云南省昆明市師范大學(xué)附屬中學(xué)2024年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測模擬試題含解析

云南省昆明市師范大學(xué)附屬中學(xué)2024年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知三棱柱中，，，D點是線段上靠近A的一個三等分點，則（）A. B.C. D.2．已知數(shù)列滿足且，則（）A.是等差數(shù)列 B.是等比數(shù)列C.是等比數(shù)列 D.是等比數(shù)列3．已知動點的坐標(biāo)滿足方程，則的軌跡方程是（）A. B.C. D.4．一條直線過原點和點，則這條直線的傾斜角是（）A. B.C. D.5．已知正四面體的底面的中心為為的中點，則直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.6．《鏡花緣》是清代文人李汝珍創(chuàng)作的長篇小說，書中有這樣一個情節(jié)：一座樓閣到處掛滿了五彩繽紛的大小燈球，燈球有兩種，一種是大燈下綴2個小燈，另一種是大燈下綴4個小燈，大燈共360個，小燈共1200個.若在這座樓閣的燈球中，隨機選取一個燈球，則這個燈球是大燈下綴4個小燈的概率為A. B.C. D.7．已知雙曲線C：-=1的焦距為10，點P（2,1）在C的漸近線上，則C的方程為A.-=1 B.-=1C.-=1 D.-=18．已知A，B，C是橢圓M：上三點，且A（A在第一象限，B關(guān)于原點對稱，，過A作x軸的垂線交橢圓M于點D，交BC于點E，若直線AC與BC的斜率之積為，則（）A.橢圓M的離心率為 B.橢圓M的離心率為C. D.9．已知橢圓，則橢圓的長軸長為（）A.2 B.4C. D.810．在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.11．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A.8 B.16C. D.12．已知等比數(shù)列的公比為，則“是遞增數(shù)列”的一個充分條件是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某企業(yè)有4個分廠，新培訓(xùn)了一批6名技術(shù)人員，將這6名技術(shù)人員分配到各分廠，要求每個分廠至少1人，則不同的分配方案種數(shù)為________.14．已知兩平行直線與間的距離為3，則C的值是________.15．若，且，則_____________16．已知存在正數(shù)使不等式成立，則的取值范圍_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）過原點O的圓C，與x軸相交于點A(4,0)，與y軸相交于點B(0,2)(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線l過B點與圓C相切，求直線l的方程，并化為一般式18．（12分）已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性;（2）若，證明:19．（12分）已知數(shù)列為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且滿足（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）令求數(shù)列的前n項和；20．（12分）已知，兩地的距離是.根據(jù)交通法規(guī)，，兩地之間的公路車速（單位：）應(yīng)滿足.假設(shè)油價是7元/，以的速度行駛時，汽車的耗油率為，當(dāng)車速為時，汽車每小時耗油，司機每小時的工資是91元.（1）求的值；（2）如果不考慮其他費用，當(dāng)車速是多少時，這次行車的總費用最低？21．（12分）已知直線，，，其中與交點為P（1）求過點P且與平行的直線方程；（2）求以點P為圓心，截所得弦長為8的圓的方程22．（10分）已知拋物線的頂點是坐標(biāo)原點，焦點在軸的正半軸上，是拋物線上的點，點到焦點的距離為1，且到軸的距離是（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）假設(shè)直線通過點，與拋物線相交于，兩點，且，求直線的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】在三棱柱中，，轉(zhuǎn)化為結(jié)合已知條件計算即可.【題目詳解】在三棱柱中，滿足，且，則，，D點是線段上靠近A的一個三等分點，則，由向量的減法運算得，.故選：A【題目點撥】關(guān)鍵點點睛：在三棱柱中，，由向量的減法運算得，再展開利用數(shù)量積運算.2、D【解題分析】由，化簡得，結(jié)合等比數(shù)列、等差數(shù)列的定義可求解.【題目詳解】由，可得，所以，又由，，所以是首項為，公比為2的等比數(shù)列，所以，，，，所以不是等差數(shù)列；不等于常數(shù)，所以不是等比數(shù)列.故選：D.3、C【解題分析】此方程表示點到點的距離與到點的距離之差為8，而這正好符合雙曲線的定義，點的軌跡是雙曲線的右支，，的軌跡方程是，故選C.4、C【解題分析】求出直線的斜率，結(jié)合傾斜角的取值范圍可求得所求直線的傾斜角.【題目詳解】設(shè)這條件直線的傾斜角為，則，，因此，.故選：C.5、B【解題分析】連接，再取中點，連接，得到為直線與所成角，再解三角形即可.【題目詳解】連接，再取中點，連接，因為分別為VC，中點，則，且底面,所以為直線與所成角，令正四面體邊長為1，則，,，所以，故選：.6、B【解題分析】設(shè)大燈下綴2個小燈為個，大燈下綴4個小燈有個，根據(jù)題意求得，再由古典概型及其概率的公式，即可求解【題目詳解】設(shè)大燈下綴2個小燈為個，大燈下綴4個小燈有個，根據(jù)題意可得，解得，則燈球的總數(shù)為個，故這個燈球是大燈下綴4個小燈的概率為，故選B【題目點撥】本題主要考查了古典概型及其概率的計算，其中解答中根據(jù)題意列出方程組，求得兩種燈球的數(shù)量是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題7、A【解題分析】由題意得，雙曲線的焦距為，即，又雙曲線的漸近線方程為，點在的漸近線上，所以，聯(lián)立方程組可得，所以雙曲線的方程為考點：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單的幾何性質(zhì)8、C【解題分析】設(shè)出點，,的坐標(biāo)，將點，分別代入橢圓方程兩式作差，構(gòu)造直線和的斜率之積，得到，即可求橢圓的離心率，利用，求出，可知點在軸上，且為的中點,則.【題目詳解】設(shè)，，，則，，，兩式相減并化簡得，即，則,則AB錯誤；∵，，∴，又∵，∴，即，解得，則點在軸上，且為的中點即，則正確.故選：C.9、B【解題分析】根據(jù)橢圓的方程求出即得解.【題目詳解】解：由題得橢圓的所以橢圓的長軸長為.故選：B10、B【解題分析】結(jié)合已知條件，利用對稱的概念即可求解.【題目詳解】不妨設(shè)點關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)為，則線段垂直于軸且的中點在軸，從而點關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)為.故選：B.11、C【解題分析】畫出直觀圖，利用椎體體積公式進行求解.【題目詳解】畫出直觀圖，為四棱錐A-BCDE，其中BC=4，BE=2，AE=2，且BE，AE，DE兩兩垂直，故體積為.故選：C12、D【解題分析】由等比數(shù)列滿足遞增數(shù)列，可進行和兩項關(guān)系的比較，從而確定和的大小關(guān)系.【題目詳解】由等比數(shù)列是遞增數(shù)列，若，則，得；若，則，得；所以等比數(shù)列是遞增數(shù)列，或，；故等比數(shù)列是遞增數(shù)列是遞增數(shù)列的一個充分條件為，.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1560【解題分析】先把6名技術(shù)人員分成4組，每組至少一人，有兩種情況：（1）4個組的人數(shù)按3,1,1,1分配，（2）4個組的人數(shù)為2,2,1,1，求出所有的分組方法，然后再把4個組的人分給4個分廠，從而可求得答案【題目詳解】先把6名技術(shù)人員分成4組，每組至少一人.（1）若4個組的人數(shù)按3,1,1,1分配，則不同的分配方案有(種).（2）若4個組的人數(shù)為2,2,1,1，則不同的分配方案有(種).故所有分組方法共有20＋45＝65(種).再把4個組的人分給4個分廠，不同的方法有(種).故答案為：156014、【解題分析】根據(jù)兩條平行直線之間的距離公式即可得解.【題目詳解】兩平行直線與間的距離為3，所以，所以故答案為：15、【解題分析】由，可得，，，從而利用換底公式及對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.【題目詳解】解：因為，所以，，，又，所以，所以，所以，故答案為：.16、（1，1）【解題分析】存在性問題轉(zhuǎn)化為最大值，運用均值不等式，求出的最大值，轉(zhuǎn)化成解對數(shù)不等式，進而解出【題目詳解】解：∵，由于，則，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，即：時，∴有最大值，又存在正數(shù)使不等式成立，則，即，∴，即的取值范圍為：.故答案為：【題目點撥】本題考查均值不等式的應(yīng)用和對數(shù)不等式的解法，還涉及存在性問題，考查化簡計算能力三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則分別代入原點和，得到方程組，解出即可得到；（2）由（1）得到圓心為，半徑，由于直線過點與圓相切，則分別討論斜率存在與否，運用直線與圓相切的條件：，解方程即可得到所求直線方程.【題目詳解】(1)設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則分別代入原點和，得到，解得則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)由(1)得到圓心為，半徑，由于直線過點與圓相切，當(dāng)時，到的距離為2，不合題意，舍去；當(dāng)斜率存在時，設(shè)，由直線與圓相切，得到，即有，解得，故直線，即為點睛：本題考查直線與圓位置關(guān)系，考查圓的方程的求法和直線與圓相切的條件，考查運算能力，屬于中檔題；圓的方程有一般形式與標(biāo)準(zhǔn)形式，在該題中利用待定系數(shù)法將其設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)形式，列、解出方程組即可；當(dāng)直線與圓相切時等價于圓心到直線的距離等于半徑，已知直線上一點寫出直線的方程需注意斜率不存在的情形.18、（1）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）見詳解【解題分析】（1）對函數(shù)進行求導(dǎo)，然后根據(jù)參數(shù)進行分類討論；（2）構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的最小值即可證出.【題目詳解】（1）的定義域為，.當(dāng)時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，時，；時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時，.令，，則.，令，.恒成立，所以在上單調(diào)遞增.因為，，所以存在唯一的，使得，即.①當(dāng)時，，即，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，即，所以在上單調(diào)遞增.所以，，②方法一：把①代入②得，.設(shè)，.則恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以.因為，所以，即，所以，所以時，.方法二：設(shè)，.則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以.因為，所以，所以，所以時，.【題目點撥】不等式證明問題是近年高考命題的熱點，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法主要有兩個：（1）不等式兩邊作差構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)最值即可；（2）觀察不等式的特點，結(jié)合已解答問題把要證的不等式變形，并運用已證結(jié)論先行放縮，再化簡或者進一步利用導(dǎo)數(shù)證明.19、（1），（2）【解題分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列通項公式得到，根據(jù)通項公式的求法得到結(jié)果；（2）分組求和即可.【小問1詳解】設(shè)的公差為,由已知,有解得，所以的通項公式為,的通項公式為.【小問2詳解】，分組求和，分別根據(jù)等比數(shù)列求和公式與等差數(shù)列求和公式得到：.20、（1）；（2）.【解題分析】（1）根據(jù)題中給出的車速和油耗之間的關(guān)系式，結(jié)合已知條件，待定系數(shù)即可；（2）根據(jù)題意求得以行駛所用時間，構(gòu)造費用關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和最值，即可求得結(jié)果.【小問1詳解】因為汽車以的速度行駛時，汽車的耗油率為，又當(dāng)時，，解得.【小問2詳解】若汽車的行駛速度為，則從地到地所需用時，則這次行車的總費用，則，令，解得，則當(dāng)，，單調(diào)遞減，即.故時，該次行車總費用最低.21、（1）；（2）.【解題分析】（1）首先求、的交點坐標(biāo)，根據(jù)的斜率，應(yīng)用點斜式寫出過P且與平行的直線方程；（2）根據(jù)弦心距、弦長、半徑的關(guān)系求圓的半徑，結(jié)合P的坐標(biāo)寫出圓的方程.【小問1詳解】聯(lián)立、得：，可得，故，又的斜率為，則過P且與平行的直線方程，∴所求直線方程為.【小問2詳解】由（1），P到的距離，∴以P為圓心，截所得弦長為8的圓的半徑，∴所求圓的方程為.22、（1）；（2）【解題分析】（1）根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合到焦點、軸的距離求，寫出拋物線方程.（2）直線的斜率不存在易得與不垂直與題設(shè)矛盾，設(shè)直線方