2021年安徽省合肥市第七十八中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

2021年安徽省合肥市第七十八中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知圓與相外切，則A．

B．

C．

D．參考答案：D略2.一批長(zhǎng)400cm的條形鋼材，須將其截成長(zhǎng)518mm與698mm的兩種毛坯，則鋼材的最大利用率為：A.

B.

C.

D.參考答案：B3.等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前9項(xiàng)的和等于

A.66

B99

C.144

D.297參考答案：B4.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若在直線（其中）上存在點(diǎn)P，使線段PF1的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)F2，則橢圓離心率的取值范圍是(

)A. B. C. D.參考答案：C分析】由題意得，，設(shè)點(diǎn)，由中點(diǎn)公式可得線段的中點(diǎn)，可得線段的斜率與的斜率之積等于，可得，可得e的范圍.【詳解】解：由題意得，，設(shè)點(diǎn)，則由中點(diǎn)公式可得線段的中點(diǎn)，線段的斜率與的斜率之積等于，即，，，，，或舍去，．又橢圓的離心率

，故，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的離心率的相關(guān)問題，根據(jù)題意列出不等式是解題的關(guān)鍵.5.過雙曲線的右焦點(diǎn)作直線交曲線于A、B兩點(diǎn),若則這樣的直線存在（

）A.

0條

B.1條

C.2條

D.3條參考答案：B6.設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)分別的a,b,c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r=；類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體S-ABC的四個(gè)面的面積分別為，內(nèi)切球的半徑為R，四面體P-ABC的體積為V,則R等于A

B

C

D

參考答案：C略7.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是、，其一條漸近線方程為，點(diǎn)在雙曲線上.則·＝

(

)A.－12

B.

－2

C.

0

D.4參考答案：C略8.設(shè)、是定義域?yàn)镽的恒大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且，則當(dāng)時(shí)有(

)A.

B.C.

D.參考答案：D9.已知f（x）+f（1﹣x）=2，an=f（0）+f（）+…+f（）+f（1）（n∈N*），則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為（）A．a(chǎn)n=n﹣1 B．a(chǎn)n=n C．a(chǎn)n=n+1 D．a(chǎn)n=n2參考答案：C【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【專題】整體思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由f（x）+f（1﹣x）=2，an=f（0）+f（）+…+f（）+f（1），“倒敘相加”即可得出．【解答】解：∵f（x）+f（1﹣x）=2，an=f（0）+f（）+…+f（）+f（1），∴2an=[f（0）+f（1）]+[f（）+f（）]+…+[f（1）+f（0）]=2（n+1），∴an=n+1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列“倒敘相加”求和，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．10.已知，則A. B. C. D.參考答案：B【分析】運(yùn)用中間量比較，運(yùn)用中間量比較【詳解】則．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)和對(duì)數(shù)大小的比較，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取中間變量法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn、Tn，若=，則=．參考答案：【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等差數(shù)列的性質(zhì)及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，由等差數(shù)列中S2n﹣1=（2n﹣1）?an，我們可得，，則=，代入若=，即可得到答案．【解答】解：∵在等差數(shù)列中S2n﹣1=（2n﹣1）?an，∴，，則=，又∵=，∴=即=故答案為：【點(diǎn)評(píng)】在等差數(shù)列中，S2n﹣1=（2n﹣1）?an，即中間項(xiàng)的值，等于所有項(xiàng)值的平均數(shù)，這是等差數(shù)列常用性質(zhì)之一，希望大家牢固掌握．12.設(shè)點(diǎn)為函數(shù)與圖象的公共點(diǎn)，以為切點(diǎn)可作直線與兩曲線都相切，則實(shí)數(shù)的最大值為

．參考答案：13.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，0，2），B（2，1，0），C（0，a，1），若AB⊥AC，則實(shí)數(shù)a的值為．參考答案：﹣1【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算．【分析】先利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算法則得到=（1，1，﹣2），=（﹣1，a，﹣1），再由向量垂直的性質(zhì)能求出a．【解答】解：A（1，0，2），B（2，1，0），C（0，a，1），=（1，1，﹣2），=（﹣1，a，﹣1），∵AB⊥AC，∴=﹣1+a+2=0，解得a=﹣1．故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量垂直的性質(zhì)的合理運(yùn)用．14.在正方體中，與平面所成角的正弦值為

．參考答案：略15.過點(diǎn)、的直線的斜率為______________．參考答案：2略16.已知菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，沿對(duì)角線AC折起，使二面角B﹣AC﹣D為60°，則點(diǎn)B到△ACD所在平面的距離為．參考答案：【考點(diǎn)】MK：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算．【分析】由題意畫出圖形，利用折疊前后的量的關(guān)系可得∠BGD為二面角B﹣AC﹣D的平面角，在平面BGD中，過B作BO⊥DG，垂足為O，由面面垂直的性質(zhì)可得BO為B到△ACD所在平面的距離．然后求解直角三角形得答案．【解答】解：如圖1，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，連接AC，BD，交于G，則BG⊥AC，DG⊥AC，且BG=AG=．沿對(duì)角線AC折起，使二面角B﹣AC﹣D為60°，如圖2，由BG⊥AC，DG⊥AC，可知∠BGD為二面角B﹣AC﹣D的平面角等于60°．且AC⊥平面BGD，又AC?平面ACD，則平面BGD⊥平面ADC，平面BGD∩平面ADC=DG，在平面BGD中，過B作BO⊥DG，垂足為O，則BO⊥平面ADC，即BO為B到△ACD所在平面的距離．在Rt△BOG中，由BG=，∠BGO=60°，得BO=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中點(diǎn)線面間距離的計(jì)算，考查空間想象能力與思維能力，關(guān)鍵是明確折疊問題折疊前后的變量與不變量，是中檔題．17.下列命題①“am2<bm2”是“a<b”的充分必要條件.②“矩形的兩條對(duì)角線相等”的否命題為假.③在中，“”是三個(gè)角成等差數(shù)列的充要條件.④中,若,則為直角三角形.判斷錯(cuò)誤的有___________參考答案：

①④三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.袋中有大小相同的紅、黃兩種顏色的球各1個(gè)，從中任取1只，有放回地抽取3次．求：（1）3只全是紅球的概率；（2）3只顏色全相同的概率；（3）3只顏色不全相同的概率。

參考答案：19.（本小題滿分12分）過軸上動(dòng)點(diǎn)引拋物線的兩條切線、，、為切點(diǎn)．（1）若切線，的斜率分別為和，求證：為定值，并求出定值；（2）求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）當(dāng)最小時(shí)，求的值．參考答案：（1），，即，即，同理，所以。聯(lián)立PQ的直線方程和拋物線方程可得：，所以，所以……6分（2）因?yàn)?，所以直線恒過定點(diǎn)…………8分（3），所以，設(shè)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，即。因?yàn)橐驗(yàn)樗浴?2分20.（本小題滿分12分）某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的情況，采用分層抽樣的方法，收集300位學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)（單位:小時(shí)）（Ⅰ）應(yīng)收集多少位女生樣本數(shù)據(jù)？（Ⅱ）根據(jù)這300個(gè)樣本數(shù)據(jù)，得到學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為：.估計(jì)該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4個(gè)小時(shí)的概率.（Ⅲ）在樣本數(shù)據(jù)中，有60位女生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4個(gè)小時(shí).請(qǐng)完成每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)”.附：參考答案：21.20名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)（單位：分）的頻率分布直方圖如圖：（Ⅰ）求頻率分布直方圖中a的值；（Ⅱ）分別求出成績(jī)落在[50，60）與[60，70）中的學(xué)生人數(shù)；（Ⅲ）從成績(jī)?cè)赱50，70）的學(xué)生任選2人，求此2人的成績(jī)都在[60，70）中的概率．參考答案：【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式；頻率分布直方圖．【分析】（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖求出a的值；（Ⅱ）由圖可知，成績(jī)?cè)赱50，60）和[60，70）的頻率分別為0.1和0.15，用樣本容量20乘以對(duì)應(yīng)的頻率，即得對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)的人數(shù)，從而求出所求．（Ⅲ）分別列出滿足[50，70）的基本事件，再找到在[60，70）的事件個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概率公式計(jì)算即可．【解答】解：（Ⅰ）根據(jù)直方圖知組距=10，由（2a+3a+6a+7a+2a）×10=1，解得a=0.005．（Ⅱ）成績(jī)落在[50，60）中的學(xué)生人數(shù)為2×0.005×10×20=2，成績(jī)落在[60，70）中的學(xué)生人數(shù)為3×0.005×10