關(guān)燈方式有_____________種。參考答案：56略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知二次函數(shù)f（x）=x2+2ax+2a+1，若對任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥1恒成立，求a的范圍．參考答案：【考點(diǎn)】3R：函數(shù)恒成立問題；3W：二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】法一：利用函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，列出不等式組區(qū)間即可．法二：利用恒成立分離a，通過x的范圍討論，轉(zhuǎn)化為基本不等式區(qū)間最值，推出結(jié)果．【解答】（本小題滿分12分）解：法一：根據(jù)題意，得，解得a≥1或0≤a＜1．∴a的范圍為[0，+∞）．法二：若對任意的有f（x）≥1恒成立，則2a（x+1）≥﹣x2對任意的恒成立，當(dāng)x=﹣1時，a∈R，當(dāng)x≠﹣1時恒成立，令，x∈（﹣1，1]，令t=x+1得：，易知ymax=0，故2a≥0，∴a的范圍為[0，+∞）．19.某廠家擬在“五一”節(jié)舉行大型促銷活動，經(jīng)測算某產(chǎn)品銷售價格x（單位：元/件）與每日銷售量y（單位：萬件）滿足關(guān)系式y(tǒng)=+2（x﹣5）2，其中2＜x＜5，a為常數(shù)，已知銷售價格為3元時，每日銷售量10萬件．（1）求a的值；（2）若該商品的成本為2元/件，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．參考答案：【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（1）由f（3）=10代入函數(shù)的解析式，解關(guān)于a的方程，可得a值；（2）商場每日銷售該商品所獲得的利潤=每日的銷售量×銷售該商品的單利潤，可得日銷售量的利潤函數(shù)為關(guān)于x的三次多項(xiàng)式函數(shù)，再用求導(dǎo)數(shù)的方法討論函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)的極大值點(diǎn)，從而得出最大值對應(yīng)的x值．【解答】解：（1）因?yàn)閤=3時，y=10，所以a+8=10，故a=2；（2）由（1）可知，該商品每日的銷售量y=+2（x﹣2）2，所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為f（x）=（x﹣2）[+2（x﹣5）2]=2+2（x﹣2）（x﹣5）2，從而，f′（x）=6（x﹣5）（x﹣3），于是，當(dāng)x變化時，f（x）、f′（x）的變化情況如下表：x（2，3）3（3，5）f'（x）+0﹣f（x）單調(diào)遞增極大值10單調(diào)遞減由上表可得，x=3是函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，5）內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)．所以，當(dāng)x=3時，函數(shù)f（x）取得最大值，且最大值等于10，答：當(dāng)銷售價格為3元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．20.設(shè)函數(shù)f（n）=，其中n∈N*，若有f（n）＞都成立．（1）求正整數(shù)a的最大值a0；（2）證明不等式f（n）＞（其中n∈N*）．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【分析】（1）由題意可得f（1）取得最小值，即有f（1）＞，解不等式可得正整數(shù)a的最小值；（2）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明：＞．注意驗(yàn)證n=1，不等式成立；證明n=k+1，不等式也成立，注意運(yùn)用假設(shè)和不等式的性質(zhì)．【解答】解：（1）函數(shù)f（n）=，其中n∈N*，若有f（n）＞都成立，當(dāng)n=1時，++＞，即＞，即有a＜26，正整數(shù)a的最大值a0=25；（2）下面運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明：＞．①當(dāng)n=1時，++＞成立；②假設(shè)當(dāng)n=k時，不等式成立，即++…+＞，則當(dāng)n=k+1時，++…+=++…++++﹣＞++﹣?，由+=＞，可得+﹣?＞0，所以當(dāng)n=k+1時，不等式也成立．由①②可得，對一切的正整數(shù)n，＞．即：對一切的正整數(shù)n，f（n）＞．21.(本小題8分)已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是、邊長為的菱形，又，且PD=CD，點(diǎn)M、N分別是棱AD、PC的中點(diǎn)．（1）證明：MB平面PAD；（2）求點(diǎn)A到平面PMB的距離．

參考答案：（1）又因?yàn)榈酌鍭BCD是、邊長為的菱形，且M為AD中點(diǎn)，所以.又所以.（2）因?yàn)镸是AD中點(diǎn)，所以點(diǎn)A與D到平面PMB等距離.過點(diǎn)D作于H，由（2）平面PMB平面PAD，所以.故DH是點(diǎn)D到平面PMB的距離.所以點(diǎn)A到平面PMB的距離為.22.（本小題12分）在人們對休閑方式的一次調(diào)查中，共調(diào)查了124人，其中女性70人，男性54人。女性中有43人的休閑方式是看電視，27人的休閑方式是參加體育運(yùn)動