東北育才中學(xué)2024年高二上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典試題含解析

東北育才中學(xué)2024年高二上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若，則與的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.不能確定2．已知數(shù)列滿足，，則（）A. B.C. D.3．函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3C.4 D.54．已知直線過點(diǎn)，且與直線垂直，則直線的方程為（）A. B.C. D.5．已知是等差數(shù)列，，，則公差為（）A.6 B.C. D.26．已知等差數(shù)列中，，則（）A.15 B.30C.45 D.607．的展開式中的系數(shù)為，則（）A. B.C. D.8．執(zhí)行如圖所示的算法框圖，則輸出的結(jié)果是（）A. B.C. D.9．已知，向量，，若，則x的值為（）A.-1 B.1C.-2 D.210．在長方體中，，，點(diǎn)分別在棱上，，，則（）A. B.C. D.11．若點(diǎn)，在拋物線上，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若等邊三角形的面積為，則該拋物線的方程是（）A. B.C. D.12．過點(diǎn)，的直線的斜率等于1，則m的值為（）A.1 B.4C.1或3 D.1或4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知AB為圓O：的直徑，點(diǎn)P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______14．如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)M為線段上的動(dòng)點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論：①存在點(diǎn)M，使得直線AM與直線夾角為30°；②存在點(diǎn)M，使得與平面夾角的正弦值為；③存在點(diǎn)M，使得三棱錐體積為；④存在點(diǎn)M，使得，其中為二面角的大小，為直線與直線AB所成的角則上述結(jié)論正確的有______．（填上正確結(jié)論的序號(hào)）15．經(jīng)過點(diǎn)，，的圓的方程為______.16．已知圓M過，，且圓心M在直線上.（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線m截圓M所得弦長為，求直線m的方程；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，且.（1）求拋物線方程；（2）直線與拋物線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)的值；18．（12分）已知圓M過C(1，﹣1)，D(﹣1，1)兩點(diǎn)，且圓心M在x+y﹣2=0上.（1）求圓M的方程；（2）設(shè)P是直線3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓M的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，求四邊形PAMB面積的最小值.19．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極大值與極小值；（2）若函數(shù)在上的最大值是最小值的3倍，求a的值.20．（12分）我國是世界最大的棉花消費(fèi)國、第二大棉花生產(chǎn)國，其中，新疆棉產(chǎn)量約占國內(nèi)產(chǎn)量的87%，消費(fèi)量約占國內(nèi)消費(fèi)量的67%．新疆棉的品質(zhì)高：纖維柔長，潔白光澤，彈性良好，各項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)均超國家標(biāo)準(zhǔn)．尤其是被授予“中國彩棉之鄉(xiāng)”稱號(hào)的新疆建設(shè)兵團(tuán)一四八團(tuán)生產(chǎn)的天然彩棉，株型緊湊，吐絮集中，品質(zhì)優(yōu)良，色澤純正、艷麗，手感柔軟，適合中高檔紡織．新疆彩棉根據(jù)色澤、手感、纖維長度等評分指標(biāo)打分，得分在區(qū)間內(nèi)分別對應(yīng)四級(jí)、三級(jí)、二級(jí)、一級(jí)．某經(jīng)銷商從采購的新蚯彩棉中隨機(jī)抽取20包（每包1kg），得分?jǐn)?shù)據(jù)如圖（1）試統(tǒng)計(jì)各等級(jí)數(shù)量，并估計(jì)各等級(jí)在該批彩棉中所占比例；（2）用樣本估計(jì)總體，經(jīng)銷商參考以下兩種銷售方案進(jìn)行銷售：方案1：不分等級(jí)賣出，單價(jià)為1.79萬元/噸；方案2：分等級(jí)賣出，不同等級(jí)的新疆彩棉售價(jià)如下表所示：等級(jí)一級(jí)二級(jí)三級(jí)四級(jí)售價(jià)（萬元/噸）若從經(jīng)銷商老板的角度考慮，采用哪種方案較好？并說明理由21．（12分）如圖甲是由正方形，等邊和等邊組成的一個(gè)平面圖形，其中，將其沿，，折起得三棱錐，如圖乙.（1）求證：平面平面；（2）過棱作平面交棱于點(diǎn)，且三棱錐和的體積比為，求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是菱形，E為的中點(diǎn)（1）證明：（2）已知，求二面角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】由題知，進(jìn)而研究的符號(hào)即可得答案.詳解】解：，所以，即.故選：B2、A【解題分析】根據(jù)遞推關(guān)系依次求出即可.【題目詳解】，，，，，.故選：A.3、C【解題分析】根據(jù)給定的導(dǎo)函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的極值的定義，即可求解.【題目詳解】如圖所示，設(shè)導(dǎo)函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)分別為，根據(jù)函數(shù)的極值的定義可知在該點(diǎn)處的左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)相反，可得為函數(shù)的極大值點(diǎn)，為函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4個(gè).故選：C.4、A【解題分析】求出直線斜率，利用點(diǎn)斜式可得出直線的方程.【題目詳解】直線的斜率為，則直線的斜率為，故直線的方程為，即.故選：A.5、C【解題分析】設(shè)的首項(xiàng)為，把已知的兩式相減即得解.【題目詳解】解：設(shè)的首項(xiàng)為，根據(jù)題意得，兩式相減得.故選：C6、D【解題分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可知，從而可求出結(jié)果.【題目詳解】解：根據(jù)題意，可知等差數(shù)列中，，則，所以.故選：D.7、B【解題分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，先求得x的指數(shù)為1時(shí)r的值，再求得a的值.【題目詳解】由題意得：二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為：，令，則，故選：B8、B【解題分析】列舉出循環(huán)的每一步，利用裂項(xiàng)相消法可求得輸出結(jié)果.【題目詳解】第一次循環(huán)，不成立，，；第二次循環(huán)，不成立，，；第三次循環(huán)，不成立，，；以此類推，最后一次循環(huán)，不成立，，.成立，跳出循環(huán)體，輸出.故選：B.9、D【解題分析】根據(jù)給定條件利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.【題目詳解】因向量，，，則，解得，所以x的值為2.故選：D10、D【解題分析】依題意可得，從而得到，即可得到，從而得解；【題目詳解】解：由長方體的性質(zhì)可得，又，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以；故選：D11、A【解題分析】根據(jù)等邊三角形的面積求得邊長，根據(jù)角度求得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線方程求得的值.【題目詳解】設(shè)等邊三角形的邊長為，則，解得根據(jù)拋物線的對稱性可知，且，設(shè)點(diǎn)在軸上方，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，將代入拋物線方程得，解得，故拋物線方程為故選：A12、A【解題分析】解方程即得解.【題目詳解】由題得.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查斜率的計(jì)算，意在考查學(xué)生對該知識(shí)的理解掌握水平.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解題分析】方法一：通過對稱性取特殊位置，設(shè)出P的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化求解最小值即可方法二：利用向量的數(shù)量積，轉(zhuǎn)化為向量的和與差的平方，通過圓的特殊性，轉(zhuǎn)化求解即可【題目詳解】解：方法一：依據(jù)對稱性，不妨設(shè)直徑AB在x軸上，x，，，從而故答案為2方法二：，而，則答案2故答案為2【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與圓的位置關(guān)系、橢圓方程的幾何性質(zhì)考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力14、②③【解題分析】對①：由連接，，由平面，即可判斷；對③：設(shè)到平面的距離為，則，所以即可判斷；對④：以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量法求出與，比較大小即可判斷；對②：設(shè)與平面夾角為，利用向量法求出，即可求解判斷.【題目詳解】解：對①：連接，，在正方體中，由平面，可得，又，，所以平面，所以，故①錯(cuò)誤；對③：設(shè)到平面的距離為，則，所以，故③正確；對④：以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，0，，，0，，，，，，，，所以，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，取，，，又，1，是平面的一個(gè)法向量，又二面角為銳二面角或直角，所以，，，又，，，故④錯(cuò)誤對②：由④的解析知，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，設(shè)與平面夾角為，令，即，又，解得或，故②正確.故答案為：②③.15、【解題分析】設(shè)所求圓的方程為，然后將三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程中解方程組求出的值，可得圓的方程【題目詳解】設(shè)所求圓的方程為，則，解得，所以圓的方程為，即，故答案為：16、（1）（2）或【解題分析】(1)首先由條件設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再將圓上兩點(diǎn)代入，即可求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分斜率不存在和存在兩種情況，分別根據(jù)弦長公式，求得直線方程.【小問1詳解】圓心在直線上，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，圓過點(diǎn)，，，解得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】①當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線m的方程為：，直線m截圓M所得弦長為，符合題意②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線m：，圓心M到直線m的距離為根據(jù)垂徑定理可得，，，解得直線m方程為或.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】（1）根據(jù)拋物線過點(diǎn)，且，利用拋物線的定義求解；（2）設(shè)，聯(lián)立，根據(jù)，由，結(jié)合韋達(dá)定理求解.【小問1詳解】解：由拋物線過點(diǎn)，且，得所以拋物線方程為；【小問2詳解】設(shè)，聯(lián)立得，，，，則，，即，解得或，又當(dāng)時(shí)，直線與拋物線的交點(diǎn)中有一點(diǎn)與原點(diǎn)重合，不符合題意，故舍去；所以實(shí)數(shù)的值為.18、（1）；（2）.【解題分析】（1）設(shè)圓的方程為：，由已知列出方程組，解之可得圓的方程；（2）由已知得四邊形的面積為，即有，又有.因此要求的最小值，只需求的最小值即可，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可求得答案.【題目詳解】解：（1）設(shè)圓方程為：，根據(jù)題意得，故所求圓M的方程為：；（2）如圖，四邊形的面積為，即又，所以，而，即.因此要求的最小值，只需求的最小值即可，的最小值即為點(diǎn)到直線的距離所以，四邊形面積的最小值為.19、（1）的極大值為0,的極小值為（2）2【解題分析】（1）先求導(dǎo)可得，再利用導(dǎo)函數(shù)判斷的單調(diào)性，進(jìn)而求解；（2）由（1）可得在上的最小值為，由，，可得的最大值為，進(jìn)而根據(jù)求解即可.【題目詳解】解:（1）當(dāng)時(shí)，，所以，令，則或，則當(dāng)和時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,所以極大值為；的極小值為.（2）由題,，由（1）可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值即為的極小值；因?yàn)?,所以，因?yàn)?，則，所以.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的極值,考查利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的最值,考查運(yùn)算能力.20、（1）答案見解析；（2）答案、理由見解析【解題分析】（1）根據(jù)莖葉圖計(jì)算出數(shù)量以及比例.（2）計(jì)算出方案的彩棉售價(jià)平均值，由此作出決策.【題目詳解】（1）得分在（0，25]內(nèi)的有19，21，共2個(gè)，所以四緩彩棉在該批彩棉中所占比例為；得分在（25，50]內(nèi)的有27，31，36，42，45，48，共6個(gè)，所以三級(jí)彩棉在該批彩棉中所占比例為；得分在（50，75]內(nèi)的有51，51，58，63，65，68，73，共7個(gè)，所以二級(jí)彩棉在該批彩棉中所占比例為；得分在（75，100]內(nèi)的有76，79，83，85，92，共5個(gè)，所以一級(jí)彩棉在該批彩棉中所占比例（2）解答一：選用方案2，理由如下：方案1：不分等級(jí)賣出，單價(jià)為1.79萬元/噸；設(shè)方案2的彩棉售價(jià)平均值為萬元/噸，則因?yàn)?，所以從?jīng)銷商老板角度考慮，采用方案2時(shí)銷售利潤比較大，應(yīng)選方案2解答二：選用方案1，理由如下：方案1：不分等級(jí)賣出，單價(jià)為1.79萬元/噸；設(shè)方案2的彩棉售價(jià)平均值為則，因?yàn)椋ㄈf元）差別較小所以從經(jīng)銷商老板后期對彩棉分類的人力資源和時(shí)間成本角度考慮，采用方案1比較好21、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，，證明，，即證平面，即證得面面垂直；（2）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，寫出對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，再計(jì)算平面法向量，利用所求角的正弦為即得結(jié)果.【題目詳解】（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)為，連接，.∵，∴.∵，，∴，同理.又，∴，∴.∵，，平面，∴平面.又平面，∴平面平面；（2）解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)邊長關(guān)系可知，，，，，∴，.∵三棱錐和的體積比為，∴，∴，∴.設(shè)平面的法向量為，則，令，得.設(shè)直線與平面所成角為，則.∴直線與平面所成角的正弦值為.【題目點(diǎn)撥】方法點(diǎn)睛：求空間中直線與平面所成角的常見方法為：（1）定義法：直接作平面的垂線，找到線面成角；（2）等體積法：不作垂線，通過等體積法間接求點(diǎn)到面的距離，距離與斜線長的比值即線面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量與斜線方向向量所成的余弦值的絕對值，即是線面成角的正弦值.22、（1）詳見解析（2）【解題分析】（1）利用垂直關(guān)系，轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，即可證明線線垂直