遼寧省大連經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)得勝高級中學(xué)2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測模擬試題含解析

遼寧省大連經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)得勝高級中學(xué)2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知命題p：，，則（）A.， B.，C.， D.，2．設(shè)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B.C. D.3．下列說法正確的是（）A.空間中的任意三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面B.四邊相等的四邊形一定是菱形C.兩條相交直線可以確定一個(gè)平面D.正四棱柱的側(cè)面都是正方形4．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)與向量的模長分別是（）A.；5 B.；C.； D.；5．若傾斜角為的直線過兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)（）A. B.C. D.6．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.7．若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.8．雙曲線的漸近線方程是（）A. B.C. D.9．?dāng)?shù)列，，，，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）A. B.C. D.10．正方體的表面積為，則正方體外接球的表面積為（

）A. B.C. D.11．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12．過拋物線的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于PQ兩點(diǎn)，若以線段PQ為直徑的圓與直線相切，則（）A.8 B.7C.6 D.5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點(diǎn)為雙曲線的左焦點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線l與雙曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)．若，則______14．已知為數(shù)列{}前n項(xiàng)和，若，且），則＝___15．已知曲線的方程是，給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線C恰好經(jīng)過4個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；②曲線有4條對稱軸；③曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不小于1；④曲線所圍成圖形的面積大于4；其中，所有正確結(jié)論的序號是_____16．設(shè)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則不等式解集為_______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）森林資源是全人類共有的寶貴財(cái)富，其在改善環(huán)境，保護(hù)生態(tài)可持續(xù)發(fā)展方面發(fā)揮著重要的作用.2020年12月12日，主席在全球氣候峰會上通過視頻發(fā)表題為《繼往開來，開啟全球應(yīng)對氣候變化的新征程》的重要講話，宣布“到2030年，我國森林蓄積量將比2005年增加60億立方米”.為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，某地林業(yè)管理部門著手制定本地的森林蓄積量規(guī)劃.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，本地2020年底的森林蓄積量為120萬立方米，森林每年以25%的增長率自然生長，而為了保證森林通風(fēng)和發(fā)展經(jīng)濟(jì)的需要，每年冬天都要砍伐掉萬立方米的森林.設(shè)為自2021年開始，第年末的森林蓄積量.（1）請寫出一個(gè)遞推公式，表示二間的關(guān)系；（2）將（1）中的遞推公式表示成的形式，其中，為常數(shù)；（3）為了實(shí)現(xiàn)本地森林蓄積量到2030年底翻兩番的目標(biāo)，每年的砍伐量最大為多少萬立方米？（精確到1萬立方米）（可能用到的數(shù)據(jù)：，，）18．（12分）已知：，有，：方程表示經(jīng)過第二、三象限的拋物線，.（1）若是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若“”是假命題，“”是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求n的最小值20．（12分）已知a>0，b>0，a＋b＝1，求證：.21．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線l過點(diǎn)（1）若點(diǎn)F到直線l的距離為，求直線l的斜率；（2）設(shè)A，B為拋物線上兩點(diǎn)，且AB不與x軸垂直，若線段AB的垂直平分線恰過點(diǎn)M，求證：線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值22．（10分）如圖，在長方體中，，點(diǎn)E在棱上運(yùn)動（1）證明：；（2）當(dāng)E為棱的中點(diǎn)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值；（3）等于何值時(shí)，二面角的大小為？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】由全稱命題的否定：將任意改存在并否定結(jié)論，即可寫出原命題p的否定.【題目詳解】由全稱命題的否定為特稱命題，∴是“，”.故選：C.2、A【解題分析】由周期函數(shù)得，再由奇函數(shù)的性質(zhì)通過得結(jié)論【題目詳解】∵函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，∴，而，又函數(shù)為奇函數(shù)，∴．故選A【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的周期性與奇偶性，屬于基礎(chǔ)題．此類題型，求函數(shù)值時(shí)，一般先用周期性化自變量到已知區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間，然后再由奇函數(shù)性質(zhì)求得函數(shù)值3、C【解題分析】根據(jù)立體幾何相關(guān)知識對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【題目詳解】對于A，根據(jù)公理2及推論可知，不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；對于B，在一個(gè)平面內(nèi)，四邊相等的四邊形才一定是菱形，故B錯(cuò)誤；對于C，根據(jù)公理2及推論可知，兩條相交直線可以確定一個(gè)平面，故C正確；對于D，正四棱柱指上、下底面都是正方形且側(cè)棱垂直于底面的棱柱，側(cè)面可以是矩形，故D錯(cuò)誤.故選：C4、B【解題分析】根據(jù)給定條件利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及空間向量模長的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.【題目詳解】因點(diǎn)，，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，.故選：B5、A【解題分析】解方程即得解.【題目詳解】解：由題得.故選：A6、B【解題分析】根據(jù)方程可得，且焦點(diǎn)軸上，然后可得答案.【題目詳解】由橢圓的方程可得，且焦點(diǎn)在軸上，所以，即，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為故選：B7、C【解題分析】函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程有兩個(gè)根，等價(jià)于與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，通過導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性，根據(jù)圖象即可求出求出的范圍.【題目詳解】函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，方程有兩個(gè)根，，分離參數(shù)得，與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，令，，令，解得當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，且在處取得極大值及最大值，可以畫出函數(shù)的大致圖象如下：觀察圖象可以得出.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.8、A【解題分析】先將雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，再根據(jù)雙曲線漸近線方程求解即可.【題目詳解】解：將雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，所以，所以其漸近線方程為：，即.故選：A.9、B【解題分析】根據(jù)給定數(shù)列，結(jié)合選項(xiàng)提供通項(xiàng)公式，將n代入驗(yàn)證法判斷是否為通項(xiàng)公式.【題目詳解】A：時(shí)，排除；B：數(shù)列，，，，…滿足.C：時(shí)，排除；D：時(shí)，排除；故選：B10、B【解題分析】由正方體表面積求得棱長，再求得正方體的對角線長，即為外接球的直徑，從而可得球表面積【題目詳解】設(shè)正方體棱長為，由得，正方體對角線長，所以其外接球半徑為，球表面積為故選：B11、B【解題分析】根據(jù)充分條件和必要條件的概念即可判斷.【題目詳解】∵，∴“”是“”的必要不充分條件.故選：B.12、C【解題分析】依據(jù)拋物線定義可以證明：以過拋物線焦點(diǎn)F的弦PQ為直徑的圓與其準(zhǔn)線相切，則可以順利求得線段的長.【題目詳解】拋物線的焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線取PQ中點(diǎn)H，分別過P、Q、H作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為N、M、E則四邊形為直角梯形，為梯形中位線，由拋物線定義可知，,，則故，即點(diǎn)H到拋物線準(zhǔn)線的距離為的一半，則以線段PQ為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.又以線段PQ為直徑的圓與直線相切，則以線段PQ為直徑的圓的直徑等于直線與直線間的距離.即故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、7【解題分析】先證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)雙曲線的定義可求解.【題目詳解】由雙曲線的對稱性，可知，又，所以四邊形是平行四邊形，所以，由，可知點(diǎn)在雙曲線的左支，如下圖所示：由雙曲線定義有，又，所以.故答案為：14、2【解題分析】第一步找出數(shù)列周期，第二步利用周期性求和.【題目詳解】,,,，，，可知數(shù)列{}是周期為4的周期數(shù)列，所以故答案為:2.15、②③④【解題分析】根據(jù)曲線方程作出曲線，即可根據(jù)題意判斷各結(jié)論的真假【題目詳解】曲線的簡圖如下：根據(jù)圖象以及方程可知，曲線C恰好經(jīng)過9個(gè)整點(diǎn),它們是，，，所以①不正確；由圖可知，曲線有4條對稱軸，它們分別是軸，軸，直線和，②正確；由圖可知，曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不小于1，③正確；由圖可知，曲線所圍成圖形的面積等于，④正確故答案為：②③④16、【解題分析】構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合題意求得，由此判斷出在上遞增，由此求解出不等式的解集.【題目詳解】令，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，不等式可化為，則，解得：【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查構(gòu)造函數(shù)法解不等式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.；（3）19萬立方米.【解題分析】（1）由題意得到；（2）若遞推公式寫成，則，再與遞推公式比較系數(shù)；（3）若實(shí)現(xiàn)翻兩番的目標(biāo)，則，根據(jù)遞推公式，計(jì)算的最大值.【題目詳解】解：（1）由題意，得，并且.①（2）將化成，②比較①②的系數(shù)，得解得所以（1）中的遞推公式可以化為.（3）因?yàn)椋?，所以，由?）可知，所以，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式：，所以.到2030年底的森林蓄積量為該數(shù)列的第10項(xiàng)，即.由題意，森林蓄積量到2030年底要達(dá)到翻兩番的目標(biāo)，所以，即.即.解得.所以每年的砍伐量最大為19萬立方米.【題目點(diǎn)撥】方法點(diǎn)睛：遞推公式求通項(xiàng)公式，有以下幾種方法：

型如：的數(shù)列的遞推公式，采用累加法求通項(xiàng)；

形如：的數(shù)列的遞推公式，采用累乘法求通項(xiàng)；

形如：的遞推公式，通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，

形如：的遞推公式，兩邊同時(shí)除以，轉(zhuǎn)化為的形式求通項(xiàng)公式；

形如：，可通過取倒數(shù)轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求通項(xiàng)公式.18、（1）（2）【解題分析】（1）將問題轉(zhuǎn)化為不等式對應(yīng)的方程無解，進(jìn)而根據(jù)根的判別式小于0，計(jì)算即可；（2）根據(jù)且、或命題的真假判斷命題p、q的真假，列出對應(yīng)的不等式組，解之即可.【小問1詳解】由條件知，恒成立，只需的.解得.【小問2詳解】若為真命題，則，解得.若“”是假命題，“”是真命題，所以和一真一假若真假，則，解得.若假真，則，解得.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.19、（1）（2）12【解題分析】（1）設(shè)的公差為d，根據(jù)題意列出方程組，求得的值，即可求解；（2）利用等差數(shù)的求和公式，得到，結(jié)合的單調(diào)性，即可求解.【小問1詳解】解：設(shè)的公差為d，因?yàn)?，可得，解得，所以，即?shù)列的通項(xiàng)公式為【小問2詳解】解：由，可得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)且，可得單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，故n的最小值為1220、見解析【解題分析】將代入式子，得到，，進(jìn)而進(jìn)行化簡，最后通過基本不等式證明問題.【題目詳解】∵，，，∴，.∴＝，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“＝”21、（1）（2）證明見詳解.【解題分析】（1）設(shè)出直線方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得直線；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)韋達(dá)定理，利用直線垂直，從而得到的斜率關(guān)系，即可證明.【題目詳解】（1）由條件知直線l的斜率存在，設(shè)為，則直線l的方程為：，即從而焦點(diǎn)到直線l的距離為，平方化簡得：，故直線斜率為：.（2）證明：設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立拋物線方程，消元得：設(shè)，，線段AB的中點(diǎn)為，故因?yàn)?，將M點(diǎn)坐標(biāo)代入后整理得：即可得：故為定值．即證.【題目點(diǎn)撥】本題考查拋物線中的定值問題，涉及直線方程的求解，韋達(dá)定理，屬綜合基礎(chǔ)題.22、（1）證明見解析；（2）；（3）.【解題分析】（1）連接、，長方體、線面垂直的性質(zhì)有、，再根據(jù)線面垂直的判定、性質(zhì)即可證結(jié)論.（2）連接，由已知條件及勾股定理可得、，即可求、，等體積法求到面的距離，又直線與面所成角即為與面所成角，即可求線面角的正弦值.（3）由題設(shè)