安徽省合肥市教育學(xué)院附屬中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

安徽省合肥市教育學(xué)院附屬中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知集合M={x|log3x≤1}，N={x|x2﹣2x＜0}，則(

) A．M=N B．M∩N=? C．M∩N=R D．N?M參考答案：D考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)；交集及其運(yùn)算．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：解對(duì)數(shù)不等式求得M，解一元二次不等式求得N，從而得到M、N間的關(guān)系．解答： 解：∵集合M={x|log3x≤1}={x|0＜x≤3}，N={x|x2﹣2x＜0}={x|0＜x＜2}，∴N?M，故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)不等式、一元二次不等式的解法，兩個(gè)集合間的包含關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．2.已知定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足，若，則（）A.2 B. C. D.參考答案：C【詳解】故選：C.3.lg﹣lg25=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2參考答案：A【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【分析】直接根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可．【解答】解：lg﹣lg25=lg=﹣2，故選：A4.在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,AC=1,E,F為邊BC的三等分點(diǎn)(E為靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)),則等于（）參考答案：A略5.已知分別為數(shù)列與的前項(xiàng)和，若，則的最小值為（

）A.1023

B.1024

C.1025

D.1026參考答案：B考點(diǎn)：分組求和，裂項(xiàng)相消法求和，等比數(shù)列的和．【名師點(diǎn)睛】數(shù)列求和方法較多，根據(jù)數(shù)列的不同特征應(yīng)采取不同的方法，常用方法有：分組求和法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、并項(xiàng)求和法、倒序相加法．6.從1、2、3、4這4個(gè)數(shù)中，不放回地任取兩個(gè)數(shù)，兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù)的概率是（）

A.

B.

C.

D.參考答案：A略7.命題，命題，真命題的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C由，可知命題為真命題；當(dāng)時(shí)，，則，所以不存在.命題為假命題.所以為真命題.故選C.

8.函數(shù)是【

】. A.最小正周期為的奇函數(shù)

B.最小正周期為的奇函數(shù)

C.最小正周期為的偶函數(shù)

D.最小正周期為的偶函數(shù)參考答案：C易知函數(shù)的定義域?yàn)镽，又，所以f(x)是偶函數(shù)，又函數(shù)的周期為，所以函數(shù)是最小正周期為的偶函數(shù)。9.已知變量與正相關(guān)，且由觀測(cè)數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)，，則由該觀測(cè)數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是（

）A．

B．C．

D．參考答案：A略10.已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)滿足,則的取值范圍是

（

）

A． B． C． D．參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)函數(shù)f（x）=則函數(shù)y=f（x）與y=的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是．參考答案：4【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【專題】作圖題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)y=f（x）==與y=x的圖象，數(shù)形結(jié)合即可知二曲線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【解答】解：在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=f（x）=的圖象與函數(shù)y=的圖象，如下圖所示，由圖知兩函數(shù)y=f（x）與y=的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，考查作圖與識(shí)圖能力，屬于中檔題．12.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S5=3（a2+a8），則的值為．參考答案：【考點(diǎn)】85：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】在等差數(shù)列中，下標(biāo)數(shù)成等差數(shù)列的項(xiàng)也成等差數(shù)列，所以s5=a1+a2+…+a5=5a3，a2+a8=2a5，．【解答】解：∵{an}是等差數(shù)列，∴s5=a1+a2+…+a5=5a3，a2+a8=2a5，又S5=3（a2+a8），∴5a3=3×2a5，∴故答案為13.若實(shí)數(shù)、滿足且的最小值為3，則實(shí)數(shù)=

參考答案：14.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的結(jié)果為

．參考答案：30第一次，i=1，滿足條件，i＜6，i=1+2=3，S=6，第二次，i=3，滿足條件，i＜6，i=3+2=5，S=6+10=16，第三次，i=5，滿足條件，i＜6，i=5+2=7，S=16+14=30，第四次，i=7，不滿足條件i＜6，程序終止，輸出S=30，故答案為：3015.已知函數(shù)f(x)=，若函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值集合為

．參考答案：[﹣20，﹣16]【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】因?yàn)閥=sinx

（x＜1）與y=x無(wú)交點(diǎn)，故只需函數(shù)f（x）=x3﹣9x2+25x+a（x≥1）的圖象與直線y=x有三個(gè)不同的公共點(diǎn)即可，只需g（x）=x3﹣9x2+24x+a（x≥1）與x軸有3個(gè)交點(diǎn)即可，【解答】解：因?yàn)閥=sinx

（x＜1）與y=x無(wú)交點(diǎn)，故只需函數(shù)f（x）=x3﹣9x2+25x+a（x≥1）的圖象與直線y=x有三個(gè)不同的公共點(diǎn)即可，令g（x）=x3﹣9x2+24x+a（x≥1），g′（x）=3x2﹣18x+24=3（x2﹣6x+8）=2（x﹣2）（x﹣4），當(dāng)x∈（1，2），（4，+∞）時(shí)g（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（2，4）時(shí)g（x）單調(diào)遞減，依題意只需g（x）=x3﹣9x2+24x+a（x≥1）與x軸有3個(gè)交點(diǎn)即可，及g（1）=16+a≤0，g（2）=20+a≥0，∴﹣20≤a≤﹣16．故答案為[﹣20，﹣16]【點(diǎn)評(píng)】題主要考查函數(shù)的圖象的交點(diǎn)以及數(shù)形結(jié)合方法，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，屬于基礎(chǔ)題．16.對(duì)于正項(xiàng)數(shù)列，定義Hn＝為的“光陰”值，現(xiàn)知某數(shù)列的“光陰”值為Hn＝，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______．參考答案：17.過(guò)橢圓上一點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，設(shè)的斜率分別為，若點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且則此橢圓的離心率為_(kāi)__________.參考答案：設(shè),則，所以，又，兩式相減得，即，所以，即，整理得，即，所以離心率。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（13分）

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(-1,0)、B(1,0),動(dòng)點(diǎn)C滿足條件：△ABC的周長(zhǎng)為.記動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線W.(Ⅰ)求W的方程；(Ⅱ)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,）且斜率為k的直線l與曲線W有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q，求k的取值范圍；

（Ⅲ）已知點(diǎn)M（），N（0,1），在(Ⅱ)的條件下，是否存在常數(shù)k，使得向量與共線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案：解析：(Ⅰ)設(shè)C（x,y）,∵,,∴,∴由定義知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓除去與x軸的兩個(gè)交點(diǎn).∴.

∴.∴W:

.……………2分(Ⅱ)設(shè)直線l的方程為，代入橢圓方程，得.

整理，得.

①…………5分

因?yàn)橹本€l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于

，解得或.∴滿足條件的k的取值范圍為…………7分

（Ⅲ）設(shè)P（x1,y1）,Q(x2,y2),則＝（x1+x2，y1+y2),

由①得.

②

又

③

因?yàn)?，，所?………11分

所以與共線等價(jià)于.

將②③代入上式，解得.

所以不存在常數(shù)k，使得向量與共線.……13分19.已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，，，在數(shù)列{bn}中，且。（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列前2n項(xiàng)中所有奇數(shù)項(xiàng)的和Tn.參考答案：∵∴兩式相減得又，，

∴是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列∴∵（）兩式相減得（），又由此可得是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，是首項(xiàng)為3，公差為3的等差數(shù)列，所以令，前項(xiàng)中所有奇數(shù)項(xiàng)和為則∴20.設(shè)函數(shù)，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)證明：曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．參考答案：略21.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1為矩形，AB=2，AA1=2，D是AA1的中點(diǎn)，BD與AB1交于點(diǎn)O，且CO⊥ABB1A1平面．（1）證明：BC⊥AB1；（2）若OC=OA，求直線CD與平面ABC所成角的正弦值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；平面與平面垂直的性質(zhì)．【專題】綜合題；空間位置關(guān)系與距離；空間角．【分析】（Ⅰ）要證明BC⊥AB1，可證明AB1垂直于BC所在的平面BCD，已知CO垂直于側(cè)面ABB1A1，所以CO垂直于AB1，只要在矩形ABB1A1內(nèi)證明BD垂直于AB1即可，可利用角的關(guān)系加以證明；（Ⅱ）分別以O(shè)D，OB1，OC所在的直線為x，y，z軸，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出，平面ABC的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可得出結(jié)論．【解答】（I）證明：由題意，因?yàn)锳BB1A1是矩形，D為AA1中點(diǎn)，AB=2，AA1=2，AD=，所以在直角三角形ABB1中，tan∠AB1B==，在直角三角形ABD中，tan∠ABD==，所以∠AB1B=∠ABD，又∠BAB1+∠AB1B=90°，∠BAB1+∠ABD=90°，所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°，即BD⊥AB1，又因?yàn)镃O⊥側(cè)面ABB1A1，AB1?側(cè)面ABB1A1，所以CO⊥AB1所以，AB1⊥面BCD，因?yàn)锽C?面BCD，所以BC⊥AB1．（Ⅱ）解：如圖，分別以O(shè)D，OB1，OC所在的直線為x，y，z軸，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，﹣，0），B（﹣，0，0），C（0，0，），B1（0，，0），D（，0，0），又因?yàn)?2，所以所以=（﹣，，0），=（0，，），=（，，），=（，0，﹣），設(shè)平面ABC的法向量為=（x，y，z），則根據(jù)可得=（1，，﹣）是平面ABC的一個(gè)法向量，設(shè)直線CD與平面ABC所成角為α，則sinα=，所以直線CD與平面ABC所成角的正弦值為．…【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，考查線面角，考查向量方法的運(yùn)用，屬于中檔題．22.某連鎖分店銷售某種商品，每件商品的成本為4元，并且每件商品需向總店交a（1≤a≤3）元的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件商品的售價(jià)為x（7≤x≤9）元時(shí)，一年的銷售量為（10﹣x）2萬(wàn)件．（Ⅰ）求該連鎖分店一年的利潤(rùn)L（萬(wàn)元）與每件商品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式L（x）；（Ⅱ）當(dāng)每件商品的售價(jià)為多少元時(shí)，該連鎖分店一年的利潤(rùn)L最大，并求出L的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用；函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）根據(jù)條件建立利潤(rùn)L（萬(wàn)元）與每件商品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式L（x）；（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)求利潤(rùn)函數(shù)的最值即可．【解答】解：（Ⅰ）由題得該連鎖分店一年的利潤(rùn)L（萬(wàn)元）與售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為L(zhǎng)（x）=（x﹣4﹣a）（10﹣x）2，x∈[7，9]．（Ⅱ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)L'（x）=（10﹣x）2﹣2（x﹣4﹣a）（10﹣x）=（10﹣x）（18+2a﹣3x），令