彈塑性力學(xué)基礎(chǔ)演示

（優(yōu)選）彈塑性力學(xué)基礎(chǔ)本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第1頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分彈塑性力學(xué)基礎(chǔ)李同林中國(guó)地質(zhì)大學(xué)力學(xué)教研室本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第2頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分第一章緒論一、學(xué)科分類·彈塑性力學(xué)二、彈塑性力學(xué)的研究對(duì)象三、彈塑性力學(xué)的基本思路與研究方法四、彈塑性力學(xué)的基本任務(wù)五、彈塑性力學(xué)基本假設(shè)六、彈塑性力學(xué)發(fā)展概況七、張量概念及其基本運(yùn)算本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第3頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分一、學(xué)科分類·彈塑性力學(xué)按運(yùn)動(dòng)與否分：靜力學(xué)：研究力系或物體的平衡問(wèn)題，不涉及物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變；如飛機(jī)停在地面或巡航。運(yùn)動(dòng)學(xué)：研究物體如何運(yùn)動(dòng)，不討論運(yùn)動(dòng)與受力的關(guān)系；如飛行軌跡、速度、加速度。動(dòng)力學(xué)：研究力與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系。如何提供加速度？1、學(xué)科分類

本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第4頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分●按研究對(duì)象分：

◆一般力學(xué)：

研究對(duì)象是剛體。研究力及其與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系。分支學(xué)科有理論力學(xué)，分析力學(xué)等。◆流體力學(xué)：研究對(duì)象是氣體或液體。涉及到：

水力學(xué)、空氣動(dòng)力學(xué)等學(xué)科。◆固體力學(xué)：研究對(duì)象是可變形固體。研究材料變形、流動(dòng)和斷裂時(shí)的力學(xué)響應(yīng)。其分支學(xué)科有：

材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、彈性力學(xué)、

塑性力學(xué)、彈塑性力學(xué)、斷裂力學(xué)、流變學(xué)、疲勞等。本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第5頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分

按研究手段分：（理論分析、實(shí)驗(yàn)和數(shù)值計(jì)算）

有實(shí)驗(yàn)力學(xué)、計(jì)算力學(xué)二個(gè)方面的分支。

按應(yīng)用領(lǐng)域分：有飛行力學(xué)、船舶結(jié)構(gòu)力學(xué)、巖土力學(xué)、量子力學(xué)等。本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第6頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分

2、彈塑性力學(xué)

彈塑性力學(xué)是固體力學(xué)的一個(gè)重要分支學(xué)科，是研究可變形固體受到外荷載或溫度變化等因素的影響而發(fā)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位移及其分布規(guī)律的一門科學(xué)，是研究固體在受載過(guò)程中產(chǎn)生的彈性變形和塑性變形階段這兩個(gè)緊密相連的變形階段力學(xué)響應(yīng)的一門科學(xué)。

本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第7頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分二、彈塑性力學(xué)的研究對(duì)象

在研究對(duì)象上，材料力學(xué)的研究對(duì)象是固體，且基本上是各種桿件，即所謂一維構(gòu)件。造成兩者間這種差異的根本原因是什么呢？

彈塑性力學(xué)研究對(duì)象也是固體，是不受幾何尺寸與形態(tài)限制的能適應(yīng)各種工程技術(shù)問(wèn)題需求的物體。本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第8頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分三、彈塑性力學(xué)的基本思路與研究方法1、彈塑性力學(xué)分析問(wèn)題的基本思路

彈塑性力學(xué)與材料力學(xué)同屬固體力學(xué)的分支學(xué)科，它們?cè)诜治鰡?wèn)題解決問(wèn)題的基本思路上都是一致的，但在研究問(wèn)題的基本方法上各不相同。其基本思路如下：本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第9頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分(1)受力分析及靜力平衡條件(力的分析)物體受力作用處于平衡狀態(tài)，應(yīng)當(dāng)滿足的條件是什么？（靜力平衡條件）(2)變形的幾何相容條件(幾何分析)材料是均勻連續(xù)的，在受力變形后仍應(yīng)是連續(xù)的。固體內(nèi)既不產(chǎn)生“裂隙”，也不產(chǎn)生“重疊”，此時(shí)材料變形應(yīng)滿足的條件是什么？（幾何相容條件）(3)力與變形間的本構(gòu)關(guān)系(物理分析)固體材料受力作用必然產(chǎn)生相應(yīng)的變形。不同的材料，不同的變形，就有相應(yīng)不同的物理關(guān)系。本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第10頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分◆彈塑性力學(xué)研究問(wèn)題的基本方法以受力物體內(nèi)某一點(diǎn)（單元體）為研究對(duì)象

單元體的受力——應(yīng)力理論；單元體的變形——變形幾何理論；單元體受力與變形間的關(guān)系——本構(gòu)理論；

建立起普遍適用的理論與解法。1、涉及數(shù)學(xué)理論較復(fù)雜，并以其理論與解法的嚴(yán)密性和普遍適用性為特點(diǎn)；2、彈塑性的工程解答一般認(rèn)為是精確的；3、可對(duì)初等力學(xué)理論解答的精確度和可靠進(jìn)行度量。本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第11頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分四、彈塑性力學(xué)的基本任務(wù)可歸納為以下幾點(diǎn)：1．建立求解固體的應(yīng)力、應(yīng)變和位移分布規(guī)律的基本方程和理論；2．給出初等理論無(wú)法求解的問(wèn)題的理論和方法，以及對(duì)初等理論可靠性與精確度的度量；3．確定和充分發(fā)揮一般工程結(jié)構(gòu)物的承載能力，提高經(jīng)濟(jì)效益；4．為進(jìn)一步研究工程結(jié)構(gòu)物的強(qiáng)度、振動(dòng)、穩(wěn)定性、斷裂等力學(xué)問(wèn)題，奠定必要的理論基礎(chǔ)。本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第12頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分五、彈塑性力學(xué)的基本假設(shè)（1）連續(xù)性假設(shè)：假定物質(zhì)充滿了物體所占有的全部空間，不留下任何空隙。

（2）均勻性與各向同性的假設(shè)：假定物體內(nèi)部各點(diǎn)處，以及每一點(diǎn)處各個(gè)方向上的物理性質(zhì)相同。

（3）力學(xué)模型的簡(jiǎn)化假設(shè)：（A）完全彈性假設(shè)；（B）彈塑性假設(shè)。本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第13頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分⑷幾何假設(shè)——小變形條件

（A）在彈塑性體產(chǎn)生變形后建立平衡方程時(shí)，可以不考慮因變形而引起的力作用線方向的改變；從而使得平衡條件與幾何變形條件線性化。

（B）在研究問(wèn)題的過(guò)程中可以略去相關(guān)的二次及二次以上的高階微量；

假定物體在受力以后，體內(nèi)的位移和變形是微小的，即體內(nèi)各點(diǎn)位移都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體的原始尺寸，而且應(yīng)變(包括線應(yīng)變與角應(yīng)變)均遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1。根據(jù)這一假定：

本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第14頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分六、彈塑性力學(xué)發(fā)展概況

◆1678年英國(guó)科學(xué)家虎克(R.Hooke)提出了固體材料的彈性變形與所受外力成正比——虎克定律。◆19世紀(jì)20年代，法國(guó)科學(xué)家納維葉(C.L.M.H.Navier)、柯西(A.L.Cauchy)和圣文南(A.J.C.B.SaintVenant)等建立了彈性力學(xué)的理論基礎(chǔ)。本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第15頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分◆法國(guó)科學(xué)家?guī)靷?C.A.Corlomb1773年）、屈雷斯卡(H.Tresca1864年）、圣文南和萊(M.Levy)波蘭力學(xué)家胡勃(M.T.Houber

1904年）、米塞斯(R.vonMises1913年）、普朗特(L.Prandtl1924)羅伊斯(A.Reuss1930)、享奇（H.Hencky)、納戴(A.L.Nadai)、伊留申(A.A.Ииьющин)

闡明了應(yīng)力、應(yīng)變的概念和理論；彈性力學(xué)和彈塑性力學(xué)的基本理論框架得以確立。本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第16頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分七、張量概念及其基本運(yùn)算（附錄一）

1、張量概念◆張量分析是研究固體力學(xué)、流體力學(xué)及連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的重要數(shù)學(xué)工具?！魪埩糠治鼍哂懈叨雀爬ā⑿问胶?jiǎn)潔的特點(diǎn)。

◆任一物理現(xiàn)象都是按照一定的客觀規(guī)律進(jìn)行的，它們是不以人們的意志為轉(zhuǎn)移的。

◆分析研究物理現(xiàn)象的方法和工具的選用與人們當(dāng)時(shí)對(duì)客觀事物的認(rèn)識(shí)水平有關(guān)，會(huì)影響問(wèn)題的求解與表述。

本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第17頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分◆

所有與坐標(biāo)系選取無(wú)關(guān)的量，統(tǒng)稱為物理恒量?！?/p>

在一定單位制下，只需指明其大小即足以被說(shuō)明的物理量，統(tǒng)稱為標(biāo)量。例如溫度、質(zhì)量、功等?！?/p>

在一定單位制下，除指明其大小還應(yīng)指出其方向的物理量，稱為矢量。例如速度、加速度等。

◆

絕對(duì)標(biāo)量只需一個(gè)量就可確定，而絕對(duì)矢量則需三個(gè)分量來(lái)確定。

◆

若我們以r表示維度，以n表示冪次，則關(guān)于三維空間，描述一切物理恒量的分量數(shù)目可統(tǒng)一地表示成：（Ⅰ—1）本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第18頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分◆現(xiàn)令n為這些物理量的階次，并統(tǒng)一稱這些物理量為張量。

◆二階以上的張量已不可能在三維空間有明顯直觀的幾何意義，但它做為物理恒量，其分量間可由坐標(biāo)變換關(guān)系式來(lái)解決定義。當(dāng)n=0時(shí)，零階張量，M=1，標(biāo)量；當(dāng)n=1時(shí)，一階張量，M=3，矢量；、、、當(dāng)取n時(shí)，n階張量，M=3n。本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第19頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分◆

在張量的討論中，都采用下標(biāo)字母符號(hào)，來(lái)表示和區(qū)別該張量的所有分量。

◆

不重復(fù)出現(xiàn)的下標(biāo)符號(hào)稱為自由標(biāo)號(hào)。自由標(biāo)號(hào)在其方程內(nèi)只羅列不求和。以自由標(biāo)號(hào)的數(shù)量確定張量的階次。◆

重復(fù)出現(xiàn)，且只能重復(fù)出現(xiàn)一次的下標(biāo)符號(hào)稱為啞標(biāo)號(hào)或假標(biāo)號(hào)。啞標(biāo)號(hào)在其方程內(nèi)先羅列，再不求和。2.下標(biāo)記號(hào)法◆

本教程張量下標(biāo)符號(hào)的變程，僅限于三維空間，即變程為3。本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第20頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分3.求和約定

關(guān)于啞標(biāo)號(hào)應(yīng)理解為取其變程N(yùn)內(nèi)所有數(shù)值，然后再求和，這就叫做求和約定。例如：（I-2）（I-4）（I-5）本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第21頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分★

關(guān)于求和標(biāo)號(hào)，即啞標(biāo)有：◆

求和標(biāo)號(hào)可任意變換字母表示。◆

求和約定只適用于字母標(biāo)號(hào)，不適用于數(shù)字標(biāo)號(hào)。

◆

在運(yùn)算中，括號(hào)內(nèi)的求和標(biāo)號(hào)應(yīng)在進(jìn)行其它運(yùn)算前優(yōu)先求和。例：

（I-12）（I-13）本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第22頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分★關(guān)于自由標(biāo)號(hào)：

◆在同一方程式中，各張量的自由標(biāo)號(hào)相同，即同階且標(biāo)號(hào)字母相同?！糇杂蓸?biāo)號(hào)的數(shù)量確定了張量的階次?！镪P(guān)于Kroneckerdelta（）符號(hào)：

是張量分析中的一個(gè)基本符號(hào)稱為柯氏符號(hào)（或柯羅尼克爾符號(hào)），亦稱單位張量。其定義為：

（I-17）本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第23頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分4.張量的基本運(yùn)算

A、張量的加減：

張量可以用矩陣表示，稱為張量矩陣，如：

凡是同階的兩個(gè)或幾個(gè)張量可以相加(或相減)，并得到同階的張量，它的分量等于原來(lái)張量中標(biāo)號(hào)相同的諸分量之代數(shù)和。即：其中各分量（元素）為：（I-19）（I-20）本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第24頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分B、張量的乘積◆

對(duì)于任何階的諸張量都可進(jìn)行乘法運(yùn)算。

◆

兩個(gè)任意階張量的乘法定義為：第一個(gè)張量的每一個(gè)分量乘以第二個(gè)張量中的每一個(gè)分量，它們所組成的集合仍然是一個(gè)張量，稱為第一個(gè)張量乘以第二個(gè)張量的乘積，即積張量。積張量的階數(shù)等于因子張量階數(shù)之和。例如：◆

張量乘法不服從交換律，但張量乘法服從分配律和結(jié)合律。例如：

（I-21）（I-22）本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第25頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分C、張量函數(shù)的求導(dǎo)：◆

一個(gè)張量是坐標(biāo)函數(shù)，則該張量的每個(gè)分量都是坐標(biāo)參數(shù)xi的函數(shù)。

◆

對(duì)張量求導(dǎo)，就是把張量的每個(gè)分量都對(duì)坐標(biāo)參數(shù)求導(dǎo)數(shù)。

◆

對(duì)張量的坐標(biāo)參數(shù)求導(dǎo)數(shù)時(shí)，采用在張量下標(biāo)符號(hào)前上方加“′”的方式來(lái)表示。例如：，就表示對(duì)一階張量的每一個(gè)分量對(duì)坐標(biāo)參數(shù)xi求導(dǎo)。

◆

對(duì)張量的坐標(biāo)參數(shù)求導(dǎo)數(shù)時(shí)，采用在張量下標(biāo)符號(hào)前上方加“′”的方式來(lái)表示。例如：，就表示對(duì)一階張量的每一個(gè)分量對(duì)坐標(biāo)參數(shù)xi求導(dǎo)。

本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第26頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分◆

如果在微商中下標(biāo)符號(hào)i

是一個(gè)自由下標(biāo)，則算子作用的結(jié)果，將產(chǎn)生一個(gè)新的升高一階的張量；如果在微商中，下標(biāo)符號(hào)是一個(gè)啞標(biāo)號(hào)，則算子作用的結(jié)果將產(chǎn)生一個(gè)新的降低一階的張量。例如：（I-23）（I-24）（I-25）（I-25）◆

如果在微商中下標(biāo)符號(hào)i

是一個(gè)自由下標(biāo)，則算子作用的結(jié)果，將產(chǎn)生一個(gè)新的升高一階的張量；如果在微商中，下標(biāo)符號(hào)是一個(gè)啞標(biāo)號(hào)，則算子作用的結(jié)果將產(chǎn)生一個(gè)新的降低一階的張量。例如：本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第27頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分4.張量的分解張量一般是非對(duì)稱的。若張量的分量滿足則稱為反對(duì)稱張量。顯然反對(duì)稱張量中標(biāo)號(hào)重復(fù)的分量(也即主對(duì)角元素)為零，即。

則稱為對(duì)稱張量。如果的分量滿足（I-27）（I-28）本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第28頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分第二章

應(yīng)力理論一、應(yīng)力的概念·應(yīng)力狀態(tài)的概念二、應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換方程三、主應(yīng)力·應(yīng)力主方向·應(yīng)力張量不變量四、最大(最小)剪應(yīng)力五、空間應(yīng)力圓.應(yīng)力橢球

六、應(yīng)力張量的分解七、偏斜應(yīng)力張量.主偏應(yīng)力.應(yīng)力偏量不變量八、八面體應(yīng)力·等效應(yīng)力九、平衡（或運(yùn)動(dòng)）微分方程本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第29頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分一、應(yīng)力的概念

應(yīng)力狀態(tài)的概念◆應(yīng)力：受力物體內(nèi)某點(diǎn)某截面上內(nèi)力的分布集度。1、應(yīng)力的概念本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第30頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分2、應(yīng)力狀態(tài)的概念：受力物體內(nèi)某點(diǎn)處所取無(wú)限多截面上的應(yīng)力情況的總和，就顯示和表明了該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力正應(yīng)力剪應(yīng)力必須指明兩點(diǎn)：1.是哪一點(diǎn)的應(yīng)力；2.是該點(diǎn)哪個(gè)微截面的應(yīng)力?！舯硎緫?yīng)力的及符號(hào)規(guī)則：正應(yīng)力：剪應(yīng)力：第一個(gè)字母表明該應(yīng)力作用截面的外法線方向同哪一個(gè)坐標(biāo)軸相平行。第二個(gè)字母表明該應(yīng)力的指向同哪個(gè)坐標(biāo)軸相平行。本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第31頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分◆應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)則：本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第32頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分3.應(yīng)力張量

數(shù)學(xué)上，在坐標(biāo)變換時(shí)，服從一定坐標(biāo)變換式的九個(gè)數(shù)所定義的量，叫做二階張量。根據(jù)這一定義，物體內(nèi)一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)可用二階張量的形式來(lái)表示，并稱為應(yīng)力張量，而各應(yīng)力分量即為應(yīng)力張量的元素，且由剪應(yīng)力等定理知，應(yīng)力張量應(yīng)是一個(gè)對(duì)稱的二階張量，簡(jiǎn)稱為應(yīng)力張量?；颍?—3）

據(jù)剪應(yīng)力互等定理,應(yīng)力張量應(yīng)是一個(gè)對(duì)稱的二階張量。

本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第33頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分二.應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換方程

1、任意斜截面上的應(yīng)力

已知：

求：PPx、Py、

Pz斜截面外法線為n，方向余弦分別為L(zhǎng)1、L2、L3；面積：SABC=1；SOBC=L1，SOAC=L2，SOAB=L3。本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第34頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分則由單元體力系平衡條件：、、得：（2—4）

（2—5）

（2—6）

（2—7）

（2—8）

本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第35頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分2、應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換方程標(biāo)坐軸xyzx′y′z′表2—1

本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第36頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分（2—10）

本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第37頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分3、平面應(yīng)力狀態(tài)◆注意：材力與彈塑性力學(xué)中關(guān)于應(yīng)力符號(hào)的差異。本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第38頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分（2—22）

（2—21）

（2—11）

本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第39頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分三.主應(yīng)力·應(yīng)力主方向·應(yīng)力張量不變量

主平面：一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)剪應(yīng)力等于零的截面稱為主平面；主應(yīng)力：主平面上的正應(yīng)力稱為該點(diǎn)的主應(yīng)力；主方向：主平面的法線方向即為主方向；主單元體：由主平面截取的單元體稱為主單元體。設(shè)斜截面ABC為主平面，則：3lPnzs=本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第40頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分則由2-4得：

（2—12）

（2—13）

（2—18）本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第41頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分

理論上可證明：當(dāng)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)確定時(shí)，由式2-18必可求出三個(gè)實(shí)根，即為主應(yīng)力，且。主應(yīng)力彼此正交。(2—19)

（2—20）

本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第42頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分◆正應(yīng)力的極值就是主應(yīng)力（2—24）

（2—25）由2-24及得：

對(duì)上式取極值求出方向余弦式，再代回式2-25得：，即正應(yīng)力取極值截面上的剪應(yīng)力為零，此正應(yīng)力即為主應(yīng)力。主方向彼此正交。本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第43頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分四.最大(最小)剪應(yīng)力

由2-25及求出：本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第44頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分討論式（b），可得其解如表２-３所示：表2—300±100±10±0±1000000±±±±±本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第45頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分◆主剪應(yīng)力為：本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第46頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分◆最大（最?。┘魬?yīng)力為：（2—27）

◆最大（最小）剪應(yīng)力作用截面上一般正應(yīng)力不為零，即：（2—28）

本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第47頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分五.空間應(yīng)力圓·應(yīng)力橢球一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)用解析法研究用幾何法研究解析理論莫爾應(yīng)力圓若三個(gè)坐標(biāo)軸的方向都恰取為應(yīng)力主方向，則由式(2—24)或(2—15)可求出用，外法線為n的斜截面上的正應(yīng)力其表達(dá)式為:1、空間應(yīng)力圓本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第48頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分在式（c）中，設(shè)永遠(yuǎn)是正值，所以式（c）中右端的分子和分母應(yīng)有相同的正、負(fù)號(hào)。在式（c）中，設(shè)永遠(yuǎn)是正值，所以式（c）中右端的分子和分母應(yīng)有相同的正、負(fù)號(hào)。本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第49頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分

本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第50頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分六、應(yīng)力張量的分解+＝+＝（2—30）

本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第51頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分◆通常對(duì)于金屬材料有：◆通常將應(yīng)力張量進(jìn)行分解，更有利于研究固體材料的塑性變形行為。

◆巖土材料在球應(yīng)力張量作用下，一般也會(huì)出現(xiàn)塑性體變，從而出現(xiàn)奇異屈服面。球應(yīng)力張量體變：只是彈性變形畸變：首先產(chǎn)生彈性畸變，當(dāng)應(yīng)力達(dá)到一定的極值時(shí)，將產(chǎn)生塑性的畸變。偏斜應(yīng)力張量本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第52頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分七、偏斜應(yīng)力張量.主偏應(yīng)力.應(yīng)力偏量不變量1、偏斜應(yīng)力張量.主偏應(yīng)力＝=＝＝＝本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第53頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分2、應(yīng)力偏量不變量本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第54頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分=◆

作用八面體產(chǎn)生畸變，是塑性力學(xué)中的重要力學(xué)參量。八、8面體應(yīng)力·等效應(yīng)力本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第55頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分2、等效應(yīng)力（2-43）◆材料處于單向拉伸應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，，；◆應(yīng)力狀態(tài)確定了，值就確定了，與坐標(biāo)軸的選擇無(wú)關(guān)；◆等效應(yīng)力與球應(yīng)力狀態(tài)無(wú)關(guān)，是塑性力學(xué)中的重要力學(xué)參量。計(jì)算中是使用的絕對(duì)值。

等效應(yīng)力又稱為有效應(yīng)力或應(yīng)力強(qiáng)度，用表示.本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第56頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分九、平衡（或運(yùn)動(dòng)）微分方程

本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第57頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分◆平衡微分方程：

◆一個(gè)客觀的彈性力學(xué)問(wèn)題，在物體體內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)力分量和體力分量必定滿足這組方程。◆求解應(yīng)力場(chǎng)的問(wèn)題是一個(gè)靜不定問(wèn)題?！趔w力分量指向同坐標(biāo)軸正向一致取正，反之負(fù)。（2-44）（2-45）本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第58頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分十、靜力邊界條件

◆一個(gè)客觀的彈塑性力學(xué)問(wèn)題，在物體邊界上任意一點(diǎn)的應(yīng)力分量和面力分量必定滿足這組方程。◆面力分量指向同坐標(biāo)軸正向一致取正，反之取負(fù)。（2-46）（2-47）本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第59頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分◆當(dāng)邊界面與某一坐標(biāo)軸相垂直時(shí)，應(yīng)力分量與相應(yīng)的面力分量直接對(duì)應(yīng)相等?！絷P(guān)于平面問(wèn)題的應(yīng)力邊界條件（xoy平面）：（2-49）本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第60頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分例2-7：

圖2—16所示為一變截面薄板梁，板的厚度為單位1，跨度為。梁上表面承受三角形分布載荷作用，下斜表面承受均布切向面力作用，左端面上作用的面力詳細(xì)分布情況不清，但分布面力的合力為切向集中力P，合力偶的力偶矩為M。試確定此問(wèn)題上述三邊界上的應(yīng)力邊界條件。本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第61頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第62頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第63頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分例2-7：解：左邊界：下邊界：據(jù)圣文南原理和平衡的原理得：上邊界：（1）（2）（3）本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第64頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分第三章變形幾何理論一、位移、應(yīng)變、幾何方程、

應(yīng)變狀態(tài)、應(yīng)變張量三、應(yīng)變分量轉(zhuǎn)換方程四、主應(yīng)變、最大(最小)剪應(yīng)變、體積應(yīng)變七、應(yīng)變速度、應(yīng)變?cè)隽?、?yīng)變莫爾圓六、應(yīng)變協(xié)調(diào)方程五、應(yīng)變張量的分解、等效應(yīng)變二、位移邊界條件本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第65頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分一、位移、應(yīng)變、應(yīng)變狀態(tài)、幾何方程、應(yīng)變張量1、位移分量和相對(duì)位移分量｛位移剛性位移：反映物體整體位置的變動(dòng)變形位移：反映物體的形狀和尺寸發(fā)生變化

研究物體在外力作用下的變形規(guī)律，只需研究物體內(nèi)各點(diǎn)的相對(duì)位置變動(dòng)情況，即研究變形位移。

通常物體內(nèi)各點(diǎn)的位移應(yīng)是點(diǎn)的位置坐標(biāo)函數(shù)，參照oxyz坐標(biāo)即為：（3---1）◆位移函數(shù)應(yīng)是位置坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)?！粑灰品至亢瘮?shù)不能直接表明物體各點(diǎn)處材料變形的劇烈程度，還需要研究物體內(nèi)各點(diǎn)的相對(duì)位移。本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第66頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第67頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第68頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分2、應(yīng)變的概念、幾何方程◆在物體內(nèi)任一點(diǎn)M處截取一單元體，考察其變形（由平面推廣到空間）?！粼谛∽冃蔚那疤嵯陆?yīng)變的概念和幾何方程。⑴

應(yīng)變的概念本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第69頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分◆考察單元體在xy平面上投影ABCD的變形?！舢?dāng)微分體變形并出現(xiàn)位移后，其在xoy平面上的投影ABCD就移至新的位置，如圖所示。

⑴

應(yīng)變的概念本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第70頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分⑴

應(yīng)變的概念沿x方向棱邊的線應(yīng)變，據(jù)定義有：

也即：

（略去高階微量得：）A點(diǎn)x，y方向所夾直角的改變量，即剪應(yīng)變（角應(yīng)變）：

也即：本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第71頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分⑴

應(yīng)變的概念線應(yīng)變→角應(yīng)變→◆應(yīng)變的符號(hào)規(guī)則：

表征某點(diǎn)某方向伸長(zhǎng)變形的線應(yīng)變?nèi)≌?，反之取?fù)；表征某點(diǎn)兩坐標(biāo)軸正方向所夾直角減少的角應(yīng)變?nèi)≌?，反之取?fù)。顯然：γxy=γyx。1.涉及受力物體內(nèi)某點(diǎn)；2.涉及該點(diǎn)的某一方向；3.是一個(gè)無(wú)量綱的物理量。1、涉及受力物體內(nèi)某一點(diǎn)；2、涉及過(guò)該點(diǎn)的某兩相垂直方向；3、是一個(gè)有單位，無(wú)量綱的物理量。本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第72頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分⑵

幾何方程：（3---2）該式表明了一點(diǎn)處的位移分量和應(yīng)變分量所應(yīng)滿足的關(guān)系，稱為幾何方程，也稱為柯西(Augustin-LouisCauchy)幾何關(guān)系。其縮寫式為：（3---7）本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第73頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分3、應(yīng)變狀態(tài)、應(yīng)變張量==（3---6）受力物體內(nèi)某點(diǎn)處線應(yīng)變和剪應(yīng)變的總和，反映和表征了該點(diǎn)的變形程度(狀態(tài))，稱之為應(yīng)變狀態(tài)。一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)可用二階張量的形式來(lái)表示，稱為應(yīng)變張量，用表示，即：本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第74頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分◆由幾何方程式可以看出，當(dāng)物體內(nèi)一點(diǎn)的位移

分量完全確定時(shí)，則應(yīng)變分量亦已完全確定，

因?yàn)閼?yīng)變是位移的微分形式。但是當(dāng)應(yīng)變分量

完全確定時(shí)，位移分量則不一定能求解出來(lái)，

這是由于物體的位移除了包含有純變形位移

外，還可能包括有剛性位移。

本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第75頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分三、應(yīng)變分量轉(zhuǎn)換方程⑴任意方向上的線應(yīng)變計(jì)算：本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第76頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分⑵

應(yīng)變分量轉(zhuǎn)換方程一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)是一個(gè)二階對(duì)稱張量，則其分量轉(zhuǎn)換方程為：(3---12)(3---13)本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第77頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分◆應(yīng)變狀態(tài)與應(yīng)力狀態(tài)都是二階對(duì)稱張量，

因此在數(shù)學(xué)上兩者所遵循的坐標(biāo)變換法則是

相同的。比較公式3--12和2—9，知其分量間對(duì)應(yīng)關(guān)系為：但且◆由于應(yīng)變張量與應(yīng)力張量?jī)烧咴跀?shù)學(xué)上遵

循相同的坐標(biāo)變換法則，所以可知主應(yīng)變、

應(yīng)變主方向、最大（最?。┘魬?yīng)力、應(yīng)變張

量分解、…等對(duì)應(yīng)關(guān)系式均可直接導(dǎo)出。本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第78頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分四、主應(yīng)變、應(yīng)變主方向、最大（最?。┘魬?yīng)變◆過(guò)物體內(nèi)任一點(diǎn)，一定存在著三個(gè)互相垂直的平面,在這些平面間剪應(yīng)變?yōu)榱?，將其稱之為應(yīng)變主平面。

◆應(yīng)變主平面的外法線方向稱為應(yīng)變主方向或應(yīng)變主軸。應(yīng)變主軸彼此正交?！魬?yīng)變主方向上的線應(yīng)變就是主應(yīng)變。一點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)的主應(yīng)變有三個(gè)即：◆當(dāng)一點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)確定是，

其主應(yīng)變、應(yīng)變主方向由

下式確定：⑴主應(yīng)變、應(yīng)變主方向本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第79頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分（3---18）（3---19）（3---22）◆應(yīng)變不變量：（3---23）本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第80頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分◆理論上可證明：三個(gè)應(yīng)變主軸是彼此垂直的?！衾碚撋弦话阏J(rèn)為：應(yīng)力主方向與應(yīng)變主方向彼此對(duì)應(yīng)相同。通常簡(jiǎn)稱為主方向。(2)、最大（最?。┘魬?yīng)變◆

理論上可證明：當(dāng)一點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)確定時(shí)，該點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)變一定也是三個(gè)實(shí)數(shù)根。并且按代數(shù)值排列：（3---24）（3---25）本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第81頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分五、應(yīng)變張量的分解、八面體應(yīng)變、等效應(yīng)變應(yīng)變張量也可分解為應(yīng)變球張量和應(yīng)變偏張量，即：（3---27）（3---28）（3---27）⑴應(yīng)變張量的分解本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第82頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分⑵偏斜應(yīng)變張量.應(yīng)變偏量不變量◆應(yīng)變偏張量為：◆相應(yīng)的應(yīng)變偏量不變量為：(3---30）（3---29）本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第83頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分⑶八面體應(yīng)變、等效應(yīng)變◆

八面體應(yīng)變公式為：◆

等效應(yīng)變?yōu)椋海?---34）（3---31）（3---32）本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第84頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分六、變形連續(xù)性條件◆由幾何方程可知，六個(gè)獨(dú)立的應(yīng)變分量是表征一點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)的，彼此間是不能相互獨(dú)立的。因此，六個(gè)獨(dú)立的應(yīng)變分量應(yīng)滿足一定的條件——變形連續(xù)性條件。三個(gè)幾何方程必須彼此協(xié)調(diào)，同時(shí)成立。◆以平面問(wèn)題為例：（oxy平面）幾何方程3個(gè)位移分量2個(gè)若無(wú)附加條件，則位移沒(méi)有單值解?！羝矫鎲?wèn)題（oxy平面）中，位移分量u、v、w都是坐標(biāo)x、y的函數(shù)?！粢云矫鎲?wèn)題為例：（oxy平面）幾何方程3個(gè)位移分量2個(gè)◆以平面問(wèn)題為例：（oxy平面）幾何方程3個(gè)若無(wú)附加條件，則位移沒(méi)有單值解。位移分量2個(gè)◆以平面問(wèn)題為例：（oxy平面）幾何方程3個(gè)三個(gè)幾何方程必須彼此協(xié)調(diào)，同時(shí)成立。若無(wú)附加條件，則位移沒(méi)有單值解。位移分量2個(gè)◆以平面問(wèn)題為例：（oxy平面）幾何方程3個(gè)三個(gè)幾何方程必須彼此協(xié)調(diào)，同時(shí)成立。若無(wú)附加條件，則位移沒(méi)有單值解。位移分量2個(gè)幾何方程3個(gè)◆平面問(wèn)題（oxy平面）中，位移分量u、v、w都是坐標(biāo)x、y的函數(shù)。三個(gè)幾何方程必須彼此協(xié)調(diào)，同時(shí)成立。◆平面問(wèn)題（oxy平面）中，位移分量u、v、w都是坐標(biāo)x、y的函數(shù)。若無(wú)附加條件，則位移沒(méi)有單值解。三個(gè)幾何方程必須彼此協(xié)調(diào)，同時(shí)成立。◆平面問(wèn)題（oxy平面）中，位移分量u、v、w都是坐標(biāo)x、y的函數(shù)。位移分量2個(gè)若無(wú)附加條件，則位移沒(méi)有單值解。三個(gè)幾何方程必須彼此協(xié)調(diào)，同時(shí)成立?！羝矫鎲?wèn)題（oxy平面）中，位移分量u、v、w都是坐標(biāo)x、y的函數(shù)。位移分量2個(gè)若無(wú)附加條件，則位移沒(méi)有單值解。三個(gè)幾何方程必須彼此協(xié)調(diào)，同時(shí)成立。幾何方程3個(gè)位移分量2個(gè)若無(wú)附加條件，則位移沒(méi)有單值解。三個(gè)幾何方程必須彼此協(xié)調(diào)，同時(shí)成立。本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第85頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分◆變形連續(xù)性條件，亦稱應(yīng)變協(xié)調(diào)條件（方程）或相容條件（方程）。導(dǎo)出如下：（3--35）本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第86頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分◆其數(shù)學(xué)意義：要求要求位移函數(shù)在其定義域內(nèi)為單值連續(xù)函

數(shù)，其方程就是位移函數(shù)的全微分條件?！羝湮锢硪饬x：就是要保證不違反連續(xù)性假設(shè)，構(gòu)成物體的介質(zhì)在變形前后是連續(xù)的，并且物體內(nèi)每一點(diǎn)的位移必定是確定的，即同一點(diǎn)不會(huì)產(chǎn)生兩個(gè)或兩個(gè)以上的位移。這就是說(shuō)，相鄰點(diǎn)發(fā)生微小位移后，仍為相鄰點(diǎn)，否則物體在變形后將出現(xiàn)間隙或重疊現(xiàn)象。

◆變形連續(xù)性條件反映了真實(shí)情況下物體內(nèi)各點(diǎn)應(yīng)變之間的協(xié)調(diào)關(guān)系。

◆關(guān)于平面問(wèn)題，變形連續(xù)性條件簡(jiǎn)化為：（3--35）◆對(duì)于多連域問(wèn)題，物體變形除滿足式（2-94）（必要條件）外，還要補(bǔ)充條件（充分條件）。本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第87頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分

一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)可用應(yīng)變莫爾圓來(lái)表示：七、應(yīng)變莫爾圓本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第88頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分第四章彈性變形、塑性變形、本構(gòu)方程§4-1彈性變形與塑性變形的特點(diǎn)

塑性力學(xué)的附加假設(shè)

§4-2常用簡(jiǎn)化力學(xué)模型

§4-3彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)

§4-4屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件

§4-7塑性本構(gòu)方程簡(jiǎn)介

本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第89頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分§4-1彈性變形與塑性變形的特點(diǎn)

塑性力學(xué)的附加假設(shè)◆彈塑性力學(xué)研究的問(wèn)題一般都是靜不定問(wèn)題。｛◆靜不定問(wèn)題的解答1、靜力平衡分析——平衡微分方程2、幾何變形分析——幾何方程3、物理關(guān)系分析——物理方程

◆此即彈塑性力學(xué)分析解決問(wèn)題的基本思路?！舯砻鞴腆w材料產(chǎn)生彈性變形或塑性變形時(shí)應(yīng)力與應(yīng)變，以及應(yīng)力率與應(yīng)變率之間關(guān)系的物性方程，稱為本構(gòu)方程（關(guān)系）。本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第90頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分§4-1彈性變形與塑性變形的特點(diǎn)、塑性力學(xué)的附加假設(shè)（續(xù)1）◆

大量實(shí)驗(yàn)證實(shí)，固體受力變形時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系是相輔相成的?！?/p>

固體材料在一定條件下，應(yīng)力與應(yīng)變之間各自有著確定的關(guān)系，這一關(guān)系反映著固體材料的變形的客觀特性。本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第91頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分§4-1彈性變形與塑性變形的特點(diǎn)、塑性力學(xué)的附加假設(shè)（續(xù)2）

⑴彈性變形特點(diǎn):①?gòu)椥宰冃问强赡娴?。物體在變形過(guò)程中，外力所做的功以能量（應(yīng)變能）的形式貯存在物體內(nèi)，當(dāng)卸載時(shí)，彈性應(yīng)變能將全部釋放出來(lái)，物體的變形得以完全恢復(fù)；②無(wú)論材料是處于單向應(yīng)力狀態(tài)，還是復(fù)雜應(yīng)力態(tài)，在線彈性變形階段，應(yīng)力和應(yīng)變成線性比例關(guān)系；③對(duì)材料加載或卸載，其應(yīng)力應(yīng)變曲線路徑相同。因此，應(yīng)力與應(yīng)變是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第92頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分§4-1彈性變形與塑性變形的特點(diǎn)、塑性力學(xué)的附加假設(shè)（續(xù)3）⑵塑性變形特點(diǎn):①塑性變形不可恢復(fù)，所以外力功不可逆，塑性變形的產(chǎn)生必定要耗散能量（稱耗散能或形變功）。②在塑性變形階段，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是非線性的。由于本構(gòu)方程的非線性，所以不能使用疊加原理。又因?yàn)榧虞d與卸載的規(guī)律不同，應(yīng)力與應(yīng)變之間不再存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即應(yīng)力與相應(yīng)的應(yīng)變不能唯一地確定，而應(yīng)當(dāng)考慮到加載路徑（或加載歷史）。③在載荷作用下，變形體有的部分仍處于彈性狀態(tài)稱彈性區(qū)，有的部分已進(jìn)入了塑性狀態(tài)稱塑性區(qū)。在彈性區(qū)，加載與卸載都服從廣義虎克定律。但在塑性區(qū)，加載過(guò)程服從塑性規(guī)律，而在卸載過(guò)程中則服從彈性的虎克定律。并且隨著載荷的變化，兩區(qū)域的分界面也會(huì)產(chǎn)生變化。④依據(jù)屈服條件，判斷材料是否處于塑性變形狀態(tài)。本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第93頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分§4-1彈性變形與塑性變形的特點(diǎn)、塑性力學(xué)的附加假設(shè)（續(xù)4）◆具強(qiáng)化性質(zhì)的固體材料，隨著塑性變形的增加，屈服極限在一個(gè)方向上提高，而在相反的方向上降低的效應(yīng)，稱為包辛格效應(yīng)?！?/p>

包辛格效應(yīng)導(dǎo)致材料物理力學(xué)性質(zhì)具有各向異性?！粲捎谶@一效應(yīng)的數(shù)學(xué)描述比較復(fù)雜,一般塑性理論（在本教程）中都忽略它的影響。⑶包辛格效應(yīng):本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第94頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分§4-1彈性變形與塑性變形的特點(diǎn)、塑性力學(xué)的附加假設(shè)（續(xù)5）⑷塑性力學(xué)附加假設(shè):為研究塑性力學(xué)需要，對(duì)材料提出如下附加假設(shè)：①球應(yīng)力引起了全部體變（即體積改變量），而不包含畸變（即形狀改變量），體變是彈性的。因此，球應(yīng)力不影響屈服條件；②偏斜應(yīng)力引起了全部畸變，而不包括體變，塑性變形僅是由應(yīng)力偏量引起的。因此，在塑性變形過(guò)程中材料具有不可壓縮性（即體積應(yīng)變?yōu)榱悖?；③不考慮時(shí)間因素對(duì)材料性質(zhì)的影響，即認(rèn)為材料是非粘性的。

◆

這些附加假設(shè)都是建立在一些金屬材料的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上的，前兩條對(duì)巖土材料不適應(yīng)。本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第95頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分§4-2常用簡(jiǎn)化力學(xué)模型◆

變形力學(xué)模型是在大量實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，將各種反映材料力學(xué)性質(zhì)的應(yīng)力應(yīng)變曲線，進(jìn)行分析歸類抽象總結(jié)后提出的?！?/p>

對(duì)不同的固體材料，不同的應(yīng)用領(lǐng)域，可采用不同的變形體力學(xué)模型?！?/p>

確定力學(xué)模型時(shí)應(yīng)注意：①必須符合材料的實(shí)際情況；②模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式應(yīng)足夠簡(jiǎn)單。本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第96頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分§4-2常用簡(jiǎn)化力學(xué)模型（續(xù)1）不同的固體材料，力學(xué)性質(zhì)各不相同。即便是同一種固體材料，在不同的物理環(huán)境和受力狀態(tài)中，所測(cè)得的反映其力學(xué)性質(zhì)的應(yīng)力應(yīng)變曲線也各不相同。盡管材料力學(xué)性質(zhì)復(fù)雜多變，但仍是有規(guī)律可循的，也就是說(shuō)可將各種反映材料力學(xué)性質(zhì)的應(yīng)力應(yīng)變曲線，進(jìn)行分析歸類并加以總結(jié)，從而提出相應(yīng)的變形體力學(xué)模型。本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第97頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分§4-2常用簡(jiǎn)化力學(xué)模型（續(xù)2）

在確定力學(xué)模型時(shí)，要特別注意使所選取的力學(xué)模型必須符合材料的實(shí)際情況，這是非常重要的，因?yàn)橹挥羞@樣才能使計(jì)算結(jié)果反映結(jié)構(gòu)或構(gòu)件中的真實(shí)應(yīng)力及應(yīng)力狀態(tài)。另一方面要注意所選取的力學(xué)模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式應(yīng)足夠簡(jiǎn)單，以便在求解具體問(wèn)題時(shí)，不出現(xiàn)過(guò)大的數(shù)學(xué)上的困難。關(guān)于彈塑性力學(xué)中常用的簡(jiǎn)化力學(xué)模型分析如下：本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第98頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分§4-2常用簡(jiǎn)化力學(xué)模型（續(xù)3）◆

理想彈塑性力學(xué)模型

理想彈塑性力學(xué)模型亦稱為彈性完全塑性力學(xué)模型，該模型抓住了韌性材料的主要變形特征。其表達(dá)式為：（4-2）本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第99頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分§4-2常用簡(jiǎn)化力學(xué)模型（續(xù)4）◆

理想線性強(qiáng)化彈塑性力學(xué)模型

理想線性強(qiáng)化彈塑性力學(xué)模型亦稱為彈塑性線性強(qiáng)化材料或雙線性強(qiáng)化模型。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第100頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分§4-2常用簡(jiǎn)化力學(xué)模型（續(xù)5）◆理想剛塑性力學(xué)模型

理想剛塑性力學(xué)模型亦稱剛性完全塑性力學(xué)模型，特別適宜于塑性極限載荷的分析。其表達(dá)式為:（4--4）本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第101頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分§4-2常用簡(jiǎn)化力學(xué)模型（續(xù)6）◆理想線性強(qiáng)化剛塑性力學(xué)模型

理想線性強(qiáng)化剛塑性力學(xué)模型，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：（4--5）本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第102頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分§4-2常用簡(jiǎn)化力學(xué)模型（續(xù)7）◆冪強(qiáng)化力學(xué)模型

為了避免在處的變化，有時(shí)可以采用冪強(qiáng)化力學(xué)模型。當(dāng)表達(dá)式中冪強(qiáng)化系數(shù)n分別取0或1時(shí)，就代表理想彈塑性模型和理想剛塑性模型。其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系表達(dá)式為：（4--6）本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第103頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分§4-3彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)大量的試驗(yàn)研究結(jié)果表明，在許多工程材料的彈性范圍內(nèi)，單向的應(yīng)力與應(yīng)變之間存在著線性關(guān)系。若取過(guò)某點(diǎn)的x方向?yàn)閱屋S向力方向，則簡(jiǎn)單拉(壓)時(shí)的虎克定律為：

由于這種關(guān)系反映出來(lái)的材料變形屬性，應(yīng)不隨應(yīng)力狀態(tài)的不同而變化，因而人們認(rèn)為，對(duì)于各種復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)也應(yīng)有性質(zhì)相同的關(guān)系，故可將上述應(yīng)力應(yīng)變線性比例關(guān)系推廣到一般情況，即在彈性變形過(guò)程中，任一點(diǎn)的每一應(yīng)力分量都是六個(gè)獨(dú)立的應(yīng)變分量的線性函數(shù)；反之亦然。這種形式的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，稱為廣義虎克定律或彈性本構(gòu)方程，表達(dá)為數(shù)學(xué)形式則為：

本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第104頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分§4-3彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)1）式中Cmn稱為彈性常數(shù)，與位置坐標(biāo)無(wú)關(guān)。（4-8）⑴

廣義虎克定律一般表達(dá)式：假設(shè)物體中沒(méi)有初應(yīng)力，對(duì)于均勻的理想彈性體的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系下：本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第105頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分◆廣義虎克定律張量表達(dá)式：（4-9）◆

廣義虎克定律式（4-8）中36個(gè)彈性常數(shù)是否彼此無(wú)關(guān)？◆

彈性常數(shù)針對(duì)各種不同的研究對(duì)象；它們之間的關(guān)系是什么？◆式（4-8）若采用矩陣表達(dá)式,則為：{σ}=[D]{ε}{σ}稱為應(yīng)力列陣；{ε}稱為應(yīng)變列陣；[D]稱為彈性矩陣?！?-3彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)2）本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第106頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分⑵彈性應(yīng)變能函數(shù):◆

彈性體的實(shí)功原理：若對(duì)于靜荷載作用下產(chǎn)生彈性變形過(guò)程中不計(jì)能量耗散，則據(jù)功能原理：產(chǎn)生此變形的外力在加載過(guò)程中所作的功將以一種能量的形式被積累在物體內(nèi)，此能量稱為彈性應(yīng)變能，或稱彈性變形能。并且物體的彈性應(yīng)變能在數(shù)值上等于外力功。這就是實(shí)功原理，也稱變形能原理。若彈性應(yīng)變能用U表示，外力功用We表示，則有：

（4--10）若以Wi表示內(nèi)力功，則有：（4--11）（a）且：§4-3彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)3）

本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第107頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分⑶、彈性體中的內(nèi)力功和應(yīng)變能：物體內(nèi)代表一點(diǎn)的微分體，在變形時(shí)存在有剛性位移與變形位移兩部分。但由于內(nèi)力是平衡力系，在微分體的剛體（性）位移上不作功，則只須討論應(yīng)力對(duì)微分體引起應(yīng)變所作的內(nèi)力功（亦稱形變功）。§4-3彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)4）首先考察單元體上外法線與x軸相平行的微截面上拉力（或壓力）所作的功如圖4-8(a)所示。本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第108頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分

同理可得：

于是拉力所作的內(nèi)力功為：同理可得：

§4-3彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)5）本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第109頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分則彈性體由零應(yīng)變狀態(tài)加載至某一應(yīng)變狀態(tài)的過(guò)程中，彈性體整個(gè)體積的內(nèi)力功為：（4—12）于是從零應(yīng)變狀態(tài)到達(dá)某一應(yīng)變狀態(tài)的過(guò)程中，積累在彈性體單位體積內(nèi)的應(yīng)變能為：

（4—14）

（4—13）§4-3彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)6）（4—13）本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第110頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分⑷、彈性勢(shì)能函數(shù):有勢(shì)力在勢(shì)力場(chǎng)（彈性體）中，由于質(zhì)點(diǎn)位置的改變（變形）有做功的能力，這種能稱為勢(shì)能。這種勢(shì)能顯然就是上述應(yīng)變能。勢(shì)能是質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，故我們把應(yīng)變能亦稱為應(yīng)變能函數(shù)，或彈性勢(shì)能函數(shù)。

對(duì)于理想彈性體，在每一確定的應(yīng)變狀態(tài)下，都具有確定的應(yīng)變值。彈性勢(shì)能函數(shù)與應(yīng)變過(guò)程無(wú)關(guān)。在加、卸載的過(guò)程中：

（b）§4-3彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)7）本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第111頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分上式表明：應(yīng)力分量等于彈性勢(shì)函數(shù)對(duì)相應(yīng)的應(yīng)變分量的一階偏導(dǎo)數(shù)。適用于一般彈性體。其縮寫式為：彈性勢(shì)能函數(shù)是坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)，故必為全微分，即：

（4—19）

§4-3彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)8）（4—17）

（4—18）

本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第112頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分⑸、彈性常數(shù)間的關(guān)系:①、極端各向異性體:對(duì)極端各向異性體，獨(dú)立的彈性常數(shù)只有21個(gè)。

變形過(guò)程中，積累在單位體積內(nèi)的應(yīng)變能為：

（4—21）

§4-3彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)9）（4—20）

本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第113頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分②、正交各向異性體:正交各向異性體：過(guò)物體內(nèi)一點(diǎn)具有三個(gè)互相正交的彈性對(duì)稱面，在每個(gè)對(duì)稱面兩側(cè)的對(duì)稱方向上彈性性質(zhì)相同，但在三個(gè)互相正交方向的彈性性質(zhì)彼此不同?！?-3彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)10）應(yīng)變能的值只取決于彈性常數(shù)及最終的應(yīng)變狀態(tài)，應(yīng)該與坐標(biāo)軸的指向無(wú)關(guān)。本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第114頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分

正交各向異性體獨(dú)立的彈性常數(shù)只有9個(gè)。則其相應(yīng)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為：

其單位體積應(yīng)變能為：（4—22）

（4—23）

§4-3彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)11）本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第115頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分有一類正交各向異性體，其特點(diǎn)是在平行于某一平面的所有各個(gè)方向(即所謂橫向)都具有相同的彈性，我們將這類正交異性體稱為橫觀各向同性體。許多成層的巖石就屬于這一類。③、橫觀各向同性體:

§4-3彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)12）（4—24）（4—25）本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第116頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分§4-3彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)13）對(duì)比材料力學(xué)的公式，則式(4-25)可寫成：（4—26）由于在平面內(nèi)各向同性，故由材料力學(xué)的證明知：（4—27）對(duì)于橫觀各向同性體，獨(dú)立的彈性常數(shù)只有5個(gè)，它們是：。

本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第117頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分§4-3彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)14）④、各向同性體:所謂各向同性體：是指過(guò)物體內(nèi)一點(diǎn)沿任何方向上的物理力學(xué)性質(zhì)均相同的物體。其獨(dú)立的彈性常數(shù)只有兩個(gè)。

各向同性體兩個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)通常取為：

彈性模量E和泊桑比υ

★各向同性彈性體的本構(gòu)方程:（4—28）（4—29）A.用應(yīng)力表達(dá)應(yīng)變的廣義虎克定律:本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第118頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分B.用應(yīng)變表達(dá)應(yīng)力的廣義虎克定律：上式中λ稱為拉梅常數(shù)。（4—33）

§4-3彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)15）剪切彈性模量G，楊氏彈性模量E，泊松(Poisson)比三者間的關(guān)系為：（4—30）（4—33）本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第119頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分C．用球應(yīng)力與應(yīng)力偏量表示的廣義虎克定律：

（4—38）

此式說(shuō)明各向同性彈性體的本構(gòu)方程也可表示為：應(yīng)變球張量與應(yīng)力球張量成正比，應(yīng)變偏張量與應(yīng)力偏張量成正比?！?-3彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)16）若將式(4-31)中各彈性系數(shù)代人式(4-23)，即可得各向同性體的應(yīng)變比能為：

（4—34）

本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第120頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分體積彈性模量K剪切彈性模量G>0

彈性模量E>0

拉梅常數(shù)λ>0

§4-3彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)17）泊桑比0<

<0.5本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第121頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分

例4—1當(dāng)泊松比υ=0.5時(shí)，為什么表示材料不可壓縮性，即體積不變。此時(shí)的剪切彈性模量G與拉壓彈性模量E有什么關(guān)系？解：設(shè)υ=0.5，由式（4—38）第一式及式（4—37），所以，體積應(yīng)變:說(shuō)明材料體積不變，即材料有不可壓縮性。又由式（4—30），得:§4-3彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)18）本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第122頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分§4-3彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)19）

A、球應(yīng)力（平均正應(yīng)力）引起了單元體全部體變而不包括畸變；體變是彈性的。B、偏應(yīng)力引起了單元體全部畸變而不包括體變。塑性變形僅是由應(yīng)力偏量引起的。事實(shí)上，由于應(yīng)力狀態(tài)中發(fā)生體變的球應(yīng)力始終存在、發(fā)生彈性畸變的偏應(yīng)力也始終存在，因此整個(gè)變形階段彈性變形是始終存在的。當(dāng)應(yīng)力超過(guò)屈服極限而發(fā)生塑性變形時(shí)，始終還伴隨著彈性變形，故而這個(gè)變形階段稱為彈塑性階段。上述的兩點(diǎn)討論有助于我們對(duì)塑性變形的研究，

★應(yīng)力張量和應(yīng)變張量分解的物理意義：本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第123頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分§4-4屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件1、屈服函數(shù):

判斷材料是處于彈性狀態(tài)還是已經(jīng)進(jìn)入到塑性狀態(tài)，進(jìn)行這一判斷所依據(jù)的準(zhǔn)則就稱為屈服條件，又稱塑性條件。當(dāng)材料處于簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，當(dāng)應(yīng)力達(dá)到屈服極限材料便處于塑性狀態(tài)。即便是對(duì)那些應(yīng)力應(yīng)變曲線上彈塑性階段分界不明顯的材料，也可采用屈服極限。本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第124頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分提出問(wèn)題:在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下材料的屈服條件如何確立呢？

一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)通常是由六個(gè)獨(dú)立的應(yīng)力分量所確定。作為判斷材料是否進(jìn)入塑性狀態(tài)的標(biāo)準(zhǔn)，應(yīng)該考慮到所有這些應(yīng)力分量的貢獻(xiàn)。固體材料破壞的基本類型只有兩類：（1）材料屈服流動(dòng)、強(qiáng)化，產(chǎn)生較大的塑性變形，最終導(dǎo)致剪切斷裂；（2）材料幾乎不產(chǎn)生塑性變形，就導(dǎo)致脆性斷裂；§4-4屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)1）本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第125頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分§4-4屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)2)★

對(duì)于同一種材料，無(wú)論它處于何種應(yīng)力狀態(tài)，當(dāng)導(dǎo)致它產(chǎn)生某種破壞的這一共同的因素達(dá)到某一個(gè)極限值時(shí)，材料就會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的破壞?！?/p>

因此，我們希望通過(guò)材料的簡(jiǎn)單力學(xué)試驗(yàn)來(lái)確定這個(gè)因素的極限值。★

人們根據(jù)材料破壞的現(xiàn)象，總結(jié)材料破壞的規(guī)律逐漸認(rèn)識(shí)到：不管固體材料產(chǎn)生破壞（脆性斷裂或塑性屈服→剪切斷裂）的表面現(xiàn)象多么復(fù)雜，對(duì)應(yīng)某種破壞形式都具有共同的某一決定強(qiáng)度的因素。本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第126頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分

現(xiàn)在的問(wèn)題就是：考慮如何根據(jù)簡(jiǎn)單受力狀態(tài)的試驗(yàn)結(jié)果（上述極限值），去建立材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下（即與所有的應(yīng)力分量都相關(guān)的）判別材料變形狀態(tài)的關(guān)系——屈服條件。

在一般情況下，屈服條件與所考慮的應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，或者說(shuō)屈服條件是該點(diǎn)六個(gè)獨(dú)立的應(yīng)力分量的函數(shù)，即為：（4—40）上式中的稱為屈服函數(shù)。

§4-4屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)3）本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第127頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分§4-4屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)4）2、主應(yīng)力空間：（4—41）

對(duì)于各向同性材料來(lái)說(shuō)，坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)不應(yīng)當(dāng)影響材料的屈服。因而可以取三個(gè)應(yīng)力主軸為坐標(biāo)軸。此時(shí)，屈服函數(shù)式（4—40）可改寫為：若球應(yīng)力狀態(tài)只引起彈性體積變化，而不影響材料的屈服。則可認(rèn)為屈服函數(shù)為：（4—42）因此，屈服函數(shù)就轉(zhuǎn)化為用應(yīng)力偏量表示的函數(shù)，而且可以在主應(yīng)力所構(gòu)成的空間，即主應(yīng)力空間來(lái)討論。本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第128頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分

主應(yīng)力空間是一個(gè)三維空間，物體中任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)都可以用主應(yīng)力空間中相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)矢量來(lái)表示，如圖所示。因此，我們?cè)谶@一主應(yīng)力空間內(nèi)可以形象地給出屈服函數(shù)的幾何圖象，而直觀的幾何圖形將有助于我們對(duì)屈服面的認(rèn)識(shí)。§4-4屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)5）本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第129頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分§4-4屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)6）⑴．球應(yīng)力狀態(tài)：或稱靜水應(yīng)力狀態(tài)，即應(yīng)力偏量為零：

在主應(yīng)力空間中，其軌跡是經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)并與三坐標(biāo)軸夾角相同的等傾斜直線

on。

本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第130頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分

⑵．平均應(yīng)力為零：即，應(yīng)力偏量不等于零。在主應(yīng)力空間中，它的軌跡是一個(gè)通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)并與on直線相垂直的平面，稱它為π平面?！?-4屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)7）本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第131頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分⑶．應(yīng)力偏量為常量：即為常數(shù))。它在主應(yīng)力空間中的軌跡是與on線平行但不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線L。⑷．平均應(yīng)力為常量：即：（C為常量）。其在主應(yīng)力空間的軌跡為一個(gè)與on直線正交但不通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，也即和π平面相平行的平面。§4-4屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)8）本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第132頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分§4-4屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)9）在主應(yīng)力空間中，坐標(biāo)原點(diǎn)附近的彈性區(qū)是被塑性區(qū)包圍著的。作為彈性區(qū)與塑性區(qū)交界的曲面，稱之為屈服面。它是屈服條件式（4—41）在主應(yīng)力空間中的軌跡。屈服面的概念是拉伸（或壓縮）應(yīng)力應(yīng)變曲線的屈服極限概念的推廣。本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第133頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分

若我們認(rèn)為球應(yīng)力（靜水壓力）狀態(tài)不影響材料的屈服，則上述屈服面必定是一個(gè)與坐標(biāo)軸呈等傾斜的柱體表面，其母線垂直于平面。曲線C就稱為屈服曲線或屈服軌跡?！?-4屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)10）本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第134頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分3、屈服曲線及其在π平面內(nèi)的重要性質(zhì):

(2)．屈服曲線與任一從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)的向徑必相交一次，且僅有一次。(3)．屈服曲線對(duì)三個(gè)坐標(biāo)軸的正負(fù)方向均為對(duì)稱。(1)．屈服曲線是一條封閉曲線，而且坐標(biāo)原點(diǎn)被包圍在內(nèi)。(4)．屈服曲線對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)為外凸曲線，也即屈服曲面為外凸曲面?！?-4屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)11）本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第135頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分4.討論屈服曲線的可能位置：

一切滿足各向同性、不計(jì)包辛格效應(yīng)、與球應(yīng)力狀態(tài)無(wú)關(guān)、并且外凸等條件的可能的屈服軌跡一定位于正六邊形

ABCDEFA與之間。并且只有外凸的曲線才是可能的屈服軌跡。§4-4屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)12）本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第136頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分5、常用屈服條件:

歷史上（從十九世紀(jì)中葉開(kāi)始）曾經(jīng)先后提出許多不同形式的屈服條件，如最大正應(yīng)力條件（G.Galileo）、最大彈性應(yīng)變條件（B.Saint—Venant）、彈性總能量條件（E.Beltrami）、最大剪應(yīng)力條件（H.Tresca）、歪形能條件（R.VonMises）、Mohr條件（O.Mohr）、……等等。經(jīng)過(guò)許多實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)，證明符合工程材料特征，又便于在工程中應(yīng)用的常用屈服條件有以下兩種：§4-4屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)13）本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第137頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分（1）．Tresca屈服條件（最大剪應(yīng)力條件）:1864年，法國(guó)工程師屈雷斯卡（H.Tresca）在作了一系列金屬擠壓實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)在變形的金屬表面有很細(xì)的痕紋，而這些痕紋的方向很接近于最大剪應(yīng)力的方向，因此他認(rèn)為金屬的塑性變形是由于剪切應(yīng)力引起金屬中晶格滑移而形成的。(指絕對(duì)值)達(dá)到某一極限值時(shí)，材料便進(jìn)入塑性狀態(tài)。當(dāng)

Tresca指出：在物體中，當(dāng)最大剪應(yīng)力(指絕對(duì)值)達(dá)到某一極限值時(shí)，材料便進(jìn)入塑性狀態(tài)。即：§4-4屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)14）（4—43）本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第138頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分§4-4屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)15）（4—43）通過(guò)簡(jiǎn)單受力狀態(tài)的試驗(yàn)來(lái)測(cè)定。如采用單向拉伸試驗(yàn)和純剪切試驗(yàn)可測(cè)得：（4—48）（4—49）最大剪應(yīng)力的假設(shè)和實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較一致，因而一般是被接受的。但在使用Tresca條件時(shí)，主應(yīng)力的大小和次序應(yīng)該知道，因?yàn)檫@樣才能求出最大剪切應(yīng)力，使用Tresca條件是很方便的。本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第139頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分§4-4屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)16）Tresca屈服條件在主應(yīng)力空間中的幾何軌跡，相當(dāng)于圖4-18(a)中所示正六角柱體。該柱體與平面的截跡如圖4-18(b)所示。該柱體與平面的截跡，則為一等邊等角的六邊形，如圖4-18(c)所示。本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第140頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分Tresca最大剪應(yīng)力屈服條件忽略了中間主應(yīng)力對(duì)材料屈服的貢獻(xiàn)，這是它的不足之處。德國(guó)力學(xué)家米塞斯（R.VonMises）注意到了這個(gè)問(wèn)題。

§4-4屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)17）米塞斯（R.VonMises）（1913年）指出：在等傾面上，Tresca條件六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)是由實(shí)驗(yàn)得到的，但是連接六個(gè)頂點(diǎn)的直線段卻包含了假定（認(rèn)為中間主應(yīng)力不影響屈服），這種假定是否合適，需經(jīng)實(shí)驗(yàn)證明。本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第141頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分Mises認(rèn)為：用一個(gè)圓來(lái)連接這六個(gè)頂點(diǎn)似乎更合理，并且可避免因曲線不光滑而造成的數(shù)學(xué)上的困難。因此，Mises屈服條件在主應(yīng)力空間中的軌跡是外接于Tresca六角柱體的圓柱體，如圖所示?！?-4屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)18）本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第142頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分§4-4屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)19）Mises屈服條件在主應(yīng)力空間中的軌跡是外接于Tresca六角柱體的圓柱體，如圖4-19(a)所示，該圓柱體垂直于正八面體斜面或平面。

本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第143頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分§4-4屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)20）于是Mises提出了另一個(gè)屈服條件——畸變能條件，即認(rèn)為當(dāng)物體內(nèi)某一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)對(duì)應(yīng)的畸變能達(dá)到某一極限數(shù)值k時(shí)，該點(diǎn)處材料便屈服。可推得畸變能密度公式為：故Mises條件可寫為：（4—52）（4—51）式中k為表征材料屈服特征的參數(shù)。本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第144頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分§4-4屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)21）通過(guò)簡(jiǎn)單受力狀態(tài)的試驗(yàn)來(lái)測(cè)定k

。若采用單向拉伸試驗(yàn)和純剪切試驗(yàn)可測(cè)得：和則：（4—53）（4—54）本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第145頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分★Hencky認(rèn)為：當(dāng)韌性材料的形狀改變能密度達(dá)到一定數(shù)值k′時(shí)，材料便開(kāi)始屈服。（4—55）

§4-4屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)22）故Mises條件也可寫為：本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第146頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分★

1937年納達(dá)依（A.Nadai）認(rèn)為當(dāng)八面體剪應(yīng)力達(dá)到一定數(shù)值時(shí)，材料便開(kāi)始屈服。即：（4—56）

★1952年諾沃日洛（В.Б.Новожипов）又對(duì)Mises條件的物理意義用剪應(yīng)力的均方值給了又一個(gè)解釋。以上各種屈服條件的解釋雖然表達(dá)形式不同，但實(shí)際上它們之間是存在有內(nèi)在聯(lián)系的?！?-4屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)23）本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第147頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分6．Tresca屈服條件與Mises屈服條件的比較：通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證：一般認(rèn)為Mises條件比Tresca條件更符合實(shí)驗(yàn)結(jié)果。而在實(shí)際使用中各有優(yōu)缺點(diǎn)：Tresca條件是主應(yīng)力分量的線性函數(shù)，因而對(duì)于已知主應(yīng)力方向及主應(yīng)力間的相對(duì)值的一類問(wèn)題，是比較簡(jiǎn)便的。而Mises條件則顯然復(fù)雜得多。但是從理論上講，最大剪應(yīng)力條件忽略了中間主應(yīng)力對(duì)屈服的影響，似有不足。而畸變能條件則克服了這一缺點(diǎn)?！?-4屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)24）本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第148頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分§4-5巖土材料的變形模型與強(qiáng)度準(zhǔn)則地質(zhì)或采掘工程中的巖土、煤炭、土壤，結(jié)構(gòu)工程中的混凝土、石料以及工業(yè)陶瓷等材料統(tǒng)稱為巖土材料?；蚩估瓘?qiáng)度極限實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)應(yīng)力較低時(shí)，試件材料的內(nèi)部裂隙被壓實(shí)，在這個(gè)階段（OA段），應(yīng)力的數(shù)值增加不大，而壓縮應(yīng)變較大；在內(nèi)部裂隙被壓實(shí)之后，應(yīng)力與應(yīng)變呈現(xiàn)近似線性地增長(zhǎng)，在這個(gè)階段（AB段）中，伴有體積變化，而B點(diǎn)的應(yīng)力值稱為屈服強(qiáng)度。隨著應(yīng)力的增加，材料的微裂紋也在不斷地發(fā)生與擴(kuò)展，因此應(yīng)力和應(yīng)變之間表現(xiàn)出明顯的非線性增長(zhǎng)，也表現(xiàn)一定的應(yīng)變硬化特性（BC段），C點(diǎn)的應(yīng)力值稱為強(qiáng)度極限（抗壓強(qiáng)度極限）。1、巖土材料的變形特征：本文檔共205頁(yè)；當(dāng)前第149頁(yè)；編輯于星期一\17點(diǎn)1分§4-5巖土材料的變形模型與強(qiáng)度準(zhǔn)則（續(xù)1）在C點(diǎn)附近，試件總的體積變化從收縮轉(zhuǎn)入擴(kuò)脹，即材料出現(xiàn)宏觀裂紋，裂紋的擴(kuò)展使得材料的變形不斷增加，而應(yīng)力不斷下降，將這一階段（CD段）稱為應(yīng)變軟化階段；DE階段則顯示出了材料的剩余強(qiáng)度。

綜上所述，可將巖土材料的應(yīng)力應(yīng)變曲線大體分為三段。第l階段（OABC）為應(yīng)力應(yīng)變非線性上升；第Ⅱ階段（CD）為應(yīng)變軟化階段；第Ⅲ階段（DE）為剩余強(qiáng)度階