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廣東省肇慶市塘崗中學(xué)2021年高一數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,且,則的最小值為(
)(A)
(B)
(C)
(D)參考答案:D2.設(shè)兩條直線的方程分別為x+y+a=0和x+y+b=0,已知a、b是關(guān)于x的方程x2+x+c=0的兩個(gè)實(shí)根,且0≤c≤,則這兩條直線間距離的最大值和最小值分別為()A.B.C.D.參考答案:D【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì).【專題】計(jì)算題;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.【分析】利用方程的根,求出a,b,c的關(guān)系,求出平行線之間的距離表達(dá)式,然后求解距離的最值.【解答】解:因?yàn)閍,b是方程x2+x+c=0的兩個(gè)實(shí)根,所以a+b=﹣1,ab=c,兩條直線之間的距離d=,所以d2==,因?yàn)?≤c≤,所以≤1﹣4c≤1,即d2∈[,],所以兩條直線之間的距離的最大值和最小值分別是,.故選:D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線之間的距離的求法,函數(shù)的最值的求法,考查計(jì)算能力.3.若存在負(fù)實(shí)數(shù)使得方程成立,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是(
)
A.(2,+∞)
B.
C.(0,2)
D.(0,1)參考答案:C4.若函數(shù)f(x)=x2+bx+c的對(duì)稱軸方程為x=2,則()A.f(2)<f(1)<f(4) B.f(1)<f(2)<f(4) C.f(2)<f(4)<f(1) D.f(4)<f(2)<f(1)參考答案:A【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì).【專題】計(jì)算題.【分析】先判定二次函數(shù)的開口方向,然后根據(jù)開口向上,離對(duì)稱軸越遠(yuǎn),函數(shù)值就越大即可得到f(1)、f(2)、f(4)三者大?。窘獯稹拷猓汉瘮?shù)f(x)=x2+bx+c開口向上,在對(duì)稱軸處取最小值且離對(duì)稱軸越遠(yuǎn),函數(shù)值就越大∵函數(shù)f(x)=x2+bx+c的對(duì)稱軸方程為x=2,4利用對(duì)稱軸遠(yuǎn)∴f(2)<f(1)<f(4)故選A.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì),一般的開口向上,離對(duì)稱軸越遠(yuǎn),函數(shù)值就越大,開口向下,離對(duì)稱軸越遠(yuǎn),函數(shù)值就越小,屬于基礎(chǔ)題.5.設(shè)全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4},N={1,3,5},則N∩(?UM)等于()A.{1,3} B.{1,5} C.{3,5} D.{4,5}參考答案:C【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算.【分析】根據(jù)補(bǔ)集與交集的定義,求出?UM與N∩(?UM)即可.【解答】解:全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4},N={1,3,5},∴?UM={2,3,5},∴則N∩(?UM)={3,5}.故選:C.6.平面向量與的夾角為60°,=(2,0),||=1,則|+|=(
)A.
B.
C.3
D.7
參考答案:B根據(jù)題意,,則,又由且與的夾角為,則,,則.
7.已知函數(shù)f(x),g(x)都是R上的奇函數(shù),且F(x)=f(x)+3g(x)+5,若F(a)=b,則F(﹣a)=()A.﹣b+10 B.﹣b+5 C.b﹣5 D.b+5參考答案:A【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì).【分析】先將原函數(shù)通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為一個(gè)奇函數(shù)加5的形式,再利用其奇偶性來求值.【解答】解:令G(x)=F(x)﹣5=f(x)+3g(x),故G(x)是奇函數(shù),∴F(a)﹣5+F(﹣a)﹣5=0∵F(a)=b,∴F(﹣a)=10﹣b.故選:A.8.在三棱柱中,已知,,此三棱柱各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,則球的體積為(
)A. B.
C.
D.參考答案:A9.設(shè)非零向量,,滿足+=,且==,則向量與的夾角為()A.B.C.D.參考答案:D考點(diǎn):數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角.
專題:平面向量及應(yīng)用.分析:把已知式子平方由數(shù)量積的運(yùn)算易得向量夾角的余弦值,可得夾角.解答:解:由題意可得=(+)2,∴||2=||2+||2+2||||cosθ,其中θ為向量與的夾角,∵==,∴cosθ=﹣,∴向量與的夾角為故選:D點(diǎn)評(píng):本題考查平面向量的夾角,屬基礎(chǔ)題.10.已知冪函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,),則f(4)=()A.2 B. C. D.參考答案:A【考點(diǎn)】?jī)绾瘮?shù)的概念、解析式、定義域、值域.【分析】求出冪函數(shù)的解析式,然后求解f(4)的值.【解答】解:因?yàn)閮绾瘮?shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,),所以冪函數(shù)的解析式為:f(x)=,則f(4)==2.故選A.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知角α的終邊過點(diǎn)P(﹣8m,﹣6sin30°),且cosα=﹣,則m的值為,sinα=.參考答案:,﹣
【考點(diǎn)】任意角的三角函數(shù)的定義.【分析】由條件利用任意角的三角函數(shù)的定義,求出m的值,可得sinα.【解答】解:由題意可得x=﹣8m,y=﹣6sin30°=﹣3,r=|OP|=,cosα==﹣,解得m=,∴sinα=﹣.故答案為:,﹣.12.定義:區(qū)間[m,n]、(m,n]、[m,n)、(m,n)(n>m)的區(qū)間長(zhǎng)度為;若某個(gè)不等式的解集由若干個(gè)無交集的區(qū)間的并表示,則各區(qū)間的長(zhǎng)度之和稱為解集的總長(zhǎng)度。已知是偶函數(shù),是奇函數(shù),它們的定義域均為[-3,3],則不等式解集的總長(zhǎng)度的取值范圍是_________參考答案:[0,3]13.已知弧度數(shù)為2的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2,則這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是
.參考答案:;
14.在△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b.c,且,則B的大小為
.參考答案:15.(2016秋?建鄴區(qū)校級(jí)期中)已知集合A={1,2,3},B={2,3,5},則A∪B=
.參考答案:{1,2,3,5}【考點(diǎn)】并集及其運(yùn)算.【專題】集合.【分析】利用并集定義求解.【解答】解:∵集合A={1,2,3},B={2,3,5},∴A∪B={1,2,3,5}.故答案為:{1,2,3,5}.【點(diǎn)評(píng)】本題考查并集的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,是基礎(chǔ)題.16.已知,試用a,b表示=___________.參考答案:
17.如圖,直四棱柱的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,側(cè)棱長(zhǎng),則異面直線與的夾角大小等于
.參考答案:60°由直四棱柱的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,側(cè)棱長(zhǎng)可得由知就是異面直線與的夾角,且,所以=60°,即異面直線與的夾角大小等于60°.
三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)的定義域?yàn)?,求函?shù)的定義域.參考答案:略19.某化工廠生產(chǎn)的一種溶液,按市場(chǎng)要求,雜質(zhì)含量不能超過0.1%.若初時(shí)含雜質(zhì)2%,每過濾一次可使雜質(zhì)含量減少,問至少應(yīng)過濾幾次才能使產(chǎn)品達(dá)到市場(chǎng)要求?(已知:lg2=0.3010,lg3=0.4771)參考答案:【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.【分析】設(shè)出過濾次數(shù),由題意列出基本不等式,然后通過求解指數(shù)不等式得n的取值.【解答】解:設(shè)過濾n次,則,即,∴n≥.又∵n∈N,∴n≥8.即至少要過濾8次才能達(dá)到市場(chǎng)要求.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列,考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,訓(xùn)練了指數(shù)不等式的解法,是基礎(chǔ)題.20.已知函數(shù)f(x)=(sinx﹣cosx)2+sin(2x+)(x∈R).(1)求函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間;(2)若f(α)=,α∈(,),求cos(2α+).參考答案:【考點(diǎn)】H5:正弦函數(shù)的單調(diào)性;GL:三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用.【分析】(1)利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間.(2)由題意求得sin(2α+)的值,利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cos(2α+)的值,再利用兩角和的余弦公式求得cos(2α+)=cos[(2α+)+]的值.【解答】解:(1)函數(shù)f(x)=(sinx﹣cosx)2+sin(2x+)=1﹣sin2x﹣cos2x=1﹣2(sin2x+cos2x)=1﹣2sin(2x+),令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,求得kπ﹣≤x≤kπ+,可得函數(shù)的減區(qū)間為[kπ﹣,kπ+],k∈Z.(2)∵f(α)=,α∈(,),∴1﹣2sin(2α+)=,∴sin(2α+)=,根據(jù)2α+∈(,),可得cos(2α+)=﹣=﹣.故cos(2α+)=cos[(2α+)+]=cos(2α+)cos﹣sin(2α+)sin=﹣?﹣?=﹣.21.(本小題滿分12分)在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是a、b、c,且cosA=,(I)求的值;(II)若b=2,△ABC的面積S=3,求a。
參考答案:(I);(II)(1)sin2+cos2A=+2cos2A-1=.
…………6分(2)∵cosA=,∴sinA=.由S△ABC=bcsinA,得3=×2c×,解得c=5.
………9分由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可得a2=4+25-2×2×5×=13,∴a=.……12分22.已知集合A={︱3<≤7},B={x︱2<<10},C={︱<}
⑴求A∪B,(CuA)∩B⑵若A∩C≠,求a的取值范圍參考答案:解:⑴∵A={︱3<≤
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