2024學(xué)年云南省昆明市高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2024學(xué)年云南省昆明市高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為（）A. B.C. D.2．已知拋物線上的點到該拋物線焦點的距離為，則拋物線的方程是（）A. B.C. D.3．已知拋物線過點，點為平面直角坐標(biāo)系平面內(nèi)一點，若線段的垂直平分線過拋物線的焦點，則點與原點間的距離的最小值為（）A. B.C. D.4．若a>b，c>d，則下列不等式中一定正確的是（）A. B.C. D.5．校慶當(dāng)天，學(xué)校需要在靠墻的位置用圍欄圍起一個面積為200平方米的矩形場地.用來展示校友的書畫作品.靠墻一側(cè)不需要圍欄，則圍欄總長最小需要（）米A.20 B.40C. D.6．已知橢圓和雙曲線有共同的焦點，分別是它們的在第一象限和第三象限的交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則等于（）A.4 B.2C.2 D.37．已知點是雙曲線的左焦點，定點，是雙曲線右支上動點，則的最小值為（）.A.7 B.8C.9 D.108．如圖，面積為的正方形中有一個不規(guī)則的圖形，可按下面方法估計的面積：在正方形中隨機(jī)投擲個點，若個點中有個點落入中，則的面積的估計值為，假設(shè)正方形的邊長為，的面積為，并向正方形中隨機(jī)投擲個點，用以上方法估計的面積時，的面積的估計值與實際值之差在區(qū)間內(nèi)的概率為附表：A. B.C. D.9．拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離是A. B.1C. D.10．在中，，，為所在平面上任意一點，則的最小值為（）A.1 B.C.－1 D.-211．如果直線與直線垂直，那么的值為（）A. B.C. D.212．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則在處的切線方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)數(shù)列的前n項和為，且是6和的等差中項，若對任意的，都有，則的最小值為________14．已知，分別是橢圓和雙曲線的離心率，，是它們的公共焦點，M是它們的一個公共點，且，則的最大值為______15．棱長為的正方體的頂點到截面的距離等于__________.16．若圓C：與圓D2的公共弦長為，則圓D的半徑為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）新高考取消文理分科，采用選科模式，這賦予了學(xué)生充分的自由選擇權(quán).新高考地區(qū)某校為了解本校高一年級將來高考選考物理的情況，隨機(jī)選取了100名高一學(xué)生，將他們某次物理測試成績（滿分100分）按照，，，，分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求圖中的值并估計這100名學(xué)生本次物理測試成績的中位數(shù).（2）根據(jù)調(diào)查，本次物理測試成績不低于60分的學(xué)生，高考將選考物理科目；成績低于60分的學(xué)生，高考將不選考物理科目.按分層抽樣的方法從測試成績在，的學(xué)生中選取5人，再從這5人中任意選取2人，求這2人中至少有1人高考選考物理科目的概率.18．（12分）已知點、分別是橢圓C：）的左、右焦點，點P在橢圓C上，當(dāng)∠PF1F2=時，面積達(dá)到最大，且最大值為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l：與橢圓C交于A、B兩點，求面積的最大值.19．（12分）某校高二年級全體學(xué)生參加了一次數(shù)學(xué)測試，學(xué)校利用簡單隨機(jī)抽樣方法從甲班、乙班各抽取五名同學(xué)的數(shù)學(xué)測試成績（單位：分）得到如下莖葉圖，若甲、乙兩班數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等且平均數(shù)也相等.（1）求出莖葉圖中m和n的值：（2）若從86分以上（不含86分）的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名，求此兩人都來自甲班的概率.20．（12分）已知圓.（1）求過點M（2，1）的圓的切線方程；（2）直線過點且被圓截得的弦長為2，求直線的方程；（3）已知圓的圓心在直線y=1上，與y軸相切，且與圓相外切，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.21．（12分）已知函數(shù)（1）若函數(shù)的圖象在點處的切線與平行，求b的值；（2）在（1）的條件下證明：22．（10分）已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且（1）求C；（2）若，求的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】由，分兩步，當(dāng)求出，當(dāng)時得到，兩式作差即可求出數(shù)列的通項公式；【題目詳解】解：因為①，當(dāng)時，，當(dāng)時②，①②得，所以，當(dāng)時也成立，所以；故選：D2、B【解題分析】由拋物線知識得出準(zhǔn)線方程，再由點到焦點的距離等于其到準(zhǔn)線的距離求出，從而得出方程.【題目詳解】由題意知，則準(zhǔn)線為，點到焦點的距離等于其到準(zhǔn)線的距離，即，∴，則故選：B.3、B【解題分析】將點的坐標(biāo)代入拋物線的方程，求出的值，可求得拋物線的方程，求出的坐標(biāo)，分析可知點的軌跡是以點為圓心，半徑為的圓，利用圓的幾何性質(zhì)可求得點與原點間的距離的最小值.【題目詳解】將點的坐標(biāo)代入拋物線的方程得，可得，故拋物線的方程為，易知點，由中垂線的性質(zhì)可得，則點的軌跡是以點為圓心，半徑為的圓，故點的軌跡方程為，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)點、、三點共線且在線段上時，取最小值，且.故選：B.4、B【解題分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)及反例判斷各個選項.【題目詳解】因為c>d，所以，所以，所以B正確；時，不滿足選項A；時，，且，所以不滿足選項CD；故選：B5、B【解題分析】在出矩形中，設(shè)，得到，結(jié)合基本不等式，即可求解【題目詳解】如圖所示，在矩形中，設(shè)，則，根據(jù)題意，可得矩形圍欄總長為因為，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，即圍欄總長最小需要米.故選：B.6、A【解題分析】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，由定義可得，，在中利用余弦定理可得，即可求出結(jié)果.【題目詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，不妨設(shè)在第一象限，根據(jù)橢圓和雙曲線定義，得，，，由可得，又，在中，，即，化簡得，兩邊同除以，得.故選：A.【題目點撥】關(guān)鍵點睛：本題考查共焦點的橢圓與雙曲線的離心率問題，解題的關(guān)鍵是利用定義以及焦點三角形的關(guān)系列出齊次方程式進(jìn)行求解.7、C【解題分析】設(shè)雙曲線的右焦點為M，作出圖形，根據(jù)雙曲線的定義可得，可得出，利用A、P、M三點共線時取得最小值即可得解.【題目詳解】∵是雙曲線的左焦點，∴，，，，設(shè)雙曲線的右焦點為M，則，由雙曲線的定義可得，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)A、P、M三點共線時，等號成立，因此，的最小值為9.故選：C.【題目點撥】關(guān)鍵點點睛：利用雙曲線的定義求解線段和的最小值，有如下方法：（1）求解橢圓、雙曲線有關(guān)的線段長度和、差的最值，都可以通過相應(yīng)的圓錐曲線的定義分析問題；（2）圓外一點到圓上的點的距離的最值，可通過連接圓外的點與圓心來分析求解.8、D【解題分析】每個點落入中的概率為，設(shè)落入中的點的數(shù)目為，題意所求概率為故選D9、D【解題分析】，，所以拋物線的焦點到其準(zhǔn)線的距離是，故選D.10、C【解題分析】以為建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，把向量的數(shù)量積用坐標(biāo)表示后可得最小值【題目詳解】如圖，以為建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，，，，∴，∴當(dāng)時，取得最小值故選：C【題目點撥】本題考查向量的數(shù)量積，解題方法是建立平面直角坐標(biāo)系，把向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示11、A【解題分析】根據(jù)兩條直線垂直列方程，化簡求得的值.【題目詳解】由于直線與直線垂直，所以.故選：A12、A【解題分析】根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)可得，可求出，求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值即為切線斜率，即可求出切線方程.【題目詳解】函數(shù)為偶函數(shù)，，即，解得，，則，，且，切線方程為，整理得.故選：A.【題目點撥】本題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】先根據(jù)和項與通項關(guān)系得通項公式，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式得，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得取值范圍，即得取值范圍，解得結(jié)果.【題目詳解】因為是6和的等差中項，所以當(dāng)時，當(dāng)時，因此當(dāng)為偶數(shù)時，當(dāng)為奇數(shù)時，因此因為在上單調(diào)遞增，所以故答案為：【題目點撥】本題考查根據(jù)和項求通項、等比數(shù)列定義、等比數(shù)列求和公式、利用函數(shù)單調(diào)性求值域，考查綜合分析求解能力，屬較難題.14、【解題分析】利用橢圓、雙曲線的定義以及余弦定理找到的關(guān)系，然后利用三角換元求最值即可.【題目詳解】解析：設(shè)橢圓的長半軸為a，雙曲線的實半軸為，半焦距為c，設(shè)，，，因為，所以由余弦定理可得，①在橢圓中，，①化簡為，即，②在雙曲線中，，①化簡為，即，③聯(lián)立②③得，，即，記，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號故答案為：.15、【解題分析】根據(jù)勾股定理可以計算出，這樣得到是直角三角形，利用等體積法求出點到的距離.【題目詳解】解：如圖所示，在三棱錐中，是三棱錐的高，，在中，,,,所以是直角三角形，，設(shè)點到的距離為，.故A到平面的距離為故答案為：【題目點撥】本題考查了點到線的距離，利用等體積法求出點到面的距離.是解題的關(guān)鍵.16、【解題分析】首先根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系得到公共弦方程，再根據(jù)弦長求解即可.【題目詳解】根據(jù)得公共弦方程為：.因為公共弦長為，所以直線過圓的圓心.所以，解得.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），中位數(shù)為；（2）.【解題分析】（1）由頻率和為1求參數(shù)a，根據(jù)直方圖及中位數(shù)性質(zhì)求中位數(shù)即可.（2）首先由分層抽樣原則求選取的5人在、的人數(shù)分布情況，再應(yīng)用列舉法求古典概型的概率即可.【小問1詳解】由圖知：，解得.學(xué)生成績在的頻率為；學(xué)生成績在的頻率為.設(shè)這100名學(xué)生本次物理測試成績的中位數(shù)為，則，解得，故估計這100名學(xué)生本次物理測試成績的中位數(shù)為.【小問2詳解】由（1）知，學(xué)生成績在的頻數(shù)為，學(xué)生成績在的頻數(shù)為.按分層抽樣的方法從中選取5人，則成績在的學(xué)生被抽取人，分別記為，，成績在的學(xué)生被抽取人，分別記為，，.從中任意選取2人，有，，，，，，，，，這10種選法，其中至少有1人高考選考物理科目的選法有，，，，，，，，這9種，∴這2人中至少有1人高考選考物理科目的概率.18、（1）（2）3【解題分析】（1）根據(jù)焦點三角形的性質(zhì)可求出，從而可得標(biāo)準(zhǔn)方程,（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消元后利用公式表示三角形面積，從而可求面積的最大值.小問1詳解】△PF1F2面積達(dá)到最大時為橢圓的上頂點或下頂點，而此時∠PF1F2=，故面積最大時為等邊三角形，故，因面積的最大值為，故，故，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【小問2詳解】設(shè)，則由可得，此時恒成立.而，到的距離為,故的面積，令，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，故即的最大值為3.19、（1），（2）【解題分析】（1）根據(jù)莖葉圖得甲班中位數(shù)為，由此能求出，根據(jù)由，且，能求出.（2）甲班86分以上有2人，乙班86分以有2人，從86分以上(不含86分)的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名，用列舉法寫出基本事件總數(shù)，再利用古典概型的概率計算公式即可求解.【小問1詳解】根據(jù)莖葉圖可知1班中位數(shù)為86，則，又∵，且故【小問2詳解】由（1）可知，甲班86分以上有2人，乙班86以上有2人設(shè)甲班86分以上2人為，，乙班86分以上2人為，，從中任取兩名同學(xué)共有，，，，,共有6組基本事件，且每組出現(xiàn)都是等可能的記：“從86分以上（不含86分）的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名，兩人都來自甲班”為事件M，事件M包括：共1個基本事件，由古典概型的計算概率的公式知∴所以兩人都來自甲班的概率為20、（1）y=1；（2）x+y-2=0；（3）.【解題分析】(1)將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合圖形即可求出結(jié)果；(2)根據(jù)題意可知直線過圓心，利用直線的兩點式方程計算即可得出結(jié)果；(3)設(shè)圓E的圓心E（a，1），根據(jù)題意可得圓E的半徑為，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系和兩點距離公式計算求出，進(jìn)而得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【小問1詳解】圓，即，其圓心為，半徑為1.因為點（2，1）在圓上，如圖，所以切線方程為y=1；【小問2詳解】由題意得，圓的直徑為2，所以直線過圓心，由直線的兩點式方程，得，即直線的方程為x+y-2=0；【小問3詳解】因為圓E的圓心在直線y=1上，設(shè)圓E的圓心E（a，1），由圓E與y軸相切，得R=a()又圓E與圓相外切，所以，由兩點距離公式得，所以，解得，所以圓心，，所以圓E的方程為.21、（1）；（2）證明見解析.【解題分析】（1）由題意可得，從而可求出，（2）先構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得對任意恒成立，對任意恒成立，從而將問題轉(zhuǎn)化為只需證對任意恒成立，再次構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值小于等于即可【題目詳解】（1）解：∵函數(shù)的圖象在點處的切線與平行，∴，解