2021年廣東省湛江市郭屋中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

2021年廣東省湛江市郭屋中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.命題“若，則是直角三角形”與它的逆命題、否命題、逆否命題這四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．

0

B.

1

C.

2

D.

3參考答案：C2.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入A的值為2，則輸出的P值為()A．2

B．3C．4

D．5參考答案：C3.(本小題滿分12分)已知，其中是自然常數(shù)，

(1)討論時(shí),的單調(diào)性、極值；

(2)求證：在（1）的條件下，；(3)是否存在實(shí)數(shù)，使的最小值是3，如果存在，求出的值；如果不存在，說(shuō)明理由。參考答案：解（1）

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為單調(diào)遞增的極小值為-----------------------------3分（2）的極小值，即在的最小值為1

令又

當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí)，--------------------7分（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使有最小值3，①當(dāng)時(shí)，由于，則函數(shù)是上的增函數(shù)解得（舍去）②當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，此時(shí)是減函數(shù)當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是增函數(shù)略4.以下給出的是計(jì)算的值的一個(gè)程序框圖（如圖所示），其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是（

）A．i>10

B．i<10

C．i<20

D．I>20參考答案：A5.在中，角(

)A.1:2:3

B.1:2

C.

D.參考答案：C6.已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，Sn是{an}的前n項(xiàng)和，且，則數(shù)列{}的前5項(xiàng)和為（）A．或 B．或 C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由已知式子可得數(shù)列{an}的公比，進(jìn)而可得等比數(shù)列{}的首項(xiàng)為1，公比為±，由求和公式可得．【解答】解：∵，∴S8=17S4，∴=16，∴公比q滿足q4=16，∴q=2或q=﹣2，∴等比數(shù)列{}的首項(xiàng)為1，公比為±，當(dāng)公比為時(shí)，數(shù)列{}的前5項(xiàng)和為=；當(dāng)公比為﹣時(shí)，數(shù)列{}的前5項(xiàng)和為=故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的求和公式，涉及分類討論的思想，屬中檔題．7.從1，2，3，4，5，6，7這七個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù)，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為

（）

A．432

B．288

C．216

D．108參考答案：C8.袋中有大小相同的5個(gè)球，分別標(biāo)有1，2，3，4，5五個(gè)號(hào)碼，現(xiàn)在有放回抽取的條件下依次取出兩個(gè)球，設(shè)兩個(gè)球號(hào)碼之和為隨機(jī)變量ξ，則ξ所有可能取值的個(gè)數(shù)是（）A．5 B．9 C．10 D．25參考答案：B【考點(diǎn)】D1：分類加法計(jì)數(shù)原理；D9：排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題．【分析】由題意，這是有放回抽樣，將號(hào)碼之和可能的情況列舉可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，分析可得，這是有放回抽樣，號(hào)碼之和可能的情況為：2、3、4、5、6、7、8、9、10，共9種；故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查列舉法的運(yùn)用，難度不大，注意又放回與不放回抽樣的區(qū)別．9.（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.【詳解】本題選D.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.10.“a＝0”是“函數(shù)y＝ln|x－a|為偶函數(shù)”的()A．充要條件

B．充分不必要條件C．必要不充分條件

D．既不充分又不必要條件參考答案：A若，則函數(shù)是偶函數(shù)；若函數(shù)是偶函數(shù)，則對(duì)定義域內(nèi)任意x恒成立；即恒成立；所以恒成立不恒成立，舍去；所以故選A.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，12名同學(xué)分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖：則這些分?jǐn)?shù)的中位數(shù)是．參考答案：80【考點(diǎn)】莖葉圖．【分析】根據(jù)莖葉圖求出中位數(shù)即可．【解答】解：由莖葉圖得這組數(shù)據(jù)是：68，69，72，75，78，80，80，83，83，88，91，92，最中間的2個(gè)數(shù)是80，80，故中位數(shù)是：80，故答案為：80．12.化簡(jiǎn)=__________參考答案：2513.甲、乙、丙、丁四位足球運(yùn)動(dòng)員中有三人分別獲得金球獎(jiǎng)、銀球獎(jiǎng)、銅球獎(jiǎng)，另外一人未獲獎(jiǎng)．甲說(shuō)：“乙獲獎(jiǎng)了．”乙說(shuō)：“丙獲得了金球獎(jiǎng)．”丙說(shuō)：“丁沒(méi)有獲獎(jiǎng)．”如果甲、乙、丙中有一人獲得了金球獎(jiǎng)，而且只有獲得金球獎(jiǎng)的那個(gè)人說(shuō)的是真話，則獲得金球獎(jiǎng)的運(yùn)動(dòng)員是______．參考答案：甲【分析】根據(jù)甲、乙、丙中有一人獲得了金球獎(jiǎng)，而且只有獲得金球獎(jiǎng)的那個(gè)人說(shuō)的是真話，分別分析甲乙丙獲得金獎(jiǎng)的情況即可得解.【詳解】如果甲獲得金球獎(jiǎng)，根據(jù)他們的說(shuō)話可得：甲獲得金獎(jiǎng)，乙獲獎(jiǎng)了，丙沒(méi)有獲得金球獎(jiǎng)，丁獲獎(jiǎng)了，滿足題意；如果乙獲得金球獎(jiǎng)，乙說(shuō)的真話，甲說(shuō)的假話，但是甲說(shuō)的“乙獲獎(jiǎng)了”矛盾，不合題意；如果丙獲得金球獎(jiǎng)，丙說(shuō)的真話，乙說(shuō)的假話，但是乙說(shuō)“丙獲得了金球獎(jiǎng)”矛盾，不合題意；所以獲得金球獎(jiǎng)的運(yùn)動(dòng)員是甲.故答案為：甲【點(diǎn)睛】此題考查邏輯推理，根據(jù)題意分類討論分別辨析，關(guān)鍵在于通過(guò)推出的矛盾排除得解.14.經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(－2，m)、N(m，4)的直線的斜率等于1，則m的值為_(kāi)_________．參考答案：1經(jīng)過(guò)點(diǎn)、的直線斜率為1，∴，解得：．故答案為：1．15.已知實(shí)數(shù)滿足則的取值范圍是________．參考答案：[-5,7]16.已知橢圓的右焦點(diǎn)為F（3，0），過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)．若線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣1），則橢圓的方程為

．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），代入橢圓的方程，兩式相減，根據(jù)線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣1），求出斜率，進(jìn)而可得a，b的關(guān)系，根據(jù)右焦點(diǎn)為F（3，0），求出a，b的值，即可得出橢圓的方程．【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，，兩式相減可得，，∵線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣1），∴=，∵直線的斜率為=，∴=，∵右焦點(diǎn)為F（3，0），∴a2﹣b2=9，∴a2=18，b2=9，∴橢圓方程為：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．17.已知甲箱子里裝有3個(gè)白球、2個(gè)黑球，乙箱子里裝有2個(gè)白球、2個(gè)黑球，從這兩個(gè)箱子里分別隨機(jī)摸出1個(gè)球，則恰有一個(gè)白球的概率為_(kāi)_________.參考答案：【分析】通過(guò)分析恰有一個(gè)白球分為兩類：“甲中一白球乙中一黑球”，“甲中一黑球乙中一白球”，于是分別計(jì)算概率相加即得答案.【詳解】恰有一個(gè)白球分為兩類：甲中一白球乙中一黑球，甲中一黑球乙中一白球。甲中一白球乙中一黑球概率為：，甲中一黑球乙中一白球概率為：，故所求概率為.【點(diǎn)睛】本題主要考查乘法原理和加法原理的相關(guān)計(jì)算，難度不大，意在考查學(xué)生的分析能力，計(jì)算能力.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分)如圖，已知兩個(gè)正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB，DF的中點(diǎn)。用反證法證明：直線ME與BN是兩條異面直線。

參考答案：證明：假設(shè)直線ME與BN共面，

則平面MBEN，且平面MBEN與平面DCEF交于EN，由已知，兩正方形不共面，故平面DCEF.又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF.而EN為平面MBEN與平面DCEF的交線，所以AB∥EN.又AB∥CD∥EF,所以EN∥EF，這與矛盾，故假設(shè)不成立。

所以ME與BN不共面，它們是異面直線。

--12分19.（本小題滿分12分）如圖在四棱錐P—ABCD中底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F．（1）求證：PA∥平面EDB；（2）求證：PB⊥平面EFD；（3）求二面角C-PB-D的大?。?/p>

參考答案：解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC=1（1）證明：連結(jié)AC，AC交BD于點(diǎn)G，連結(jié)EG．依題意得A（1,0，0），P（0,0，1），E（）．因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以點(diǎn)G是此正方形的中心，故點(diǎn)G的坐標(biāo)為（），且，，所以．而EG平面EDB，且PA平面EDB，因此PA//平面EDB．…………4分（2）證明；依題意得B（1,1，0），．又，故．所以．由已知，所以．

………8分（3）解：已知由（2）可知，故是二面角C-PB-D的平面角．設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（），則，因?yàn)?，所以，則因?yàn)?，所以．所以，點(diǎn)F的坐標(biāo)為．又點(diǎn)E的坐標(biāo)為，所以因?yàn)椋?，即二面角C-PB-D的大小為．………………12分略20.(本小題滿分12分)如圖橢圓的上頂點(diǎn)為A，左頂點(diǎn)為B,F為右

焦點(diǎn),過(guò)F作平行與AB的直線交橢圓于C、D兩點(diǎn).作平行四邊形OCED,E恰在橢圓上。（1）求橢圓的離心率；（2）若平行四邊形OCED的面積為,求橢圓的方程.參考答案：解：(1)∵焦點(diǎn)為F(c,0),AB斜率為,故CD方程為y=(x－c).于橢圓聯(lián)立后消去y得2x2－2cx－b2=0.∵CD的中點(diǎn)為G(),點(diǎn)E(c,－)在橢圓上,∴將E(c,－)代入橢圓方程并整理得2c2=a2,∴e=.(2)由(Ⅰ)知CD的方程為y=(x－c),

b=c,a=c.與橢圓聯(lián)立消去y得2x2－2cx－c2=0.∵平行四邊形OCED的面積為S=c|yC－yD|=c=c,∴c=,a=2,b=.故橢圓方程為21.如圖所示的某種容器的體積為90πcm3，它是由圓錐和圓柱兩部分連結(jié)而成的，圓柱與圓錐的底面圓半徑都為rcm.圓錐的高為h1cm，母線與底面所成的角為45°；圓柱的高為h2cm.已知圓柱底面造價(jià)為2a元/cm2，圓柱側(cè)面造價(jià)為a元/cm2，圓錐側(cè)面造價(jià)為元/cm2.（1）將圓柱的高h(yuǎn)2表示為底面圓半徑r的函數(shù)，并求出定義域；（2）當(dāng)容器造價(jià)最低時(shí)，圓柱的底面圓半徑r為多少？參考答案：（1），定義域?yàn)?（2）【分析】（1）由題由圓柱與圓錐體積公式得，得即可；（2）由圓柱與圓錐的側(cè)面積公式得容器總造價(jià)為，求導(dǎo)求最值即可【詳解】（1）因?yàn)閳A錐的母線與底面所成的角為，所以，圓錐的體積為，圓柱的體積為.因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所?因此.所以，定義域?yàn)?（2）圓錐的側(cè)面積，圓柱的側(cè)面積，底面積.容器總造價(jià)為.令，則.令，得.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，在上為單調(diào)增函數(shù).因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值，即有最小值，為元.所以總造價(jià)最低時(shí)，圓柱的底面圓半徑為.【點(diǎn)睛】本題考查圓柱圓錐的表面積和體積公式，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，方程思想的運(yùn)用，是中檔題22.如圖四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2，BC=4，PA=2，點(diǎn)M在線段PD上．（1）求證：AB⊥PC．（2）若二面角M﹣AC﹣D的大小為45°，求BM與平面PAC所成的角的正弦值．參考答案：【考點(diǎn)】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題．【分析】（1）設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連接AE，證明AB⊥PC，只需證明AB⊥平面PAC，只需證明AB⊥AC，AB⊥PA．（2）設(shè)AC∩BD=O，連接OP，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AD，過(guò)點(diǎn)N作NG⊥AC于G，連接MG，證明∠MGN是二面角M﹣AC﹣D的平面角，即∠MGN=45°，M為PD的中點(diǎn)，連接PO交BM于H，連接AH，證明∠BHA是BM與平面PAC所成的角，即可求BM與平面PAC所成的角的正弦值．【解答】（1）證明：設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連接AE，則AD=EC，AD∥EC，∴四邊形AECD為平行四邊形，∴AE⊥BC∵AE=BE=EC=2，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴AB⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴AB⊥PA∵AC∩PA=A，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥PC．（2）設(shè)AC∩B