立體幾何基礎(chǔ)題題庫(kù)-

立體幾何基礎(chǔ)題題庫(kù)351-400(有詳細(xì)答案)ay1111111111111111111111111211121113a311231122111112中∠BHA=90°，∠BAH=30°，∴BH=a．在Rt△BHQ中，∠BHQ=90°，BQ=a，2BH=2a，sin三BQH=BH=2a2=2，∵∠BQH是銳角，∴∠BQH=452BQa2即二面角a-MN-等于45°．其中正確的兩個(gè)命題是()力.不一定平行，故(2)不正確.故應(yīng)排除A、C.依題意，有兩個(gè)命題正確，不可能(3)，(4)都正mm)是不正確的，因此可或(3)檢查，只須檢查一個(gè)便可以做出判斷.為棱，將正方形的紙折成直二面角，則∠BOD等于()A.120°B.150°C.135°D.90°垂直，余弦定理，以及空間與平面問題的轉(zhuǎn)化能力。22如圖，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，由O為正方形中心，則BO＝a,DO＝a，連AB，因?yàn)镈A22a2a26AD2+AE2+BE2＝a2++=a.442226a2+a2a2444＝＝＝a2找出空間轉(zhuǎn)化為平面的途徑，幾何計(jì)算的準(zhǔn)確性等。B30°，則線段CD的長(zhǎng)為取值范圍是()A.[1，+∞]233234333233以及空間想象能力和幾何計(jì)算.2323∩α＝l，在y內(nèi)，DC⊥l時(shí)為最短，此時(shí)DC＝DA′·tan30°＝.故CD≥.∴應(yīng)331357.如圖，四棱錐P—ABCD的底面是直角梯形，AB∥DC，AB⊥BC，且AB＝CD，側(cè)棱PB2共棱.有了公共棱，二面角的平面角就生了根.ABDCABBCDCBCPB面ABCD.1∵AB＝CD，PC＝5，BC＝3，∴PB＝4.2S＝6，∴AB＝3，CD＝6，ΔPABEABEB1＝＝.DCEC2.5DC65在直角ΔDCF中，tanα＝＝＝.CF24455α＝antan.4評(píng)析：這是一道較難的題，難就難在怎么確定兩相交平面的交線.由公理二交線的唯一性必∴在ΔDEF中，cos∠EDF＝22-3,又-1＜22-3＜0.∴二面角A—SC—B的平面角∠EDF＝arccos(22-3)＝π-arccos(3-22)同時(shí)取特殊值可以使問題簡(jiǎn)單化.最大值.2SAEDCEAEADCAEDCS，AE＝.2ABCaEBAE4S∴∠ABE＝30°，在ΔAEB中，有＝，∴EB＝sin(α+30°).4S14S據(jù)題意，有α∈(0°，180°)，當(dāng)α＝60°時(shí)，有EB＝，這時(shí)(S)＝a·＝maxaΔDBCmax2a2S.這一章的一些主要知識(shí).C就行了.1sin9∴tanα＝sinθ,cosα＝,sinα＝+sin291+sin29. a＝PQsinsina,asinaasin9∴PQ＝＝.解法略為簡(jiǎn)便些.11寫出一個(gè)可能的值)查錐體求積公式這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，的.排除{1，1，2}，可得{1，1，1}，{1，2，2}，{2，2，2}，然后由這三類面在空間構(gòu)造滿足條件的一個(gè)四面體，再求其體積.少可構(gòu)造出二類滿足條件的四面體，五條邊為2，另一邊為1，對(duì)棱相等的四面體.BCM把三棱錐分成兩個(gè)三棱錐，由對(duì)稱性可知AD⊥面BCM，且V=V，所以A—BCMD—BCM1V=S·AD.ABCD3ΔBCMMN=MN=CM2CN2=1==，，從而S==，222ΔBCM22故V=××1=.ABCD326對(duì)于對(duì)棱相等的四面體，可參見圖2.其體積的計(jì)算可先將其置于一個(gè)長(zhǎng)方體之中，再用長(zhǎng)方體的體積減去四個(gè)小三棱錐的體積來進(jìn)行.亦可套公式2V=·(a2+b2c2)(b2+c2a2)(c2+a2b2)，214=·7=.1212363.湖結(jié)冰時(shí)，一個(gè)球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一個(gè)直徑為24cm,深364.在有陽(yáng)光時(shí)，一根長(zhǎng)為3米的旗軒垂直于水平地面，它的影長(zhǎng)為3米，同時(shí)將一個(gè)半徑為3米的球放在這塊水平地面上，如圖所示，求球的陰影部分的面積(結(jié)果用無理數(shù)表示).能夠放入這個(gè)棱錐的最大球的半徑.BDBD」ACJ1由此，面MAD⊥面AC.ΔAMD∴ME＝.MF＝aar＝ra2a22當(dāng)且僅當(dāng)a＝，即a＝2時(shí)，等號(hào)成立.a∴當(dāng)AD＝ME＝2時(shí)，滿足條件的球最大半徑為2-1.1111(1)1.11.1.11.(2)AB=BC=BB亭G為△ABC的中心.AC=2a112262332336∴BG=a6∴BG=a2_(a)2=36a2_a2=9a2=a931難難相∴cos∠BBG=1BB6a6a3367.已知P為ABCD所在平面外一點(diǎn)，M為PB的中點(diǎn)，求證：PD∥平面MAC．證明連AC交BD于O，連MO，則MO為△PBD的中位線，∴PD∥MO，∵PD億平面MAC，MO平面MAC，∴PD∥平面MAC．11111368.如圖，在正方體ABCD－ABCD中，M，N111111111，AD，11111(1)求證：AE⊥平面ABMN．11(2)平面直線AE與MF所成的角．1111111平面中的問題，只要畫出平面幾何圖形，用平幾知識(shí)解決．(2)為(1)的應(yīng)用．1證明(1)∵AB⊥平面A11111∴AB⊥AE．在平面AADD中，111111解(2)由(1)知A1E⊥平面ABMN，而MF仁平面ABMN，∴1AE⊥MF，11則AE與MF所成的角為90°111111369.如圖，在正方體ABCD－ABCD中，M為棱CC的中點(diǎn)，AC111111111111方法1：發(fā)現(xiàn)AO平分DB，想到什么？(△ADB是否為等腰三角形)111111111111111tan∠MOC=2，∴∠AAO=∠MOC，則∠AOA＋∠MOC＝90°，∴AO⊥OM，∵OM∩21111OMBD1333(2)A，B在平面α的異側(cè)時(shí)，P平面α的距離為333種情形的結(jié)論，就是將(1)結(jié)論中的b改為(－b)，而無需再畫另一圖形加以求解．(A)有且只有一個(gè)(B)可能存在也可能不存在(C)有無數(shù)多個(gè)(D)一定不存在(B)11111372.在正方體ABCD－ABCD中，若11111直線CE垂直于)111(A)AC(B)BD(C)AD(D111：(B)111BD⊥AC，BD⊥CC，∴BD⊥平面AACC111P不在△ABC所在平面內(nèi)，過P作平面α，使△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)到α的距離相等，這樣的平面共有)(A)1個(gè)(B)2個(gè)(C)3個(gè)(D)4個(gè)(A)1(B)2(C)3(D)4h1：2，則P到平面α的距離為．33異側(cè)時(shí)，P到平面α的距離為6291＝1(cm)．33且它們?cè)讦恋耐粋?cè)，則△ABC的重心到平面α的距離為．3ED＝．AB＝10，∴CD＝5，則ED＝52+122＝13．378.如圖，在正方體ABCD－ABCD中，求：11111111．D1111111111111111111111111111111即H為B在平面ACB內(nèi)的射影．另在求此角大小時(shí)，只要求∠BBO即可．11111111111111111111111111111111111sin∠BAO＝BO=1，∴∠BAO＝30°．1AB211111111111111111111111111111111BB211121379.Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝36，若平面ABC外一點(diǎn)P與平面A，B，C三點(diǎn)等距(1)求證：PM⊥AC；(2)求P到直線AC的距離；(3)求PM與平面ABC所成角的正切值．角三角形，其外心為斜邊的中點(diǎn)．證明(1)∵PA＝PC，M是AC中點(diǎn)，∴PM⊥AC解(2)∵BC＝36，∴MH＝18，又PH＝80，(3)∵PM=PB=PC，∴P在平面ABC內(nèi)的射線為△ABC的外心，PH040PH040MH932336又∵CM＝3a，∴CN＝CM2MN2=7a=21a．126CM3111111解析：在空間中作出兩條直線垂直相對(duì)較在平面內(nèi)作兩條直線垂直難．此題CM與MN是相1交直線，一種方法可通過勾股定理來驗(yàn)證它是否垂直，另一方法為：因MN是平面AABB內(nèi)1111證明1設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則MN＝5a，4122144MN111證明2連結(jié)BM，∵CB⊥平面AABB，1111111114221121111PA＝a．(1)求證：PC⊥CD；(2)求點(diǎn)B到直線PC的距離．解析：(1)要證PC與CD垂直，只要證明AC與CD垂直，可按實(shí)際情形畫出底面圖形進(jìn)行實(shí)上，這里的∠PBC＝90°)；另一種重要的思想是：因PC在平面PAC中，而所作BH為平證明(1)取AD的中點(diǎn)E，連AC，CE，a623383.四面體ABCD的四個(gè)面中，是直角三角形的面至多有()(A)1個(gè)(B)2個(gè)(C)3個(gè)(D)4個(gè)111(A)銳角三角形(B)直角三角形(C)鈍角三角形(D)以上都不對(duì)AB1111離等于∵PA＝PB＝PC,∴P在平面α內(nèi)的射影為△ABC的外心O，∵∠C＝90°，∴O為AB的中點(diǎn)，∵AO＝5，PA＝7，∴PO＝7252=26(1)求證：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD．證明(1)連AC∩BD＝O，連NO，MO，則NO∥PA．∵PA⊥平面ABCD，∴NO⊥平面ABCD．(2)∵∠PDA＝45°，∴PA＝AD，P：：PA⊥CDBDDA113注要充分注意平面幾何中的知識(shí)(如本題中三角形重心性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)等)在證題EEEF仁平面AEF∴a⊥EFAaPHCHCAB角三PHACB2cos∠DBP=∴∠DBP=45°,即PB與平面BCD所成角為45°．22∴∠BPE為BP與平面PCD所成的角,在Rt△BEP中，BE=a,BP=2a,∴∠BPE=30°即2BCEDCDPP393.正四棱錐的一個(gè)對(duì)角面與一個(gè)側(cè)面的面積之比為6:2，求側(cè)面與底面所成的角的大PCAB解析：如圖，正四棱錐P—ABCD的一個(gè)對(duì)角面△PAC。設(shè)棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，高為h，斜11PACPAC2PBC2COAEB21∴S:S=ah:ah,=2h:h,=6:2PACPBC22POh3在Rt△POE中，sin∠PEO===，PEh,2幾幾∴∠PEO=，即側(cè)面與底面所成的角為.3(1)求證：AC⊥面ABC1；(2)求證：C1點(diǎn)在平面ABC上的射影H在直線AB上；(3)求此三棱柱體積的最小值。析：(1)由棱柱性質(zhì)，可知A1C1//AC(3)連結(jié)HC，由(2)知C1H」平面ABC，11V=S.CH=ABACCH=323CH=33CH棱柱ABC1212C1111111111111111111111111111由三垂線定理，下證AC⊥AM即可1111113，AA=CC=6116MC∵1=CAMC∴1=CA3ACAA122ACAA16221111又∠2+∠3=90011評(píng)注：利用三垂線定理的關(guān)鍵是找到基本面后找平面的垂線111121 (1)求△ADE的面積；(2)求證：平面ADE⊥平面ACCA。11解析：分別在三個(gè)側(cè)面內(nèi)求出△ADE的邊長(zhǎng)AE=2a，AD=5a，DE=BC2+(ECBD)2=a2+(a)2=5a222225262a(a)2(a)2=a224(2)∵底面ABC⊥側(cè)面AACC1∴△ABC邊AC上的高BM⊥側(cè)面AACC1122∴DN⊥平面AACC11∴平面ADE⊥平面AACC11397.斜三棱柱ABC—ABC中，底面是邊長(zhǎng)為4cm的正三角形，側(cè)棱AA與底面兩邊AB、AC11111 1111111AA面BBCC的距離。1111AAB∠AAC111ABC1 3S=S=AB.AAsin三AAB=47=143AA1C1CAA1B1B11211111BBCC11SSA1B1C1ABC4全全 (3)∵cos∠AAB=cos∠AAO·cos∠OAB1cosAAO