2022-2023學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市揚(yáng)中重點(diǎn)高級(jí)中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2022-2023學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市揚(yáng)中重點(diǎn)高級(jí)中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共9小題，共45.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=?1+A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知a=(2,?1)A.?15 B.?9 C.?273.已知sinα=23,coA.35?612 B.?34.設(shè)e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，AB=A.A、B、C三點(diǎn)共線 B.A，C，D三點(diǎn)共線

C.B，C，D三點(diǎn)共線 D.A，B，D三點(diǎn)共線5.函數(shù)y=sinA.π2 B.π4 C.π 6.在△ABC中，已知a?b=A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等邊三角形 D.等腰或直角三角形7.京西某游樂(lè)園的摩天輪采用了國(guó)內(nèi)首創(chuàng)的橫梁結(jié)構(gòu)，風(fēng)格更加簡(jiǎn)約，摩天輪直徑88米，最高點(diǎn)A距離地面100米，勻速運(yùn)行一圈的時(shí)間是18分鐘.由于受到周邊建筑物的影響，乘客與地面的距離超過(guò)34米時(shí)，可視為最佳觀賞位置，在運(yùn)行的一圈里最佳觀賞時(shí)長(zhǎng)為(

)A.10分鐘 B.12分鐘 C.14分鐘 D.16分鐘8.如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，BD：DC：AD=A.π3

B.π4

C.π69.下列命題正確的是(

)A.若|a|=|b|，則a=b B.若|a|>|b|二、多選題（本大題共3小題，共15.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）10.下列化簡(jiǎn)正確的是(

)A.cos82°sin52°11.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z1=a+2i，z2=A.0 B.1 C.?1 D.12.如圖，設(shè)Ox，Oy是平面內(nèi)相交成60°角的兩條數(shù)軸，e1,e2分別是與x軸，y軸正方向同向的單位向量.若向量OP=a=xe1+yeA.a?b=?3 B.|a|=7三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知i為虛數(shù)單位，如果復(fù)數(shù)z滿足|z|=2，那么|z14.已知sin(x?π6)=15.如圖，點(diǎn)P，Q是線段的三等分點(diǎn)，以AP、AQ為基底表示AB=

16.已知平面向量a,b,c滿足a+b+c=0，且a與b的夾角為135°，c與b四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=a2?a?2+(a2?3a?4)i(其中i18.(本小題12.0分)

已知角θ滿足tan(θ+π4)=?12，求下列各式的值：

(19.(本小題12.0分)

已知單位向量e1，e2的夾角為2π3，向量a=λe1?e2，向量b=2e1+320.(本小題12.0分)

已知向量a=(cosx,sinx),b=(cosx,?sin21.(本小題12.0分)

北京2022年冬奧會(huì)將于2022年2月4日在北京和張家口開(kāi)幕，運(yùn)動(dòng)員休息區(qū)本著環(huán)保、舒適、溫馨這一出發(fā)點(diǎn)，進(jìn)行精心設(shè)計(jì)，如圖，在四邊形ABCD休閑區(qū)域，四周是步道，中間是花卉種植區(qū)域，為減少擁堵，中間穿插了氫能源環(huán)保電動(dòng)步道AC，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=22.(本小題12.0分)

如圖，在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=60°，N為AC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段BC上，且CM=2MB．

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：復(fù)數(shù)z=?1+2i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(?1,2)，位于第二象限．2.【答案】A

【解析】解：∵a=(2,?1)，b=(3,?2)，

∴33.【答案】C

【解析】解：由已知可得cosα<0，sinβ>0，

則cosα=?1?sin2α=?4.【答案】C

【解析】解：因?yàn)閑1，e2是平面內(nèi)的一組基底，AB=3e1+2e2,AC=4e1?e2,AD=5e1?4e2，

則AB與AC不共線，AC與AD不共線，則A，B，C不共線，A，C，D；A，5.【答案】A

【解析】解：∵y=sinxcosxcos2x

=12sin6.【答案】D

【解析】解：將cosA=b2+c2?a22bc，cosB=a2+c2?b22ac代入已知等式得：

a?b=c?a2+7.【答案】B

【解析】【分析】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了運(yùn)算求解能力，是中檔題．

解法一，求出轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，利用直角三角形的邊角關(guān)系求出OC、∠BOC的值，計(jì)算最佳觀賞時(shí)間的圓心角，即可得在運(yùn)行的一圈里最佳觀賞時(shí)長(zhǎng)．

解法二，求出轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，寫出點(diǎn)P從最下端開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行中到地面距離的解析式

f(【解答】解：如圖所示，摩天輪所在圓的圓心為O，點(diǎn)B處與地面的距離恰好為34米，BC⊥AO，交AO延長(zhǎng)線于點(diǎn)C．

解法一：轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為2π18=π9，

計(jì)算OC=100?34?44=22，

所以cos∠BOC=2244=12，

所以∠BOC=π3，

所以最佳觀賞時(shí)間的圓心角為2π?2π3=4π

8.【答案】B

【解析】解：∵BD：DC：AD=2：3：6，AD⊥BC，

∴tan∠BAD=BDAD=13，tan∠CAD=CDAD=19.【答案】C

【解析】解：A.|a|=|b|，則a=±b，不正確；

B.|a|>|b|，則a與b不能比較大??；

C.a=b10.【答案】CD【解析】解：∵cos82°sin52°?sin82°cos52°=sin8°11.【答案】BC【解析】解：∵z1=a+2i，z2=2?i，且|z1|=|12.【答案】BC【解析】解：因?yàn)閨e1|=|e2|=1，e1?e2=cos<e1，e2>=12，

且a=(2,1)=2e1+e2，b=(?4,5)=?4e1+13.【答案】1

【解析】解：滿足|z|=2的復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓上，

|z+3i|的幾何意義為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)(0,?3)的距離，如圖：

則14.【答案】1625【解析】解：∵sin(x?π6)=35，

∴15.【答案】2A【解析】解：因?yàn)镻、Q是線段BC的三等分點(diǎn)，所以QB=2QP，

故AB=AQ+QB

=AQ+2QP

=AQ+16.【答案】6【解析】解：∵a+b+c=0

∴三個(gè)向量首尾相接后，構(gòu)成一個(gè)三角形

且a與b的夾角為135°，c與b的夾角為120°，|c|=2，

故所得三角形如下圖示：

其中∠C=45°，∠A=60°，AB=2

∴|a|=AB?Si17.【答案】解：(1)∵復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，

∴a2?a?2=0a2?【解析】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題．

(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合純虛數(shù)的定義，即可求解．

(2)18.【答案】解：tan(θ+π4)=?12=1【解析】利用和差公式可得：tan(θ+π4)=?12=1+tanθ119.【答案】解：(1)∵單位向量e1，e2的夾角為2π3，∴e1

與e2

不共線．

∵向量a=λe1?e2，向量b=2e1+3e2，

若a/【解析】(1)由題意利用兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，求出λ的值．

(2)由題意利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，求出λ的值，可得a，從而求出20.【答案】解：(1)∵a=(cosx,sinx),b=(cosx,?sinx)，

∴f(x)=a?(a+b)=(cosx,sinx)?(2cosx,0)=【解析】(1)由已知利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算及二倍角公式求得f(x)，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)x∈[21.【答案】解：(1)∵cosB=33.∠D=2∠B，∴cosD=cos2B=2cos2B?1=?13，

∵AD=1，CD=3，∴由余弦定理得AC2=A