演示文稿三重積分的概念與計(jì)算

演示文稿三重積分的概念與計(jì)算本文檔共47頁；當(dāng)前第1頁；編輯于星期三\10點(diǎn)54分（優(yōu)選）三重積分的概念與計(jì)算本文檔共47頁；當(dāng)前第2頁；編輯于星期三\10點(diǎn)54分第三節(jié)一、三重積分的概念二、三重積分的計(jì)算三重積分的概念與計(jì)算

第九章本文檔共47頁；當(dāng)前第3頁；編輯于星期三\10點(diǎn)54分一、三重積分的概念類似二重積分解決問題的思想,采用引例:

設(shè)在空間有界閉區(qū)域內(nèi)分布著某種不均勻的物質(zhì),求分布在內(nèi)的物質(zhì)的可得“大化小,常代變,近似和,求極限”解決方法:質(zhì)量

M.密度函數(shù)為本文檔共47頁；當(dāng)前第4頁；編輯于星期三\10點(diǎn)54分定義.

設(shè)存在,稱為體積元素,

若對作任意分割:任意取點(diǎn)則稱此極限為函數(shù)在上的三重積分.在直角坐標(biāo)系下常寫作下列“乘積和式”極限記作本文檔共47頁；當(dāng)前第5頁；編輯于星期三\10點(diǎn)54分三重積分的性質(zhì)1.線性性質(zhì)、單調(diào)性、積分估值公式2.區(qū)域可加性4.微元法5.對稱奇偶性*6.中值定理.在有界閉域上連續(xù),則存在使得V為的體積,本文檔共47頁；當(dāng)前第6頁；編輯于星期三\10點(diǎn)54分二、三重積分的計(jì)算1.利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分方法1.

投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)三次積分法本文檔共47頁；當(dāng)前第7頁；編輯于星期三\10點(diǎn)54分方法1.

投影法

(“先一后二”)記作本文檔共47頁；當(dāng)前第8頁；編輯于星期三\10點(diǎn)54分投影法

三次積分法設(shè)區(qū)域利用投影法結(jié)果,把二重積分化成二次積分即得:適用范圍:由平面圍成的情況本文檔共47頁；當(dāng)前第9頁；編輯于星期三\10點(diǎn)54分本文檔共47頁；當(dāng)前第10頁；編輯于星期三\10點(diǎn)54分其中為三個(gè)坐標(biāo)例.計(jì)算三重積分所圍成的閉區(qū)域.解:面及平面本文檔共47頁；當(dāng)前第11頁；編輯于星期三\10點(diǎn)54分.計(jì)算,其中由錐面及平面圍成.解：例2.本文檔共47頁；當(dāng)前第12頁；編輯于星期三\10點(diǎn)54分化為三次積分，由曲面及平面圍成.解：如圖所以曲面與xOy坐標(biāo)面交于x軸和y軸.例1.本文檔共47頁；當(dāng)前第13頁；編輯于星期三\10點(diǎn)54分方法2.截面法

(“先二后一”)本文檔共47頁；當(dāng)前第14頁；編輯于星期三\10點(diǎn)54分特別適用于積分區(qū)域中一坐標(biāo)的范圍易獲得，截面范圍易表示的情況。本文檔共47頁；當(dāng)前第15頁；編輯于星期三\10點(diǎn)54分其中為三個(gè)坐標(biāo)例3.

計(jì)算三重積分所圍成的閉區(qū)域.面及平面為面上軸，解:如圖，：軸和圍成的等腰直角三角形.所以

注：此題可用投影法求解．本文檔共47頁；當(dāng)前第16頁；編輯于星期三\10點(diǎn)54分計(jì)算三重積分其中是上半橢球體解：則而原式例4.本文檔共47頁；當(dāng)前第17頁；編輯于星期三\10點(diǎn)54分例.

計(jì)算三重積分解:

用“先二后一”本文檔共47頁；當(dāng)前第18頁；編輯于星期三\10點(diǎn)54分補(bǔ)充：三重積分對稱性：本文檔共47頁；當(dāng)前第19頁；編輯于星期三\10點(diǎn)54分補(bǔ)充：三重積分對稱性：2、奇偶對稱性：本文檔共47頁；當(dāng)前第20頁；編輯于星期三\10點(diǎn)54分解積分域關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面都對稱，被積函數(shù)是的奇函數(shù),球面關(guān)于xoy面對稱本文檔共47頁；當(dāng)前第21頁；編輯于星期三\10點(diǎn)54分解本文檔共47頁；當(dāng)前第22頁；編輯于星期三\10點(diǎn)54分本文檔共47頁；當(dāng)前第23頁；編輯于星期三\10點(diǎn)54分本文檔共47頁；當(dāng)前第24頁；編輯于星期三\10點(diǎn)54分1.

將用三次積分表示,其中由所提示:思考與練習(xí)六個(gè)平面圍成,本文檔共47頁；當(dāng)前第25頁；編輯于星期三\10點(diǎn)54分3.設(shè)計(jì)算提示:利用對稱性原式=奇函數(shù)本文檔共47頁；當(dāng)前第26頁；編輯于星期三\10點(diǎn)54分tobecontinue本文檔共47頁；當(dāng)前第27頁；編輯于星期三\10點(diǎn)54分作業(yè)115頁3,4,6,12,13本文檔共47頁；當(dāng)前第28頁；編輯于星期三\10點(diǎn)54分換元法三重積分也有類似二重積分的換元積分公式:體積元素一一對應(yīng)雅可比行列式本文檔共47頁；當(dāng)前第29頁；編輯于星期三\10點(diǎn)54分利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分就稱為點(diǎn)M

的柱坐標(biāo).直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:本文檔共47頁；當(dāng)前第30頁；編輯于星期三\10點(diǎn)54分圓柱面本文檔共47頁；當(dāng)前第31頁；編輯于星期三\10點(diǎn)54分平面半平面本文檔共47頁；當(dāng)前第32頁；編輯于星期三\10點(diǎn)54分本文檔共47頁；當(dāng)前第33頁；編輯于星期三\10點(diǎn)54分圓柱面半平面平面本文檔共47頁；當(dāng)前第34頁；編輯于星期三\10點(diǎn)54分在柱面坐標(biāo)下本文檔共47頁；當(dāng)前第35頁；編輯于星期三\10點(diǎn)54分若從小到大邊界到邊界則有在投影區(qū)域上做極坐標(biāo)變換本文檔共47頁；當(dāng)前第36頁；編輯于星期三\10點(diǎn)54分例.

計(jì)算三重積分解:

在柱面坐標(biāo)系下所圍成.與平面其中由拋物面原式=本文檔共47頁；當(dāng)前第37頁；編輯于星期三\10點(diǎn)54分4.計(jì)算其中解:利用對稱性本文檔共47頁；當(dāng)前第38頁；編輯于星期三\10點(diǎn)54分利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分

就稱為點(diǎn)M

的球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系本文檔共47頁；當(dāng)前第39頁；編輯于星期三\10點(diǎn)54分球面半平面錐面本文檔共47頁；當(dāng)前第40頁；編輯于星期三\10點(diǎn)54分在球面坐標(biāo)系中從小到大，從邊界到邊界。體積元素為化為三次積分，本文檔共47頁；當(dāng)前第41頁；編輯于星期三\10點(diǎn)54分求的體積，解：球面方程為在球坐標(biāo)系下方程為所以例6.本文檔共47頁；當(dāng)前第42頁；編輯于星期三\10點(diǎn)54分內(nèi)容小結(jié)積分區(qū)域多由坐標(biāo)面被積函數(shù)形式簡潔,或坐標(biāo)系體積元素適用情況直角坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系*說明:三重積分也有類似二重積分的換元積分公式:對應(yīng)雅可比行列式為變量可分離.圍成;本文檔共47頁；當(dāng)前第43頁；編輯于星期三\10點(diǎn)54分xzOy圖2-3222計(jì)算，其中為雙曲面，錐面及柱面圍成．思考與練習(xí)本文檔共47頁；當(dāng)前第44頁；編輯于星期三\10點(diǎn)54分3.設(shè)由錐面和球面所圍成,計(jì)算提示:利用對稱性用球坐標(biāo)本