流體力學(xué)實驗第二章

流體力學(xué)實驗第二章1第一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期日對于模型實驗研究：

如何選定制作模型的比尺、實驗中流動參數(shù)及變化范圍并使得模型實驗的流動狀態(tài)和原型流動相似，使模型實驗的結(jié)果符合于實際？

如何將模型實驗結(jié)果推廣應(yīng)用到原型上去？如何根據(jù)特定條件下得到的實驗結(jié)果推廣應(yīng)用到同類相似的流動中？模型實驗的理論基礎(chǔ)包括：相似理論量綱分析2第二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期日§2.2流動的力學(xué)相似

相似的概念：首先出現(xiàn)在幾何學(xué)里，如兩個三角形相似時，則它們的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例。

流體力學(xué)相似：是幾何相似概念在流體力學(xué)中的推廣和發(fā)展，它指的是兩個流場的力學(xué)相似，即在流動空間的各對應(yīng)點上和各對應(yīng)時刻，表征流動過程的所有物理量各自互成一定的比例。表征流動過程的物理量按其性質(zhì)主要有三類，即表征流場幾何形狀的，表征流體微團運動狀態(tài)的和表征流體微團動力性質(zhì)的，因此，流動的力學(xué)相似主要包括流場的幾何相似、運動相似和動力相似。3第三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期日1.幾何相似

保持幾何相似是模型實驗最基本的要求。

幾何相似是指模型與原型的全部對應(yīng)線性長度的比例相等，即

線性長度也稱為特征長度，可以是翼型的翼弦長b，圓柱的直徑d，管道的長度l，管壁絕對粗糙度等，式中kl為長度比尺。兩機翼幾何相似模型流動用上標(biāo)′表示4第四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期日只要模型與原型的全部對應(yīng)線性長度的比例相等，則它們的夾角必相等。由于幾何相似，模型與原型的對應(yīng)面積、對應(yīng)體積也分別互成一定比例，即面積比尺

體積比尺

5第五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期日正態(tài)模型：長、寬、高比尺均一致的模型。在流體力學(xué)模型實驗中，一般采用正態(tài)模型。變態(tài)模型：分別采用不同的長度比尺、高度比尺和寬度比尺，如天然河道的模型。6第六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期日2.運動相似

運動相似是指模型與原型的流場所有對應(yīng)點、對應(yīng)時刻的流速方向相同而大小成比例，即速度比尺kv為：

流場運動相似7第七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期日由于流場的幾何相似是運動相似的前提條件，因此模型與原型流場中流體微團經(jīng)過對應(yīng)路程所需要的時間也必互成一定比例，即

時間比尺:

由幾何相似和運動相似還可以導(dǎo)出用kl、kv表示的有關(guān)運動學(xué)量的比尺如下：

8第八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期日

加速度比尺

體積流量比尺

運動粘度比尺

角速度比尺只要確定了模型與原型的長度比尺和速度比尺，便可由它們的不同組合確定所有運動學(xué)量的比尺。9第九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期日3.動力相似

動力相似是指模型與原型的流場所有對應(yīng)點作用在流體微團上的各種力彼此方向相同，而它們大小的比例相等

動力相似10第十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期日

以上三種相似是互相聯(lián)系的。流場的幾何相似是流動力學(xué)相似的前提條件，動力相似是決定運動相似的主導(dǎo)因素，而運動相似則是幾何相似和動力相似的表現(xiàn)。

因此，模型與原型流場的幾何相似、運動相似和動力相似是兩個流場完全相似的重要特征。由此模型與原型流場的密度也必互成一定比例，即

密度比尺：

由于兩個流場的密度比尺常常是已知的或者是已經(jīng)選定的，故做流體力學(xué)的模型實驗時，經(jīng)常選取、、作為基本比尺，即選取、、作為獨立的基本變量。11第十一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期日于是可導(dǎo)出用、和表示的有關(guān)動力學(xué)的比尺如下：

力的比尺

力矩（功、能）比尺

壓強（應(yīng)力）比尺

功率比尺

動力粘度比尺12第十二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期日

有了以上關(guān)于幾何學(xué)量、運動學(xué)量和動力學(xué)量的三組比尺，模型與原型流場之間各物理量的相似比尺換算就很方便了。其他還有溫度相似（熱相似）、濃度相似等在傳熱、擴散等問題的模型實驗中會用到。13第十三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期日§2.3相似準(zhǔn)則（相似準(zhǔn)數(shù)、相似判據(jù)）1.相似準(zhǔn)則

相似準(zhǔn)則（相似判據(jù)）：由流動的特征量所組成的無量綱組合量，通過它們來判斷模型和原型流動是否滿足（動力）相似。幾何相似準(zhǔn)則：矩形相似。稱為幾何相似準(zhǔn)則數(shù)或無量綱邊長。如何導(dǎo)出動力相似準(zhǔn)則（相似判據(jù)）？14第十四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期日2.動力相似準(zhǔn)則

任何系統(tǒng)的機械運動都必須服從牛頓第二定律.對模型與原型流場中的流體微團應(yīng)用牛頓第二定律，再按照動力相似，各種力大小的比例相等，可得

令

Ne稱為牛頓（I.Newton）數(shù),它是作用力與慣性力的比值，是一個無量綱數(shù)。

15第十五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期日

模型與原型的流場動力相似，它們的牛頓數(shù)必定相等即;反之亦然。這便是由牛頓第二定律引出的牛頓相似準(zhǔn)則。

不論是何種性質(zhì)的力，要保證兩種流場的動力相似，它們都要服從牛頓相似準(zhǔn)則，于是，可得：

一、重力相似準(zhǔn)則二、粘性力相似準(zhǔn)則三、壓力相似準(zhǔn)則四、非定常性相似準(zhǔn)則五、彈性力相似準(zhǔn)則六、表面張力相似準(zhǔn)則16第十六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期日重力相似準(zhǔn)則

代入牛頓相似準(zhǔn)則，

Fr稱為弗勞德（W.Froude）數(shù),它是慣性力與重力的比值。17第十七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期日

模型和原型流動的重力作用相似，它們的弗勞德數(shù)必定相等，即；反之亦然。這便是重力相似準(zhǔn)則。又稱弗勞德相似準(zhǔn)則。由此可知，重力作用相似的流場，有關(guān)物理量的比尺要受弗勞德相似準(zhǔn)則的制約，不能全部任意選擇。由于在重力場中，故有

18第十八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期日粘性力相似準(zhǔn)則

19第十九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期日

Re稱為雷諾（Reynolds）數(shù),它是慣性力與粘滯力的比值。

模型和原型流動的粘性力作用相似，它們的雷諾數(shù)必定相等，即；反之亦然。這便是粘性力相似準(zhǔn)則，又稱雷諾相似準(zhǔn)則。

由此可知，粘性力作用相似的流場，有關(guān)物理量的比尺要受雷諾相似準(zhǔn)則的制約，不能全部任意選擇。例如，當(dāng)模型與原型用同一種流體介質(zhì)時，故有

20第二十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期日壓力相似準(zhǔn)則

Eu稱為歐拉（L.Euler）數(shù),它是壓力與慣性力的比值。模型和原型流動的壓力作用相似，它們的歐拉數(shù)必定相等，即；反之亦然。這便是壓力相似準(zhǔn)則，又稱歐拉相似準(zhǔn)則。21第二十一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期日歐拉數(shù)中的壓強p也可用壓差來代替，這時歐拉數(shù)歐拉相似準(zhǔn)則22第二十二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期日非定常性相似準(zhǔn)則

對于非定常流動的模型實驗，必須保證模型與原型的流動隨時間的變化相似。由當(dāng)?shù)丶铀俣纫鸬膽T性力之比可以表示為

代入得

也可寫成

令

St稱為斯特勞哈爾（V.Strouhal）數(shù)。23第二十三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期日

它是當(dāng)?shù)貞T性力與遷移慣性力的比值。二非定常流動相似，它們的斯特勞哈爾數(shù)必定相等，；反之亦然。這便是非定常性相似準(zhǔn)則，又稱斯特勞哈爾準(zhǔn)則。倘若非定常流是流體的波動或振蕩，其頻率為,則

斯特勞哈爾數(shù)斯特勞哈爾準(zhǔn)則

24第二十四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期日彈性力相似準(zhǔn)則

式中K為體積模量，為體積模量比尺。

Ca稱為柯西（B.A.L.Cauchy）數(shù),它是慣性力與彈性力的比值。模型和原型流動的彈性力作用相似，它們的柯西數(shù)必相等。反之亦然。這便是彈性力相似準(zhǔn)則，又稱柯西準(zhǔn)則。25第二十五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期日

對于氣體，宜將柯西準(zhǔn)則轉(zhuǎn)換為馬赫準(zhǔn)則。由于（c為聲速），故彈性力的比尺又可表示為，代入得，

Ma稱為馬赫（L.Mach）數(shù),它仍是慣性力與彈性力的比值。二流動的彈性力作用相似，它們的馬赫數(shù)必定相等，即；反之亦然。這仍是彈性力相似準(zhǔn)則，又稱馬赫相似準(zhǔn)則。26第二十六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期日表面張力相似準(zhǔn)則

在表面張力作用下相似的流動，其表面張力分布必須相似。作用在模型和原型流場流體微團上的表面張力之比可以表示為

式中為表面張力，為表面張力比尺。將上式代入得

也可寫成

令

We

稱為韋伯（M.Weber)數(shù)，它是慣性力與表面張力的比值。二流動的表面張力作用相似，它們的韋伯?dāng)?shù)必定相等，即；反之亦然。這便是表面張力相似準(zhǔn)則，又稱韋伯相似準(zhǔn)則。27第二十七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期日

上述的牛頓數(shù)、弗勞德數(shù)、雷諾數(shù)、歐拉數(shù)、斯特勞哈爾數(shù)、柯西數(shù)、馬赫數(shù)、韋伯?dāng)?shù)等統(tǒng)稱為相似準(zhǔn)數(shù)。

牛頓第二定律所表述的是形式最簡單、最基本的運動微分方程。根據(jù)該方程可導(dǎo)出在各種性質(zhì)單項力作用下的相似準(zhǔn)則。在實際流動中，作用在流體微團上的力往往不是單項力，而是多項力，這時牛頓第二定律中的力代表的便是多項力的合力。

上述導(dǎo)出動力相似準(zhǔn)則的方法稱為物理法則分析法，即根據(jù)物理法則或物理定律用特征物理量表示各種力的量級，用這些力的量級比值構(gòu)成相似準(zhǔn)則數(shù)。28第二十八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期日優(yōu)點：導(dǎo)出的相似準(zhǔn)則數(shù)物理意義明確；

適用于未知物理方程的流動。缺點：當(dāng)無法判定控制流動的物理定律時不能運用。

29第二十九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期日

方程分析法——確定相似準(zhǔn)數(shù)的方法（方程已知）流動相似：控制原型和模型流動的無量綱物理方程完全相同以x方向N-S

方程為例（不可壓縮粘性流動）令（選取流動的特征場量建立無量綱變量）代入得無量綱方程

方程前的無量綱數(shù)就是相似準(zhǔn)數(shù)。30第三十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期日優(yōu)點：導(dǎo)出的相似準(zhǔn)則數(shù)物理意義明確；

缺點：不能用于未知物理方程的流動。

無量綱方程既適用于模型也適用于原型。31第三十一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期日

（1）確定長度比尺kl：根據(jù)實驗場地、模型制作條件等

（2）選擇流體介質(zhì)，一般采用同一介質(zhì)=1（3）選擇相似準(zhǔn)則：在幾何相似的前提下，選擇合適的動力相似準(zhǔn)則

在重力場中要使弗勞德數(shù)相等

如果模型與原型中的流體相同，要使雷諾數(shù)相等要求相矛盾，即使采用不同的流體介質(zhì)也很難實現(xiàn)。3.流體力學(xué)模型實驗設(shè)計——如何選擇相似準(zhǔn)則32第三十二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期日

相似準(zhǔn)則數(shù)越多，模型實驗的設(shè)計越困難，甚至根本無法進行。

近似的模型實驗方法，即在設(shè)計模型和組織模型實驗時，在與流動有關(guān)的相似準(zhǔn)則中考慮那些對流動過程起主導(dǎo)作用的相似準(zhǔn)則（決定性準(zhǔn)則），而忽略那些對流動過程影響較小的相似準(zhǔn)則（非決定性準(zhǔn)則），達到模型與原型流動的近似相似。

無壓的明渠流動，主要考慮弗勞德相似準(zhǔn)則。

有壓的粘性管流，主要考慮雷諾相似準(zhǔn)則。非定常流動：St數(shù)為決定性相似準(zhǔn)數(shù)。可壓縮流動：Ma數(shù)為決定性相似準(zhǔn)數(shù)。總之，根據(jù)流動的性質(zhì)來選取決定性相似準(zhǔn)數(shù)。33第三十三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期日§2.4

量綱分析

量綱分析：主要用于分析物理現(xiàn)象中的未知規(guī)律，通過對流動有關(guān)的物理量作量綱冪次分析，將它們組合成無量綱形式的組合量，用無量綱參數(shù)之間的關(guān)系代替有量綱的物理量之間的關(guān)系，揭示物理量之間在量綱上的內(nèi)在聯(lián)系，降低變量數(shù)目，用于指導(dǎo)理論分析和實驗研究。

最早提出量綱分析的是瑞利（L.Reyleigh,1877),奠定理論基礎(chǔ)的是布金漢（E.Buckingham,1914)。34第三十四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期日SI制中的基本量綱：獨立量綱物理量的量綱導(dǎo)出量綱：用基本量綱的冪次表示。dimm=M,diml=L,dimt=T物理量大小類別導(dǎo)出量綱工程單位制國際單位制英制單位制量綱基本量綱用[]表示物理量的量綱，用（）表示物理量的單位35第三十五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期日粘度系數(shù)壓強，壓力，彈性模量力，力矩密度，重度體積流量，質(zhì)量流量

速度，加速度

常用量

應(yīng)變率

角速度，角加速度

其他量36第三十六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期日注：為溫度量綱（比）焓，內(nèi)能（比）熵導(dǎo)熱系數(shù)比熱表面張力系數(shù)功率能量，功，熱動量，動量矩慣性矩，慣性積37第三十七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期日2.物理方程量綱一致性原理

也稱為量綱和諧性原理、量綱齊次性原理，是量綱分析的理論基礎(chǔ)。

任何一個正確描述流動現(xiàn)象的物理方程各項的量綱必定相同，用量綱表示的物理方程必定是齊次的，這便是物理方程量綱一致性原則。

用物理方程中的任何一項去通除整個方程，便可將該方程化為無量綱方程。38第三十八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期日3.模型實驗量綱分析法步驟量綱分析流動過程的相似準(zhǔn)則數(shù)相似準(zhǔn)則數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系（準(zhǔn)則方程式）實驗將準(zhǔn)則方程式直接應(yīng)用到原型及其它相似流動中去。

用量綱分析法，結(jié)合實驗研究，不僅可以找出尚無物理方程表示的復(fù)雜流動過程的流動規(guī)律，而且找出的還是同一類相似流動的普遍規(guī)律。39第三十九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期日4.p定理定理表述：如果描述一個物理