方程式(未知數(shù))

方程式(未知數(shù))第一頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日何謂未知數(shù)？1個蘋果＋1個蘋果＝2個蘋果1公分＋1公分＝2公分「不知道」＋「不知道」＝?1個「∞」＋1個「∞」＝?1個「全部」＋1個「全部」＝?第二頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日為什麼我們可以點(diǎn)數(shù)「蘋果、1公分」的個數(shù)？為什麼我們不可以點(diǎn)數(shù)「不知道、∞、全部」的個數(shù)?我們可以點(diǎn)數(shù)「x」的個數(shù)嗎？有那些能力後才能點(diǎn)數(shù)x的個數(shù)？第三頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日「2個青蘋果，6個紅蘋果」青蘋果是全部的幾分之幾?2個紅蘋果是全部的幾分之幾?第四頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日如果「ｘ」是一個未知數(shù)，學(xué)童有那些能力之後才能理解：2ｘ＋3ｘ＝5ｘ？

ｘ÷2＝ｘ/2？「ｘ」和「3」可以相加減嗎？

第五頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日未知數(shù)定理：ｘ雖然是一個未知數(shù)，一個目前不知道等於多少的數(shù)，但是只要它是一個數(shù)，它就能與其它的數(shù)一起做運(yùn)算，而且順從運(yùn)算的所有性質(zhì)。

第六頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日在數(shù)學(xué)上，有那些運(yùn)算性質(zhì)（加減乘除及其混合運(yùn)算）在全數(shù)系或有理數(shù)系一定成立？有那些運(yùn)算性質(zhì)在整數(shù)系或?qū)崝?shù)系（或複數(shù)系）一定成立？為什麼在代數(shù)學(xué)中，也要討論這些性質(zhì)？第七頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日自然數(shù)：｛1，2，3，......｝。自然數(shù)是點(diǎn)數(shù)的結(jié)果，描述一個給定的集合有多少個元素。全數(shù)：自然數(shù)∪｛０｝。全數(shù)是國小階段教學(xué)的重點(diǎn)，全數(shù)的０表示沒有的意思。第八頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日整數(shù)：｛...,－1,0,1,2,...｝整數(shù)中的「2」是「＋2」的簡記法，表示比基準(zhǔn)量0多2。0不一定表示沒有，0只是設(shè)定的基準(zhǔn)量，例如溫度是攝氏0度，0度並不表示沒有溫度，0度是水結(jié)冰時的溫度。自然數(shù)可以視為整數(shù)的特例。第九頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日全數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)都滿足那些運(yùn)算性質(zhì)？三一律：ａ，ｂ兩數(shù)恰滿足下列一種關(guān)係ａ＞ｂａ＝ｂａ＜ｂ。第十頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日等價關(guān)係：ａ，ｂ，ｃ三個數(shù)滿足反身性：ａ＝ａ。對稱性：ａ＝ｂ，則ｂ＝ａ。遞移性：ａ＝ｂ，且ｂ＝ｃ，則ａ＝ｃ。第十一頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日數(shù)的運(yùn)算關(guān)係：ａ，ｂ，ｃ三個數(shù)滿足加法交換律：ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ。加法結(jié)合律：（ａ+ｂ）+ｃ＝ａ+（ｂ+ｃ）。第十二頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日乘法交換律：ａ×ｂ＝ｂ×ａ。乘法結(jié)合律：（ａ×ｂ）×ｃ＝ａ×（ｂ×ｃ）。第十三頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日乘法對加法的分配律：（ａ＋ｂ）×ｃ＝ａ×ｃ＋ｂ×ｃ。（乘法對加法的右分配律）ａ×（ｂ＋ｃ）＝ａ×ｂ＋ａ×ｃ。（乘法對加法的左分配律）第十四頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日那些運(yùn)算關(guān)係在減法或除法運(yùn)算中也成立？（ａ＋ｂ）－ｃ＝（ａ－ｃ）＋ｂ（a≧ｃ）＝ａ＋（ｂ－ｃ）（b≧ｃ）＝ａ－（ｃ－ｂ）（b≦ｃ）。（ａ－ｂ）－ｃ＝（ａ－ｃ）－ｂ＝ａ－（ｂ＋ｃ）。第十五頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日（ａ×ｂ）÷ｃ＝（ａ÷ｃ）×ｂ。（ａ÷ｂ）÷ｃ＝（ａ÷ｃ）÷ｂ＝ａ÷（ｂ×ｃ）。第十六頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日ａ、ｂ、ｃ是任意正整數(shù)，下列算式中那些恆成立？ａ÷ｂ×ｃ＝ａ÷（ｂ×ｃ）。ａ÷ｂ÷ｃ＝ａ÷（ｂ÷ｃ）。ａ×ｂ÷ｃ＝ａ×（ｂ÷ｃ）。ａ×ｂ÷ｃ＝ａ÷ｂ×ｃ。第十七頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日乘法對減法也滿足分配律。（ａ－ｂ）×ｃ＝ａ×ｃ－ｂ×ｃ。(乘法對減法的右分配律)ａ×（ｂ－ｃ）＝ａ×ｂ－ａ×ｃ。(乘法對減法的左分配律)第十八頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日除法對加（減）法滿足右分配律，但是不滿足左分配律。（ａ＋ｂ）÷ｃ＝ａ÷ｃ＋ｂ÷ｃ。（ａ－ｂ）÷ｃ＝ａ÷ｃ－ｂ÷ｃ。ａ÷（ｂ＋ｃ）≠ａ÷ｂ＋ａ÷ｃ。ａ÷（ｂ－ｃ）≠ａ÷ｂ－ａ÷ｃ。第十九頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日等量公理：ａ，ｂ，ｃ三個數(shù)，若ａ＝ｂ則滿足ａ＋ｃ＝ｂ＋ｃ。ａ－ｃ＝ｂ－ｃ。ａ×ｃ＝ｂ×ｃ。ａ÷ｃ＝ｂ÷ｃ（ｃ≠0）。第二十頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日ａ，ｂ，ｃ三個數(shù)，若ａ＞ｂ則滿足ａ＋ｃ＞ｂ＋ｃ。ａ－ｃ＞ｂ－ｃ。ａ×ｃ＞ｂ×ｃ（ｃ＞０）。ａ×ｃ＜ｂ×ｃ（ｃ＜０）。ａ×ｃ＝ｂ×ｃ（ｃ＝０）。ａ÷ｃ＞ｂ÷ｃ（ｃ＞０）。ａ÷ｃ＜ｂ÷ｃ（ｃ＜０）。第二十一頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日小明有一些錢，他買了3枝5元的鉛筆，4塊8元的橡皮擦後，身上還剩下40元，請問小明原有多少錢?學(xué)童有能力解決多步驟問題嗎？學(xué)童有能力用算式記錄多步驟問題的解題活動嗎?第二十二頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日5×3＝15……鉛筆的錢8×4＝32……橡皮擦的錢15+32＝47……鉛筆和橡皮擦的錢47+40＝87……原有的錢學(xué)童應(yīng)該有能力用多個算式記錄解題活動。第二十三頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日學(xué)童有能力將多步驟問題記成算式填充題嗎？有能力將多步驟問題記成等號右邊只有括號的算式填充題嗎？第二十四頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日小明有一些錢，他買了3枝5元的鉛筆，4塊8元的橡皮擦後，身上還剩下40元，請問小明原有多少錢?()-5×3-8×4＝405×3+8×4+60＝()那一種記法比較簡單?第二十五頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日()-5×3-8×4＝405×3+8×4+60＝()就問題記錄（將問題記成算式填充題）而言，前者比較簡單。就解題活動（算出算式填充題的答案）而言，後者比較簡單。第二十六頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日引入等量公理前：學(xué)童有能力解決等號右邊只有括號的算式填充題嗎？

學(xué)童有能力解決等號左邊有未知數(shù)的算式填充題嗎?有能力解決等號兩邊都有未知數(shù)的算式填充題嗎？第二十七頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日5×3+8×4+40＝()()-5×3-8×4＝40x-5×3-8×4＝405×3+()×3＝21–()5×3+3x＝21–x第二十八頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日這三個問題的難度差不多嗎?記成()與記成x，難度差不多嗎?第一題是國小現(xiàn)在的教材。第二題是94年可能出現(xiàn)的教材。第三題是國中的教材。第二十九頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日5×3+8×4+40＝()()＝5×3+8×4+40等號滿足對稱性。第三十頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日

5×3+8×4+40＝15+8×4+40＝15+32+40＝47+40＝87國小稱為逐次減項(xiàng)的記法。第三十一頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日5+3＝8-2＝65

+3

8

-2你接受上面的記法嗎?6為什麼不接受上面的記法?學(xué)童為什麼會出現(xiàn)上面的記法?第三十二頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日因?yàn)椋?×3+8×4+40＝15+8×4+40

15+8×4+40＝15+32+40

15+32+40＝47+40

47+40＝87所以：5×3+8×4+40＝87這是詳細(xì)的記法，主要的概念是等號的遞移性。第三十三頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日將前面的記法摘要記成：

5×3+8×4+40＝15+8×4+40＝15+32+40＝47+40＝87這是摘要的記法。教師應(yīng)檢查答案87的意義。第三十四頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日因?yàn)椋篴=b，b=c，c=d所以：a=d摘要記成：a=b=c=d教學(xué)的重點(diǎn)是什麼?第三十五頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日()-5×3-8×4＝40x-5×3-8×4＝40引入等量公理前，學(xué)童有能力解決上述問題嗎?透過線段圖重新表徵問題的方式，將原問題改記成等號右邊只有括號的算式填充題。第三十六頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日x-5×3-8×4＝40引入等量公理後，學(xué)童有能力解決上述問題嗎?解決問題很簡單，因?yàn)槲瓷婕拔粗獢?shù)的運(yùn)算。比較困難的是記錄，因?yàn)楹蛧≈鸫螠p項(xiàng)的記法不相同。第三十七頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日x-15-32＝40x-15＝40+32(=72)X＝72+15X＝87可以利用天平說明（已知數(shù)使用法碼，未知數(shù)使用沙包）。第三十八頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日5×3+3x＝21–x引入等量公理前，學(xué)童有能力解決上述問題嗎?引入等量公理後，學(xué)童有能力解決上述問題嗎?學(xué)童必須理解等量公理及未知數(shù)定理的意義，才能解決上述問題。第三十九頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日多步驟問題的運(yùn)算次序先乘除後加減由左往右算括號先算上述口訣是處理多步驟問題運(yùn)算次序的依據(jù)，這些口訣是怎樣發(fā)展出來的?第四十頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日先乘除後加減是可溝通的語句嗎?是清楚明白的語句嗎?48÷3×4＝48÷12＝4

這樣算的學(xué)童，符合先乘除後加減的語意嗎?第四十一頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日先乘除後加減。由左往右算。括號先算。它們是三個獨(dú)立的口訣嗎?它們是一個被分割記憶的口訣嗎?第四十二頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日29-48÷3×4+(3×4-7)=?如果它們是3個獨(dú)立的口訣，沒有人知道上述問題的運(yùn)算次序。它們的優(yōu)先順序?yàn)楹?第四十三頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日括號先算是數(shù)學(xué)上的約定。先乘除後加減，由左往右算，是省略括號的約定。只省略了記錄（數(shù)學(xué)式子）的括號，心中的括號是不可能省略的。第四十四頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日何謂先乘除後加減?為什麼不是先加減後乘除?何謂由左往右算?為什麼不是由右往左算?第四十五頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日29-48÷3×4+(3×4-7)=?請用一段話(不要提到數(shù)字)，告訴學(xué)童運(yùn)算的先後順序。將你的話錄音起來，再放給自己或別人聽聽看!懂得人，可能猜出你說的意思，不懂的人，應(yīng)該還是不懂。

第四十六頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日括號的部份要先算。沒有括號的時候：算式中加減乘除都有時，要先算乘和除的部份。都是加減的時候，要由左往右算，都是乘除時，也要由左往右算。第四十七頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日未知數(shù)：在真正測量某一屬性之前，已具有潛在的結(jié)果。未知數(shù)並非真正的未知，只是在尚未確定答案(實(shí)施測量)前暫時的未知，所以「定量未知數(shù)」一詞更適合未知數(shù)。第四十八頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日何謂算術(shù)？何謂代數(shù)？算術(shù)與代數(shù)有何異同？學(xué)童解決的問題是算術(shù)問題或是代數(shù)問題，必須依據(jù)未知數(shù)在學(xué)童心中所扮演的角色而定。

第四十九頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日5+()=85+x=85+甲=8這三題的困難度是否相同?為什麼多數(shù)國小學(xué)童認(rèn)為最上面的那一題比較簡單?第五十頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日未知數(shù)發(fā)展可以區(qū)分成三個層次：層次一：一個位置的概念。層次二：傳統(tǒng)的未知數(shù)概念。層次三：一個可以運(yùn)算的數(shù)（理解未知數(shù)定理的意義）。第五十一頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日5+()=8未知數(shù)的角色只是一個位置的概念，該位置填入某些數(shù)字後，就可以讓算式成立，但是目前不知道可以填入的數(shù)字是什麼。第五十二頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日5+x=85+甲=8傳統(tǒng)的未知數(shù)概念，x或甲代表某一個確定的數(shù)字，只是該數(shù)字目前未知。第五十三頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日如果未知數(shù)只是位置的概念或傳統(tǒng)的未知數(shù)概念，學(xué)童的想法只能算是算術(shù)，如果未知數(shù)的角色是代表一個可以運(yùn)算的數(shù)，所進(jìn)行的活動才是代數(shù)。第五十四頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日算術(shù)中的未知數(shù)，可能只是一個位置，也可能代表傳統(tǒng)的未知數(shù)角色，它們都等待數(shù)值的發(fā)現(xiàn)。而代數(shù)中的未知數(shù)，代表一個符號，它擁有其本身數(shù)學(xué)物件的本值，可以和其它的數(shù)進(jìn)行運(yùn)算。第五十五頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日由未知數(shù)是否能像已知數(shù)一樣被運(yùn)作，可以判斷是算術(shù)概念還是代數(shù)概念。當(dāng)一個一元一次方程式等號兩邊都有未知數(shù)時，才能算是真正的代數(shù)問題。第五十六頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日算術(shù)的解題活動是透過列式，施展一些活動而朝向解答的獲得（並不彰顯量之間的關(guān)係，但是實(shí)施了關(guān)係），代數(shù)的解題活動是發(fā)現(xiàn)與表示量的關(guān)係，並藉由等量公理的運(yùn)作，把一個等價關(guān)係變成另一個等價關(guān)係。第五十七頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日一個問題，在關(guān)係尚未確定（列出方程式）之前，未知數(shù)已經(jīng)是一個不變的量（一個目前未知的已知定量），關(guān)係的獲得只在於協(xié)助獲得其潛在的結(jié)果（求出目前未知的那一個定量），真正未知的是未知單位ｘ與已知單位１之間的關(guān)係未知。第五十八頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日何謂單位？∞是一個單位嗎?當(dāng)只是傳統(tǒng)的未知數(shù)概念時，未知數(shù)ｘ也可以是一個單位嗎？單位：所謂單位是指存在而被稱為１的事物（歐基理德）。第五十九頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日二個一數(shù)、五個一數(shù)、十個一數(shù)，三個一數(shù)、七個一數(shù)。那些是你習(xí)慣的數(shù)法?請由178開始數(shù)數(shù)看！第六十頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日你真的會十個一數(shù)嗎？那些情形只能夠一個一數(shù)？那些情形只能夠十個或百個一數(shù)？那些情形可以一個一數(shù)，也可以十個或百個一數(shù)？第六十一頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日物件零散排列時，只能一個一數(shù)(最多二個一數(shù))。物件已經(jīng)每十個放成一堆時，可以一個一數(shù)，也可以透過十個一數(shù)，讓點(diǎn)數(shù)更有效率。點(diǎn)數(shù)鈔票(橘色積木或百格板)時，只能十個、百個一數(shù)。第六十二頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日數(shù)數(shù)看，圖中有多少個「○」？○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○由1開始，逐一點(diǎn)數(shù)到34。先十個一數(shù)，再一個一數(shù)到34。這兩種數(shù)法都為了確定有幾個「○」，而後者比前者有效率。第六十三頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日點(diǎn)數(shù)較多物件(紙上呈現(xiàn)零散排列)的個數(shù)時，你會要求學(xué)童每數(shù)完10個物件後，畫一個圈，將點(diǎn)數(shù)過的物件圈起來嗎？你要求學(xué)童畫圈的理由為何？第六十四頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日如果學(xué)童是由1開始逐一點(diǎn)數(shù)，畫圈是鞤他，還是妨礙他點(diǎn)數(shù)？想想看，你是怎麼數(shù)的？成人將10個物件圈起來，主要的目的是為了方便十個一數(shù)。第六十五頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○使用10、20、30、31、32、33、34的方式點(diǎn)數(shù)有幾個圓圈，點(diǎn)數(shù)的過程中，一共點(diǎn)數(shù)或使用了幾種單位？第六十六頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日以「個」為量詞(1個圓圈為單位)點(diǎn)數(shù)一次：一個(或二個)一數(shù)！先十個一數(shù)，再一個一數(shù)！先一個一數(shù)，再十個一數(shù)！是否只點(diǎn)數(shù)了「1個(圓圈)」這一種單位(確定有幾個圓圈)？第六十七頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日將「10個」視為「1堆」，再點(diǎn)數(shù)一次！1、2、3，３堆1、2、3、4，４個3堆又4個，才是使用或點(diǎn)數(shù)兩種單位的數(shù)法。第六十八頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日當(dāng)學(xué)童能辨識人、蘋果、花片或椅子所成的集合時，因?yàn)辄c(diǎn)數(shù)的對像很明確，不會產(chǎn)生混淆。學(xué)童由1開始點(diǎn)數(shù)有幾個人。當(dāng)被要求點(diǎn)數(shù)蘋果時，學(xué)童會重新由1開始點(diǎn)數(shù)有幾個蘋果。第六十九頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日當(dāng)學(xué)童點(diǎn)數(shù)狗有幾隻，狗腿有幾條時，因?yàn)辄c(diǎn)數(shù)的對象都是狗，可能發(fā)生計(jì)數(shù)上的混淆。學(xué)童解決『1隻狗有4條腿，5隻狗合起來有幾條腿？跑掉1隻狗後，還剩下多少條腿？』時，可能發(fā)生計(jì)數(shù)上的混淆，回答跑掉1隻狗後，還剩下19條腿。第七十頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日當(dāng)學(xué)童面對印度—阿拉伯記數(shù)系統(tǒng)的位值概念時，更可能發(fā)生計(jì)數(shù)上的混淆。x、y是兩個數(shù)碼(數(shù)字)二位數(shù)字xy的值是多少?

xy=x+y，xy=10x+y第七十一頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日「77」這個數(shù)字中，左邊的「7」是右邊的「7」的多少倍？個數(shù)的觀點(diǎn)：左邊的7是7個「」，右邊的7是7個「」，個數(shù)都是7個，所以左邊的7是右邊的7的1倍。第七十二頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日點(diǎn)數(shù)有7隻豬，點(diǎn)數(shù)有7隻螞蟻，雖然豬比螞蟻大很多，但是點(diǎn)數(shù)的結(jié)果(有幾隻)都是7隻。第七十三頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日以「」為單位描述的觀點(diǎn)：左邊的7是7個「」，是70，右邊的7是7個『』，是7，70是7的10倍，所以左邊的7是右邊的7的10倍。換成同單位來（0.1)描述，左邊的7都是右邊的7的10倍。第七十四頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日「2.4」：以「1」為單位的記法?以「0.1」為單位的記法？第七十五頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日「2.4」公尺：記了多少個「1公尺」，記了多少個「0.1公尺」？任何數(shù)字都是以1為單位的記法。第七十六頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日「５」............「１」1是1個蘋果，5是5個蘋果。1是1盒蘋果，5是5盒蘋果。1是1箱蘋果，5是5箱蘋果。1盒或1箱有多少個蘋果，不知道！第七十七頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日我們只有一套點(diǎn)數(shù)系統(tǒng)（數(shù)詞或數(shù)字序列），單位指的是點(diǎn)數(shù)時1所指的物件。當(dāng)我們點(diǎn)數(shù)桌上有多少個蘋果的時候，被1對應(yīng)的蘋果就是單位（每一個蘋果地位相同），當(dāng)然，被2，3等對應(yīng)到的蘋果也是單位。第七十八頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日當(dāng)我們點(diǎn)數(shù)2.4公尺長的繩子中有多少個0.1公尺時，被1對應(yīng)到的0.1公尺就是單位。以0.1公尺為單位，2.4公尺是由24個0.1公尺合成的。2.4公尺是以1公尺為單位的記法。第七十九頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日當(dāng)我們點(diǎn)數(shù)桌上有多少堆蘋果時，被1對應(yīng)到的那一堆蘋果（每一堆蘋果可以都是7個，也可以每一堆蘋果不一樣多，但是要將每一堆蘋果的地位視為相同）就是單位。第八十頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日我們只有一套點(diǎn)數(shù)的工具，這一套工具點(diǎn)數(shù)的對像都是「1個」，如果點(diǎn)數(shù)的結(jié)果是「5個」，什麼時候「5個」才會像「1個」一樣，變成可以被點(diǎn)數(shù)的單位?例如：1個「5個」，2個「5個」，3個「5個」等等。第八十一頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日新的單位必須具備下列四項(xiàng)條件（以「5」為例）：剛開始「5」只是一個集聚單位，「5」是由5個「1」所合成的集合，「5」本身不是一個可以被運(yùn)作或被計(jì)數(shù)的單位。第八十二頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日要發(fā)展單位，必須先複製一個和原來的「5」不一樣的「5」。複製出一個「5」以後，接著可以複製出很多個「5」，當(dāng)發(fā)現(xiàn)這些複製出的「5」，都滿足數(shù)量一樣多的等價關(guān)係，可以仿照點(diǎn)數(shù)有幾個「1」的方法，來點(diǎn)數(shù)有幾個「5」，此時，「5」成為一個可以被計(jì)數(shù)的單位。第八十三頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日在點(diǎn)數(shù)有幾個「1」和點(diǎn)數(shù)有幾個「5」的時候，有時會混淆點(diǎn)數(shù)的意義，當(dāng)不會混淆點(diǎn)數(shù)的意義，也就是說：能夠區(qū)辨點(diǎn)數(shù)時的1，是幾個「1」的1，或是幾個「5」的1時，「5」才真正的成為一個單位。第八十四頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日當(dāng)「5」是一個單位時，「5」也可以和「1」一樣，集聚7個「5」成為一個集聚單位，這個新的集聚單位（「7個「5」」）本身也滿足單位的條件時，稱新的單位（「7個「5」」）為測量單位（「1」組成「5」，「5」組成「7個「5」」）。第八十五頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日如何幫助學(xué)童將未知數(shù)ｘ視為一個可以被計(jì)數(shù)的單位?如何幫助學(xué)童將未知數(shù)視為一個與全數(shù)或分?jǐn)?shù)一樣的數(shù)，可以和其它的數(shù)(包括未知數(shù)）進(jìn)形前面所描述的運(yùn)算性質(zhì)？第八十六頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日未知數(shù)的命名活動：ｘ成為一個可以被計(jì)數(shù)的單位。如何引入「3ｘ」,「-3ｘ」？ｘ成為一個可以被分割的單位。如何引入「x/7」，「3x/7」，「-3x/7」？第八十七頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日未知數(shù)的運(yùn)算：未知數(shù)和未知數(shù)的運(yùn)算。未知數(shù)和全數(shù)或分?jǐn)?shù)的運(yùn)算。第八十八頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日未知數(shù)和未知數(shù)的運(yùn)算如何引入：「3ｘ＋7x」「13ｘ-7x」「3x×7x」「3x÷7x」「3ｘ＋7y」「13ｘ-7y」「3x×7y」「3x÷7y」第八十九頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日未知數(shù)和全數(shù)或分?jǐn)?shù)的運(yùn)算：如何引入「ｘ＋2」,「3－x」「ｘ×2」,「ｘ÷3」「2×ｘ」,「3÷ｘ」第九十頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日在有未知數(shù)的問題中，已知數(shù)的單位「1（例如1元）」和未知數(shù)ｘ的單位「壹（例如1個ｘ）」，都是可以被計(jì)數(shù)的單位，只是已知數(shù)的單位「1（1元）」，和未知數(shù)ｘ的單位「壹（1個ｘ）」，是不同的兩個單位，無法同時計(jì)數(shù)。第九十一頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期日3元和2元可以計(jì)數(shù)，3個ｘ和2個ｘ也可以計(jì)數(shù)，但是3元和2個ｘ無法合併計(jì)數(shù)(單位不相同）。在未知數(shù)問題中，未知的是「1（1元）」和「壹（1個ｘ）」兩