2021年河北省石家莊市正定縣第三中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

2021年河北省石家莊市正定縣第三中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則z=x﹣2y的最小值為（）A．﹣7 B．﹣3 C．1 D．9參考答案：A【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃．【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線(xiàn)方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得A（3，5），化目標(biāo)函數(shù)z=x﹣2y為，由圖可知，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)A時(shí)，直線(xiàn)在y軸上的截距最大，z有最小值為﹣7．故選：A．2.某城市的汽車(chē)牌照號(hào)碼由2個(gè)英文字母后接4個(gè)數(shù)字組成，其中4個(gè)數(shù)字互不相同的牌照號(hào)碼共有（

）A.個(gè) B．個(gè)

C．個(gè)

D．個(gè)參考答案：A3.若是平面外一點(diǎn)，則下列命題正確的是--------------------------------------（

）A、過(guò)只能作一條直線(xiàn)與平面相交

B、過(guò)可作無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與平面垂直C、過(guò)只能作一條直線(xiàn)與平面平行

D、過(guò)可作無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與平面平行參考答案：D略4.設(shè)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，則是為函數(shù)的極值點(diǎn)的(

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

參考答案：B略5.已知，則（

）

（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B略6.今年全國(guó)高考,某校有3000人參加考試，其數(shù)學(xué)考試成績(jī)~(，試卷滿(mǎn)分150分),統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績(jī)高于130分的人數(shù)為100，則該校此次數(shù)學(xué)考試成績(jī)高于100分且低于130分的學(xué)生人數(shù)約為（

）A.1300 B.1350 C.1400 D.1450參考答案：C【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性計(jì)算，即【詳解】100分是數(shù)學(xué)期望，由題意成績(jī)高于130分的有100人，則低于70分的也有100人，70到130的總?cè)藬?shù)為3000－200＝2800，因此成績(jī)高于100分低于130分的人數(shù)為．故選C．7.已知（1+ax）（1+x）5的展開(kāi)式中x2的系數(shù)為5，則a=（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1參考答案：D【考點(diǎn)】DB：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．【分析】由題意利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求得展開(kāi)式中x2的系數(shù)為+a?=5，由此解得a的值．【解答】解：已知（1+ax）（1+x）5=（1+ax）（1+x+x2+x3+x4+x5）展開(kāi)式中x2的系數(shù)為+a?=5，解得a=﹣1，故選：D．8.如果函數(shù)y=|x|﹣2的圖象與曲線(xiàn)C：x2+y2=λ恰好有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（）A．{2}∪（4，+∞） B．（2，+∞） C．{2，4} D．（4，+∞）參考答案：A【考點(diǎn)】J8：直線(xiàn)與圓相交的性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意畫(huà)出函數(shù)y=|x|﹣2與曲線(xiàn)C：x2+y2=λ的圖象，抓住兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，當(dāng)圓O與兩射線(xiàn)相切時(shí)，兩函數(shù)圖象恰好有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，過(guò)O作OC⊥AB，由三角形AOB為等腰直角三角形，利用三線(xiàn)合一得到OC為斜邊AB的一半，利用勾股定理求出斜邊，即可求出OC的長(zhǎng)，平方即可確定出此時(shí)λ的值；當(dāng)圓O半徑為2時(shí)，兩函數(shù)圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，半徑大于2時(shí)，恰好有2個(gè)公共點(diǎn)，即半徑大于2時(shí)，滿(mǎn)足題意，求出此時(shí)λ的范圍，即可確定出所有滿(mǎn)足題意λ的范圍．【解答】解：根據(jù)題意畫(huà)出函數(shù)y=|x|﹣2與曲線(xiàn)C：x2+y2=λ的圖象，如圖所示，當(dāng)AB與圓O相切時(shí)兩函數(shù)圖象恰好有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，過(guò)O作OC⊥AB，∵OA=OB=2，∠AOB=90°，∴根據(jù)勾股定理得：AB=2，∴OC=AB=，此時(shí)λ=OC2=2；當(dāng)圓O半徑大于2，即λ＞4時(shí)，兩函數(shù)圖象恰好有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，綜上，實(shí)數(shù)λ的取值范圍是{2}∪（4，+∞）．故選A9.函數(shù)f（x）=Asin（ωx+θ）（A＞0，ω＞0）的部分圖象如圖所示，則f（x）=（）A．sin（2x﹣）B．sin（2x﹣）C．sin（4x+）D．sin（4x+）參考答案：B由逐個(gè)檢驗(yàn)知.10.在三棱錐S-ABC中，，二面角的大小為60°，則三棱錐S-ABC外接球的表面積是（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】取的中點(diǎn)為，由二面角平面角的定義可知；根據(jù)球的性質(zhì)可知若和中心分別為，則平面，平面，根據(jù)已知的長(zhǎng)度關(guān)系可求得，在直角三角形中利用勾股定理可求得球的半徑，代入球的表面積公式可得結(jié)果.【詳解】取的中點(diǎn)為由和都是正三角形，得，則是二面角的平面角，即設(shè)球心為，和中心分別為由球的性質(zhì)可知：平面，平面又，

，外接球半徑：外接球的表面積為：本題正確選項(xiàng)：D【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球的表面積的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠利用球的性質(zhì)確定球心的大致位置，從而可利用勾股定理求解出球的半徑.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)____．參考答案：9【分析】將二項(xiàng)式表示為，然后利用二項(xiàng)式定理寫(xiě)出其通項(xiàng)，令的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，再代入通項(xiàng)即可得出項(xiàng)的系數(shù)?！驹斀狻?，所以，的展開(kāi)式通項(xiàng)為，令，得，所以，展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為，故答案為：。【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式中指定項(xiàng)的系數(shù)，考查二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)的應(yīng)用，這類(lèi)問(wèn)題的求解一般要將展開(kāi)式的通項(xiàng)表示出來(lái)，通過(guò)建立指數(shù)有關(guān)的方程來(lái)求解，考查運(yùn)算能力，屬于中等題。12.已知長(zhǎng)方體的三條面對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)分別為5，4，x，則x的取值范圍為 .參考答案：

13.已知,且,則的最小值是

▲

．參考答案：【分析】由基本不等式可得，設(shè)，，利用函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?且，所以，設(shè)，則，，，即，，設(shè)，，在上遞減，，即的最小值是，故答案為.

14.已知正數(shù)x，y滿(mǎn)足x+8y=xy，則x+2y的最小值為．參考答案：18【考點(diǎn)】基本不等式．【分析】將x+8y=xy，轉(zhuǎn)化為+=1，再由x+2y=（x+y）（+）展開(kāi)后利用基本不等式可求出x+2y的最小值．【解答】解：∵正數(shù)x，y滿(mǎn)足x+8y=xy，∴+=1，則x+2y=（x+2y）（+）=++10≥2+10=18，當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)”=“成立，故答案為：18．15.已知拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線(xiàn)的交點(diǎn)，若為正三角形，則雙曲線(xiàn)的離心率是____參考答案：分析：求得拋物線(xiàn)y2=4x的準(zhǔn)線(xiàn)為x=﹣1，焦點(diǎn)F（1，0），把x=﹣1代入雙曲求得y的值，再根據(jù)△FAB為正三角形，可得tan30°=，解得a的值，可得的值．詳解：已知拋物線(xiàn)y2=4x的準(zhǔn)線(xiàn)為x=﹣1，焦點(diǎn)F（1，0），把x=﹣1代入雙曲線(xiàn)求得y=±，再根據(jù)△FAB為正三角形，可得tan30°==，解得a=．故c2=+4，∴，故答案為：．點(diǎn)睛：（1）本題主要考查橢圓、拋物線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)求離心率常用的有直接法和方程法，本題利用的是直接法，直接先求a和c的值,再求離心率.16.過(guò)點(diǎn)A(2，0)的直線(xiàn)把圓x2+y2≤1（區(qū)域）分成兩部分（弓形），它們所包含的最大圓的直徑之比是1∶2，則此直線(xiàn)的斜率是

。參考答案：±17.下列命題：①設(shè)a，b是非零實(shí)數(shù)，若a＜b，則ab2＜a2b；②若a＜b＜0，則；③函數(shù)y=的最小值是2；④若x、y是正數(shù)，且+=1，則xy有最小值16；⑤已知兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足+=1，則x+y的最小值是．其中正確命題的序號(hào)是．參考答案：②④【考點(diǎn)】不等式的基本性質(zhì)；基本不等式．【專(zhuān)題】應(yīng)用題；轉(zhuǎn)化思想；定義法；不等式．【分析】①的結(jié)論不成立，舉出反例即可；②由同號(hào)不等式取倒數(shù)法則，知②成立；③④⑤分別利用基本不等式即可判斷．【解答】解：①設(shè)a，b是非零實(shí)數(shù)，若a＜b，則ab2＜a2b，此結(jié)論不成立，反例：令a=﹣10，b=﹣1，則ab2=﹣10＞a2b=﹣100，故①不成立；②若a＜b＜0，由同號(hào)不等式取倒數(shù)法則，知＞，故②成立；③函數(shù)y==+≥2的前提條件是=1，∵≥2，∴函數(shù)y的最小值不是2，故③不正確；④∵x、y是正數(shù)，且+=1，∴1=+≥2，∴≤∴xy≥16，故④正確，⑤兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足+=1，∴=1﹣=，即y=＞0，∴x＞2，∴y+x=x+=x﹣2++2=x﹣2++3≥2+3，當(dāng)且僅當(dāng)x=2+，y=+1時(shí)取等號(hào)，故⑤不正確，故答案為：②④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真假判斷，解題時(shí)要注意同號(hào)不等式取倒數(shù)法則、均值不等式成立的條件等知識(shí)點(diǎn)的靈活運(yùn)用．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，在正方體中，已知是棱的中點(diǎn)．求證：（1）平面，（2）直線(xiàn)∥平面；參考答案：證明：（1）正方體中，，∴平面，∵平面，∴，又∵，∴平面，（2）如圖，連結(jié)交于，連結(jié)，

∵在正方體中，∴是的中點(diǎn)，又∵是棱的中點(diǎn)，∴∥，又∵平面，平面，∴直線(xiàn)∥平面；略19.在直角坐標(biāo)系中,曲線(xiàn)的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,圓的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)為曲線(xiàn)上任意一點(diǎn),過(guò)作圓的切線(xiàn),切點(diǎn)為求最小值.參考答案：在直角坐標(biāo)系中,曲線(xiàn)的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,圓的極坐標(biāo)方程為.(1)將t=x+3帶入到中可得的普通方程為x+y+4=0將=展開(kāi)得將===代入上面的式子得(2)設(shè)M的坐標(biāo)為(m,-4-m),則==所以當(dāng)m=-2時(shí)的最小值為本題主要考查參數(shù)方程與極坐標(biāo)，考查了參直與極直互化、三角函數(shù)、圓的性質(zhì).(1)消去參數(shù)t可得的普通方程；將C2的極坐標(biāo)方程化簡(jiǎn)可得，再利用公式==代入可得C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)M的坐標(biāo)為(m,-4-m),利用圓的性質(zhì)可得=，則結(jié)果易得.20.已知函數(shù).（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（II）若函數(shù)上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的最小值；（III）若，使成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：解析：由已知函數(shù)的定義域均為,且.……1分（Ⅰ）函數(shù),當(dāng)且時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是,增區(qū)間是.

………………3分（Ⅱ）因f(x)在上為減函數(shù)，故21.荔灣西村在11月至12月的空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)中獲得一組樣本數(shù)據(jù)，現(xiàn)根據(jù)國(guó)家的PM2.5空氣污染指數(shù)等級(jí)將監(jiān)測(cè)結(jié)果分成如下五組：第一組“優(yōu)秀[0,50)”、第二組“良好[50,100)”、第三組“輕度污染[100,150)”、第四組“中度污染[150,200)”和第五組“重度污染[200,250]”，已知第一組至第五組數(shù)據(jù)的頻率之比為，第一組數(shù)據(jù)的頻數(shù)是4.(I)求出樣本容量，并估計(jì)西村11月至12月空氣質(zhì)量為優(yōu)良等級(jí)（優(yōu)秀或良好）的概率；(II)從空氣質(zhì)量等級(jí)是優(yōu)秀等級(jí)或重度污染等級(jí)的數(shù)據(jù)中抽取2份數(shù)據(jù)，求抽出的兩份數(shù)據(jù)都是優(yōu)秀等級(jí)的概率.參考答案：解：(I)設(shè)樣本容量為，則，解得， ……2分空氣質(zhì)量為優(yōu)秀或良好等級(jí)的頻率為.

……5分(II)測(cè)試結(jié)果為優(yōu)秀等級(jí)[0,50)的有天，設(shè)為

……6分測(cè)試結(jié)果為重度污染等級(jí)[200,250]的有天，設(shè)為

……7分

設(shè)抽取的兩份數(shù)據(jù)為，則共有如下15種情況：、、、、、、、、、、、、、、，

……9分兩份數(shù)據(jù)都是優(yōu)秀等級(jí)的有如下6種情況：、、、、、

……10分設(shè)“兩份數(shù)據(jù)都是優(yōu)秀等級(jí)”為事件A，則.答：抽出的兩份數(shù)據(jù)都是優(yōu)秀等級(jí)的概率為

……12分略22.現(xiàn)有一張長(zhǎng)80厘米、寬60厘米的長(zhǎng)方形鐵皮，準(zhǔn)備用它做成一只無(wú)蓋長(zhǎng)方體鐵皮盒，要求材料利用率為l00％，不考慮焊接處損失．方案一：如圖(1)，從右側(cè)兩個(gè)角上剪下兩個(gè)小正方形，焊接到左側(cè)中聞，沿虛線(xiàn)折起，求此時(shí)鐵皮盒的體積；方案二：如圖(2)，若從長(zhǎng)方形的一個(gè)角上剪