晶體結(jié)構(gòu)與空間點(diǎn)陣

晶體結(jié)構(gòu)與空間點(diǎn)陣第一頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日

教學(xué)目標(biāo)

學(xué)習(xí)要點(diǎn)

通過本章學(xué)習(xí)，掌握表達(dá)晶體周期性結(jié)構(gòu)與它的點(diǎn)陣的各種概念；掌握晶面指數(shù)與晶向指數(shù)的標(biāo)定，晶面間距與晶面夾角的表達(dá)；倒易點(diǎn)陣。

⑴晶體結(jié)構(gòu)周期性與點(diǎn)陣。⑵7個(gè)晶系和14種Bravias空間格子。⑶晶胞，晶帶，晶向，晶面，晶面間距，晶面夾角。(4)倒易點(diǎn)陣

學(xué)時(shí)安排

學(xué)時(shí)-----2學(xué)時(shí)第二頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日2.1.1空間點(diǎn)陣（SpaceLattice）晶體結(jié)構(gòu)的幾何特征是其結(jié)構(gòu)基元（原子、離子、分子或其它原子集團(tuán)）一定周期性的排列。通常將結(jié)構(gòu)基元看成一個(gè)相應(yīng)的幾何點(diǎn)，而不考慮實(shí)際物質(zhì)內(nèi)容。這樣就可以將晶體結(jié)構(gòu)抽象成一組無限多個(gè)作周期性排列的幾何點(diǎn)。這種從晶體結(jié)構(gòu)抽象出來的，描述結(jié)構(gòu)基元空間分布周期性的幾何點(diǎn)，稱為晶體的空間點(diǎn)陣。幾何點(diǎn)為陣點(diǎn)。2.1、晶體結(jié)構(gòu)與空間點(diǎn)陣第三頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日

點(diǎn)陣點(diǎn)是代表結(jié)構(gòu)基元在空間重復(fù)排列方式的抽象的點(diǎn)。如果在晶體點(diǎn)陣中各點(diǎn)陣點(diǎn)位置上，按同一種方式安置結(jié)構(gòu)基元，就得整個(gè)晶體的結(jié)構(gòu)。

所以可簡(jiǎn)單地將晶體結(jié)構(gòu)示意表示為：晶體結(jié)構(gòu)=點(diǎn)陣+結(jié)構(gòu)基元結(jié)構(gòu)基元在晶體的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)中每個(gè)陣點(diǎn)所代表的具體內(nèi)容，包括原子或分子的種類和數(shù)量及其在空間按一定方式排列的結(jié)構(gòu)，稱為晶體的結(jié)構(gòu)基元。結(jié)構(gòu)基元是指重復(fù)周期中的具體內(nèi)容。點(diǎn)陣點(diǎn)第四頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日2.1.2基本矢量與晶胞

一個(gè)結(jié)點(diǎn)在空間三個(gè)方向上，以a,b,c重復(fù)出現(xiàn)即可建立空間點(diǎn)陣。重復(fù)周期的矢量a,b,c稱為點(diǎn)陣的基本矢量。由基本矢量構(gòu)成的平行六面體稱為點(diǎn)陣的單位晶胞。第五頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日同一個(gè)點(diǎn)陣可以由不同的平行六面體晶胞疊成。即可以任意選擇不同的坐標(biāo)系與基本矢量來表示。為了表達(dá)最簡(jiǎn)單，應(yīng)該選擇最理想、最適當(dāng)?shù)幕臼噶孔鳛樽鴺?biāo)系統(tǒng)。即是以結(jié)點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，（1）選取基本矢量長(zhǎng)度相等的數(shù)目最多、（2）其夾角為直角的數(shù)目最多，且（3）晶胞體積最小。這樣的基本矢量構(gòu)成的晶胞稱為布拉菲（BRAVAIS）晶胞。布拉菲晶胞每一個(gè)點(diǎn)陣只有一個(gè)最理想的晶胞即布拉菲晶胞。第六頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日2.1.3布拉菲點(diǎn)陣法國(guó)晶體學(xué)家A.Bravais研究表明，按照上述三原則選取的晶胞只有14種，稱為14種布拉菲點(diǎn)陣。14種布拉菲點(diǎn)陣分屬7個(gè)晶系中。第七頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日14種空間點(diǎn)陣形式第八頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日按晶胞中陣點(diǎn)位置的不同可將14種布拉菲點(diǎn)陣分為四類：簡(jiǎn)單(P)體心(I)面心(F)底心(C)陣點(diǎn)坐標(biāo)的表示方法：

以晶胞的任意頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以與原點(diǎn)相交的三個(gè)棱邊為坐標(biāo)軸，分別用點(diǎn)陣周期（a,b,c）為度量單位。第九頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日晶胞中的原子計(jì)數(shù)在晶胞不同位置的原子由不同數(shù)目的晶胞分享：頂角原子：1/8棱上原子：1/4面上原子：1/2晶胞內(nèi)部：1第十頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日◆簡(jiǎn)單點(diǎn)陣（P）只在晶胞的頂點(diǎn)上有陣點(diǎn)，每個(gè)晶胞只有一個(gè)陣點(diǎn)，陣點(diǎn)坐標(biāo)為000第十一頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日◆體心點(diǎn)陣，I除8個(gè)頂點(diǎn)外，體心上還有一個(gè)陣點(diǎn)，因此，每個(gè)陣胞含有兩個(gè)陣點(diǎn)，000，1/21/21/2第十二頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日◆面心點(diǎn)陣。F除8個(gè)頂點(diǎn)外，每個(gè)面心上有一個(gè)陣點(diǎn)，每個(gè)陣胞上有4個(gè)陣點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為000，1/21/20，1/201/2，01/21/2第十三頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日◆底心點(diǎn)陣，C除八個(gè)頂點(diǎn)上有陣點(diǎn)外，兩個(gè)相對(duì)的面心上有陣點(diǎn)，面心上的陣點(diǎn)為兩個(gè)相鄰的平行六面體所共有。因此，每個(gè)陣胞占有兩個(gè)陣點(diǎn)。陣點(diǎn)坐標(biāo)為000，1/21/20第十四頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日2.1.4點(diǎn)陣常數(shù)平行六面體的三個(gè)棱長(zhǎng)a、b、c和及其夾角α、β、γ，可決定平行六面體尺寸和形狀，這六個(gè)量亦稱為點(diǎn)陣常數(shù)。按點(diǎn)陣參數(shù)可將晶體點(diǎn)陣分為七個(gè)晶系。第十五頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日晶系邊長(zhǎng)夾角晶體實(shí)例立方a=b=cα=β=γ=90°Cu,NaCl四方a=b≠cα=β=γ=90°Sn,SnO2正交a≠b≠cα=β=γ=90°I2,HgCl2三方a=b=cα=β=γ≠90°Bi,Al2O3

a=b≠cα=β=90°γ=120°

六方a=b≠cα=β=90°γ=120°Mg,AgI單斜a≠b≠cα=γ=90°β=120°S,KClO3三斜a≠b≠cα≠β≠γ≠90°CuSO4·5H2O七個(gè)晶系及有關(guān)特征第十六頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日晶系特征對(duì)稱元素晶胞特點(diǎn)空間點(diǎn)陣型式立方晶系4個(gè)按立方體對(duì)角線取向的3重旋轉(zhuǎn)軸a=b=cα=β=γ=90°簡(jiǎn)單立方

立方體心

立方面心

六方晶系6重對(duì)稱軸a=b≠cα=β=90°,γ=120°簡(jiǎn)單六方

四方晶系4重對(duì)稱軸a=b≠cα=β=γ=90°簡(jiǎn)單四方

體心四方

三方晶系3重對(duì)稱軸a=b=cα=β=γ≠90°簡(jiǎn)單六方

R心六方

正交晶系2個(gè)互相垂直的對(duì)稱面或3個(gè)互相垂直的2重對(duì)稱軸a≠b≠cα=β=γ=90°

簡(jiǎn)單正交

C心正交

體心正交

面心正交

單斜晶系2重對(duì)稱軸或?qū)ΨQ面a≠b≠cα=β=90°≠γ

簡(jiǎn)單單斜

C心單斜

三斜晶系無a≠b≠ca≠b≠c≠90°

簡(jiǎn)單單斜

七個(gè)晶系及有關(guān)特征第十七頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日2.2、晶向、晶面及晶向、晶面指標(biāo)2.2.1晶向與晶向指標(biāo)

任意兩結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)列稱為晶向。與此晶向相對(duì)應(yīng)，一定有一組相互平行而且具有同一重復(fù)周期的結(jié)點(diǎn)列。

《晶體學(xué)中陣點(diǎn)平面與陣點(diǎn)直線的空間取向分別用晶面指數(shù)與晶向指數(shù)來表示。》或者：（1）在一族相互平行的陣點(diǎn)直線中引出過坐標(biāo)原點(diǎn)的陣點(diǎn)直線。（2）在該直線上任取一點(diǎn)，量出坐標(biāo)，并用點(diǎn)陣周期a,b,c表示。（3）將三個(gè)坐標(biāo)值用同一個(gè)數(shù)乘或除，劃歸互質(zhì)整數(shù)，并加方括號(hào)。晶向的表示方法：取其中通過原點(diǎn)的一根結(jié)點(diǎn)列，求該列最近原點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)的指數(shù)，u,v,w,并用方括號(hào)標(biāo)記[uvw]。第十八頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日晶向指數(shù)的確定建立坐標(biāo)系，結(jié)點(diǎn)為原點(diǎn)，三棱為方向，點(diǎn)陣常數(shù)為單位；在晶向上任兩點(diǎn)的坐標(biāo)(x1,y1,z1)(x2,y2,z2)。(若平移晶向或坐標(biāo)，讓在第一點(diǎn)在原點(diǎn)則下一步更簡(jiǎn)單)；

計(jì)算x2-x1：y2-y1：z2-z1；化成最小、整數(shù)比u：v：w；放在方括號(hào)[uvw]中，不加逗號(hào)，負(fù)號(hào)記在上方。第十九頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日紅線由兩個(gè)結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)之差確定第二十頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日在點(diǎn)陣中由結(jié)點(diǎn)構(gòu)成的平面稱為晶面。

空間點(diǎn)陣劃分為平面點(diǎn)陣的方式是多種多樣的.不同的劃法劃出的晶面(點(diǎn)陣面)的陣點(diǎn)密度是不相同的.意味著不同面上的作用力不相同.所以給不同面以相應(yīng)的指標(biāo)(hkl)。2.2.2晶面及晶面指標(biāo)第二十一頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日國(guó)際上通用的是密勒（Miller）指數(shù)，即用三個(gè)數(shù)字來表示晶面指數(shù)。標(biāo)定方法：(1)在一組相互平行的晶面中任選一個(gè)晶面，量出它在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距，并用點(diǎn)陣周期a，b，c來度量。假設(shè)截距為r，s，t。(2)取截距的倒數(shù)1/r，1/s，1/t。(3)將這些倒數(shù)乘以分母的最小公倍數(shù)，把他們化為三個(gè)簡(jiǎn)單整數(shù)h，k，l，，并用圓括號(hào)括起來。使h∶k∶l=1/r∶1/s∶1/t。則(hkl)就是待標(biāo)晶面的晶面指數(shù)。第二十二頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日我們說（553）晶面，實(shí)際是指一組平行的晶面。習(xí)題xzyabc（1）截距r、s、t分別為3，3，5（2）1/r:1/s:1/t=1/3:1/3:1/5（3）最小公倍數(shù)15，（4）于是，1/r，1/s，1/t分別乘15得到5，5，3，因此，晶面指標(biāo)為（553）。第二十三頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日1，所有相互平行的晶面，其晶面指數(shù)相同，或者三個(gè)符號(hào)均相反。可見，晶面指數(shù)所代表的不僅是某一晶面，而且代表著一組相互平行的晶面。2，晶面指數(shù)中h、k、l是互質(zhì)的整數(shù)。3，最靠近原點(diǎn)的晶面與X、Y、Z坐標(biāo)軸的截距為

a/h、b/k、c/l。晶面指數(shù)特征：即與原點(diǎn)位置無關(guān)；每一指數(shù)對(duì)應(yīng)一組平行的晶面。第二十四頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日立方晶系幾組晶面及其晶面指標(biāo)。（100）晶面表示晶面與a軸相截與b軸、c軸平行；（110）晶面表示與a和b軸相截，與c軸平行；（111）晶面則與a、b、c軸相截，截距之比為1:1:1(100)(110)(111)在點(diǎn)陣中的取向第二十五頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日思考題晶體的晶面指數(shù)的個(gè)數(shù)有上限嗎？例如（111，100，1）這樣的晶面有嗎？理論上講，晶面指數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的，只要能找到極端復(fù)雜的晶胞。但對(duì)實(shí)際的一個(gè)晶體，晶面的數(shù)目是一定的。第二十六頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日如果取a1、a2、和c為晶軸，按上述三軸定向的方法確定面指數(shù)，六個(gè)柱面的面指數(shù)為：（100）、（010）、（1(-)10）、（1(-)00）、（01(-)0）、（11(-)0）。但是，這種方法所確定的晶面指數(shù)不能顯示出六次對(duì)稱及等同面的特征。因此，對(duì)六方晶系往往采用四軸定向方法，稱為密勒-布拉菲指數(shù)。選取四個(gè)坐標(biāo)軸，其中a1、a2、a3在同一水平面上，之間的夾角為120°，c軸與這個(gè)平面垂直。這樣求出的晶面指數(shù)由四個(gè)數(shù)字組成，用（hkil）表示。其中前三個(gè)數(shù)字存在如下關(guān)系：

h+k=-i用四軸定向方法求出的六個(gè)柱面的晶面指數(shù)為：（101(-)0）、（011(-)0）、（1(-)100）、（1(-)010）、（01(-)10）、（11(-)00）。六方體系的晶面指數(shù)這樣的晶面指數(shù)可以明顯地顯示出六方對(duì)稱及等同晶面的特征。六方晶系的晶面和晶向指數(shù)表示方法與其它晶系不同。第二十七頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日六方晶系中如果用三軸定向表示晶向指數(shù)用[UVW]，四軸定向的晶向指數(shù)用[uvtw]來表示。三軸和四軸晶向指數(shù)之間的關(guān)系：六方體系的晶向指數(shù)第二十八頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日它與晶胞參數(shù)和晶面指標(biāo)有關(guān)。

一組平行晶面（hkl）中兩個(gè)相鄰平面間的垂直距離稱為晶面間距，用dhkl表示。

2.3、晶面間距d(hkl)

晶面與晶面間距是晶體X射線衍射結(jié)構(gòu)分析中所圍繞的內(nèi)容。第二十九頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日立方晶系

六方晶系

面間距dhkl與晶胞點(diǎn)陣參數(shù)之間的關(guān)系（hkl）代表一組相互平行的晶面,任意兩個(gè)相鄰的晶面的面間距都相等。對(duì)正交晶系5-1

5-2

5-3

第三十頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日晶面指標(biāo)越高,面間距越小,晶面上粒子的密度（或陣點(diǎn)的密度）也越小.只有（h*k*l*）小,dh*k*l*大,即陣點(diǎn)密度大的晶面（粒子間距離近,作用能大,穩(wěn)定）才能被保留下來.

第三十一頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日習(xí)題金屬鎳立方晶胞中（111）晶面的晶面間距d111為2.035?，求其（220）晶面間距d220。利用：求得:

?于是:

?第三十二頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日2.4晶面族晶面族：在同一晶體點(diǎn)陣中，有若干組晶面是可以通過一定的對(duì)稱變化重復(fù)出現(xiàn)的等同晶面，它們的面間距與晶面上結(jié)點(diǎn)分布完全相同。這些空間位向性質(zhì)完全相同的晶面的集合，稱為晶面族表示方法：用{hkl}表示。例如：立方晶系中{100}晶面族包括六個(gè)晶面（100）、（010）、（001）、（-100）、（0-10）、（00-1）注意，在其他晶系中，通過數(shù)字位置互換而得到的晶面不一定屬于同一晶面族，例如，正方晶系中a=bc，因此，{100}晶面族分為兩組，一個(gè)包含（100）（010）（-100）（0-10）晶面；另一個(gè)包含（001）（00-1）兩個(gè)晶面。思考：為什么要強(qiáng)調(diào)晶面族的概念？與衍射分析有什么關(guān)系？<晶體衍射結(jié)果最直接的信息是面間距。同一個(gè)面間距值可能對(duì)應(yīng)不同的晶面，這些具有相等面間距的晶面之間有可能通過選擇、平移等對(duì)稱性操作重復(fù)，這些晶面屬于同一晶面族。>第三十三頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日第三十四頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日2.5、倒易點(diǎn)陣（教學(xué)難點(diǎn)）2.5.1為什么要引入倒易點(diǎn)陣概念天下本無事，庸人自擾之？非常有用

1、考試要考；考研更要考2、能簡(jiǎn)化（1）晶面與晶面指數(shù)表達(dá)；（2）衍射原理的表達(dá)；（3）與實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果直接關(guān)聯(lián)，尤其是電子衍射部分。<晶體X射線衍射中核心是對(duì)晶體中各個(gè)晶面的研究，如果能把晶面作為一個(gè)點(diǎn)來研究，何樂不為？>第三十五頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日第三十六頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日倒易點(diǎn)陣是在晶體點(diǎn)陣的基礎(chǔ)上按一定對(duì)應(yīng)關(guān)系建立起來的空間幾何圖形，是晶體點(diǎn)陣的另一種表達(dá)形式。為了區(qū)別有時(shí)把晶體點(diǎn)陣空間稱為正空間。倒易空間中的結(jié)點(diǎn)稱為倒易點(diǎn)。2.5.2倒易點(diǎn)陣的概念、表達(dá)形式第三十七頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日1、倒易點(diǎn)陣的定義（倒易點(diǎn)陣與正點(diǎn)陣的轉(zhuǎn)換關(guān)系）倒易點(diǎn)陣參數(shù)：a*、b*、c*；α*、β*、γ*其中，a、b、c；α、β、γ為正點(diǎn)陣參數(shù)定義：矢量表示第三十八頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日因此，倒易點(diǎn)陣的基本矢量垂直于正點(diǎn)陣中異名矢量構(gòu)成的平面。a*垂直于b與c兩個(gè)矢量構(gòu)成的平面。同樣b*（或c*）垂直于a與c（a與b）兩個(gè)矢量構(gòu)成的平面。如果*=*=*=90o，或者，a*垂直（100）晶面；b*垂直（010）晶面；c*垂直（001）晶面。（1）（2）倒易點(diǎn)陣參數(shù)的方向與大小第三十九頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日倒易點(diǎn)陣是晶體結(jié)構(gòu)周期性在傅立葉空間中的數(shù)學(xué)抽象。如果把晶體點(diǎn)陣本身理解為周期函數(shù)，則倒易點(diǎn)陣就是晶體點(diǎn)陣的傅立葉變換，反之晶體點(diǎn)陣就是倒易點(diǎn)陣的傅立葉逆變換。

所以，倒易點(diǎn)陣只是晶體點(diǎn)陣在不同空間(波矢空間)的反映。2、倒易點(diǎn)陣的本質(zhì)第四十頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日2.5.3倒易矢量

1、定義：從倒易點(diǎn)陣原點(diǎn)向任一倒易陣點(diǎn)所連接的矢量叫倒易矢量，表示為：

r*=ha*+kb*+lc*倒易陣點(diǎn)用它所代表的晶面指數(shù)標(biāo)定。第四十一頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日倒易點(diǎn)陣正點(diǎn)陣立方正空間點(diǎn)陣的倒易變換(210)(100)(110)(010)cba(220)200100000210110010220120020C*b*a*H220第四十二頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日2、倒易矢量的兩個(gè)基本性質(zhì)（1）倒易矢量的方向垂直于正點(diǎn)陣中的（hkl）晶面。（2）倒易矢量的長(zhǎng)度等于（hkl）晶面的晶面間距dhkl的倒數(shù)。如果正點(diǎn)陣與倒易點(diǎn)陣具有同一坐標(biāo)原點(diǎn)，則正點(diǎn)陣中的一個(gè)晶面在倒易點(diǎn)陣中就變成了一個(gè)陣點(diǎn)（倒易點(diǎn)）。正點(diǎn)陣中晶面取向和面間距只須倒易矢量一個(gè)參量就能表示。第四十三頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日OABCabc同理可證：證明1：倒易矢量的方向垂直于正點(diǎn)陣中的（hkl）晶面。晶面（hkl）與三個(gè)坐標(biāo)軸的截距為：于是：設(shè)倒易矢量為：因此從倒易矢量的定義第四十四頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日OM垂直于晶面，交點(diǎn)為M，于是有：OABCabcM證明2：倒易矢量的長(zhǎng)度等于（hkl）晶面的晶面間距dhkl的倒數(shù)。因?yàn)樾再|(zhì)一成立，則有倒易矢量垂直于ABC面，即倒易矢量在OM方向上，這樣可以通過有倒易矢量給出單位矢量。為OM方向上的單位矢量第四十五頁，共五十三頁，編輯于202