理論力學十四虛位移原理

理論力學十四虛位移原理第一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一廣義坐標與自由度yxOlA(x,y)yxOA(x1,y1)B(x2,y2)ab廣義坐標

——確定質點系位形的獨立參變量。第二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一廣義坐標

——確定質點系位形的獨立參變。用q1，q2，…表示。自由度

——在完整約束條件下，確定質點系位置的獨立參變量的數目等于系統(tǒng)的自由度數。對于穩(wěn)定的完整約束，各質點的坐標可以寫成廣義坐標的函數形式N=3n—s第三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一做變換其中是廣義坐標?？紤]如圖所示不計摩擦的二自由度系統(tǒng)，參數定義坐標后，可得系統(tǒng)運動方程：可得解耦的等價系統(tǒng)：它有更清晰的物理意義。第四頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一約束——物體運動所受到的限制1.

幾何約束與運動約束yxOAA0l幾何約束在質點系中，幾何約束只能限制各質點在空間的位置或質點系的位形。擺§14-1約束·虛位移·虛功第五頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一運動約束在質點系中，所加的約束不僅限制各質點在空間的位置，還限制它們運動的速度。OyxAxByBxAyABvA圓輪只滾動不滑動的約束導彈運動方向的約束COyxC*第六頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一2.

定常約束與非定常約束定常約束－約束方程中不顯含時間的約束：非定常約束－約束方程中顯含時間的約束：yxvOM第七頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一3.

單側約束與雙側約束雙側約束（固執(zhí)約束）——約束方程可以寫成等式的約束。單側約束（非固執(zhí)約束）——約束方程不能寫成等式、但是可以寫成不等式的約束。BByxOyxO雙側約束單側約束第八頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一yxOyxOAAA0lA0l雙側約束單側約束第九頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一4.

完整約束與非完整約束完整約束

——約束方程不包含質點速度，或者包含質點速度但約束方程是可以積分的約束。非完整約束

——約束方程包含質點速度、且約束方程不可以積分的約束。第十頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一約束方程不可積分，所以導彈所受的約束為非完整約束。圓輪所受約束為完整約束。COyxC*OyxAxByBxAyABvA可以積分為：第十一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一虛位移xyOBAMF質點系在給定瞬時，為約束所允許的無限小位移——虛位移（1）虛位移是假定約束不改變而設想的位移；（2）虛位移不是任何隨便的位移，它必須為約束所允許；（3）虛位移是一個假想的位移，它與實位移不同；（4）在完整定常約束下，虛位移方向沿其速度方向。第十二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一虛位移與實位移的區(qū)別和聯系（1）在完整定常約束下，實位移是諸多虛位移中的一個；MM1drdrerdr——實位移

r——虛位移實位移——質點或質點系在其真實運動中，在一定的時間間隔內發(fā)生的位移。（2）在完整定常約束下，虛位移方向沿其速度方向。第十三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一虛功質點或質點系所受的力在虛位移上所作的功——虛功。

W=F·

r理想約束質點或質點系的約束反力在虛位移上所作的虛功等于零，我們把這種約束系統(tǒng)稱為理想約束。

W=M·

∑FNi·

ri

=0第十四頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一FiFNim1m2mi

riFi——主動力FNi——約束反力

ri——虛位移Fi+FNi=0Fi·

ri+FNi·

ri

=0∑Fi·

ri+∑FNi·

ri

=0∑FNi·

ri

=0

∑Fi·

ri=0對于具有理想約束的質點系，其平衡條件是：作用于質點系的主動力在任何虛位移中所作的虛功的和等于零——虛位移原理§14-2虛位移原理第十五頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一

∑Fi·

ri=0上式稱為虛位移原理的解析表達式應用虛位移原理解題時，主要是建立虛位移間的關系，通常采用以下方法：（1）通過運動學關系，直接找出虛位移間的幾何關系；（2）建立坐標系，選廣義坐標，然后仿照函數求微分的方法對坐標求變分，從而找出虛位移（坐標變分）間的關系。第十六頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一已知：OA=r

,AB=l,不計各桿質量。求：平衡時F與M間的關系。BAO解：取系統(tǒng)為研究對象

∑Fi·

ri=0由運動學關系可知：MF例14-1第十七頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一CBADM已知：菱形邊長為a

,求：物體C所受到的壓力。螺距為h，頂角為2

，主動力偶為M.FNrArC解：

(1)取系統(tǒng)為研究對象(2)建立虛位移間的關系例14-2第十八頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一xyCBADMFN解法二：取建立圖示坐標系第十九頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一rCOABCDPQ圖示操縱汽門的杠桿系統(tǒng)，已知OA/OB=1/3，求此系統(tǒng)平衡時主動力P和Q間的關系。rBrA解：

(1)取系統(tǒng)為研究對象由運動學關系可知：例14-3第二十頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一圖示系統(tǒng)中除連接H點的兩桿長度為l外,其余各桿長度均為2l,彈簧的彈性系數為k,當未加水平力P時彈簧不受力，且

=0

，求平衡時水平力P的大小。解：

(1)建立圖示坐標系(2)系統(tǒng)的虛功方程例14-4第二十一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一(2)系統(tǒng)的虛功方程第二十二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一求圖示連續(xù)梁的支座反力。PMqll2lABCD解：

(1)解除D處約束，代之以反力FD，并將其視為主動力。PMqABCDFDsEsD其中解得例14-5第二十三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一(2)解除B處約束，代之以反力FB，并將其視為主動力。FBsBsCPMqABCD其